鄒廣玉

NA序列部分和之和一階矩收斂的精確漸近性

鄒廣玉

(長春工程學(xué)院理學(xué)院，吉林長春130012)

隨機(jī)變量的部分和之和在諸多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，關(guān)于NA序列的部分和之和取得了許多極限性質(zhì).在較弱的矩條件下，利用NA序列部分和之和的漸近分布和二階矩的穩(wěn)定性質(zhì)，得到了平穩(wěn)NA序列部分和之和的一階矩收斂的精確漸近性，豐富了NA序列部分和之和極限理論的結(jié)果.

NA序列;部分和之和;矩完全收斂性;精確漸近性

定義稱隨機(jī)變量X1，…，Xn是負(fù)相伴(NA)的，如果對于{1，…，n}的任意不交子集A、B有，Cov (f1(Xi，i∈A)，f2(Xj，j∈B))≤0，其中f1與f2是任何兩個(gè)使得協(xié)方差存在且對每個(gè)變元均非降的函數(shù).

NA序列是包含獨(dú)立隨機(jī)變量序列在內(nèi)的更為廣泛的相依隨機(jī)變量類型，其概念最早由Alam和Saxena［1］提出.NA序列在可靠性理論、滲透性理論及多元統(tǒng)計(jì)分析中有重要應(yīng)用［2］，因此研究其極限性質(zhì)具有重要意義.

隨機(jī)變量“部分和之和”的極限理論起源于Resnick［3］和Arnold等［4］對記錄值分布的研究，在時(shí)間序列分析、隨機(jī)游動(dòng)和破產(chǎn)理論等領(lǐng)域中“部分和之和”有著廣泛應(yīng)用.例如:設(shè){Xt，t=0，1，2，…}為隨機(jī)游動(dòng)，記，則St可表示第t日的某股票的收盤價(jià)，進(jìn)而便是n日的移動(dòng)平均線.鑒于部分和之和理論在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中的重要性，眾多學(xué)者對其極限性質(zhì)進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)［5］研究了獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列部分和之和的大數(shù)定律和中心極限定理，文獻(xiàn)［6-7］分別給出了NA序列部分和之和的弱大數(shù)定律和中心極限定理，文獻(xiàn)［8-9］將其推廣至部分和之隨機(jī)和的弱大數(shù)定律，文獻(xiàn)［10-11］討論了獨(dú)立同分布和NA序列部分和之和的完全收斂性，文獻(xiàn)［12］研究了同分布隨機(jī)變量序列部分和之和的完全收斂性等等.文獻(xiàn)［13］給出了NA序列部分和之和的大數(shù)定律和重對數(shù)律的精確漸近性，本文研究NA序列部分和之和的一階矩完全收斂性的精確漸近性.

1 主要結(jié)論

定理設(shè){Xn，n≥1}為均值為0的嚴(yán)平穩(wěn)NA隨機(jī)變量列，且，記

則當(dāng)0＜p＜r＜2/3時(shí)，有

其中:N表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量.

若{Yn，n≥1}為均值為0，方差有限的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量列，顯然滿足定理?xiàng)l件，故可得下面的推論.

推論設(shè){Yn，n≥1}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量列，滿足當(dāng)0＜p＜r＜2/3時(shí)，有

2 2個(gè)引理

為證明定理，需要下面2個(gè)引理.

引理1［7］設(shè){Xn，n≥1}為均值為0的嚴(yán)平穩(wěn)NA隨機(jī)變量序列則

由以上內(nèi)容可知，高中語文教師在閱讀教學(xué)中需要堅(jiān)持核心素養(yǎng)理念。同時(shí)，應(yīng)積極轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)理念，及時(shí)將各種更加高效的教學(xué)方式融入閱讀教學(xué)中。借此措施，增強(qiáng)學(xué)生的想象力以及創(chuàng)造力等。

引理2設(shè){Xn，n≥1}為均值為0的嚴(yán)平穩(wěn)NA隨機(jī)變量列，且＜∞，記Sn=

3 定理的證明

命題2當(dāng)0＜p＜r＜2/3時(shí)，有

證明

其中:

記Δn=suxp |P{|Tn|≥n3/2x}-P{|N|≥x}|，則由引理2知Δn→0，n→∞，進(jìn)而由Toeplitz引理［15］，有

再由引理1可得

于是命題2得證.

