王康寧,孫贊東,侯昕曄

(1.中國石油大學(xué)(北京)地質(zhì)地球物理綜合研究中心,北京102249;2.中國石油化工股份有限公司石油勘探開發(fā)研究院,北京100083;3.中國石油天然氣集團(tuán)東方地球物理勘探有限責(zé)任公司,河北涿州072751)

基于傅里