命題3當(dāng)0＜p＜r＜2/3時(shí)，有

證明當(dāng)0＜p＜r＜2/3時(shí)，注意到2r+p＜2，則有r/p-1/p+1/2＜0.結(jié)合引理1，有

又

于是命題3成立.

結(jié)合命題1～3和三角不等式可知式(1)成立.

［1］Alam K，Saxena K M L.Positive dependence in multivariate distributions［J］.Comm Statist Theory Math，1981，A10(12): 1183-1196.

［2］Roussas G G.Positive and negative dependence with some statistical application［M］//Ghosh S.Asymptotics，Nonparametrices and Time Series.New York:Marcel Dekker，1999:757-788.

［3］Resnick S L.Limit laws for record values［J］.Stochastic Processes and Their Applications，1973，1(1):67-82.

［4］Arnold B C，Villasenor J A.The asymptotic distributions of sums of records［J］.Extremes，1998，1(3):351-363.

［5］江濤，林日其.I.I.D.隨機(jī)變量部分和之和的極限定理［J］.淮南工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，22(2):73-75.

［6］宇世航.同分布NA序列部分和之和的弱大數(shù)定律［J］.哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2004，20(4):21-23.

［7］宇世航，張銳梅.NA序列部分和之和的中心極限定理［J］.高師理科學(xué)刊，2007，27(3):1-4.

［8］江濤，林日其.I.I.D.隨機(jī)變量部分和之隨機(jī)和的極限定理［J］.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，31(4):394-399.

［9］鄒廣玉.NA序列部分和之隨機(jī)和的弱大數(shù)定律［J］.長春工程學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014，15(3):120-122.

［10］蘭沖鋒，吳群英.I.I.D.序列部分和之和的完全收斂性［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2012，50(3):507-510.

［11］蘭沖鋒，吳群英.NA序列部分和之和的完全收斂性探討［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2013，14:9-11.

［12］蘭沖鋒，吳群英.隨機(jī)變量部分和之和的完全收斂性［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2014，1:72-75.

［13］鄒廣玉.NA序列部分和之和的大數(shù)定律和重對數(shù)律的精確漸近性［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2015，53(1):54-58.

［14］張勇，董志山，趙世舜.相依序列加權(quán)和的幾乎處處中心極限定理［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2009，29(6):1487-1491.

［15］Stout W F.Almost Sure Convengence［M］.New York:Academic Press，1995:120.

Precise Asymptotics in the First Moment Convergence for Sum of Partial Sums of NA Sequences

ZOU Guang-yu
(School of Science，Changchun Institute of Technology，Changchun 130012，China)

The sum of partial sums of random variables is extensively applied in many fields and lots of limit properties are obtained for sum of partial sums of NA sequences.Under weaker moment condition，applying the asymptotic distribution and stable property of second moment for sum of partial sums of NA sequences，we obtain the precise asymptotics in first moment convergence for sum of partial sums of stationary NA sequences，which enriches the results of limit theorem for sum of partial sums of NA sequences.

NA sequence;sum of partial sums;complete moment convergence;precise asymptotics

O211.4

A

(責(zé)任編輯 李春梅)

1004-8820(2015)03-0165-04

10.13951/j.cnki.37-1213/n.2015.03.003

2014-09-23

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11401090);吉林省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目(120120113);長春工程學(xué)院青年基金項(xiàng)目(320130019).

鄒廣玉(1982-)，男，吉林通化人，講師，博士，從事概率極限理論研究.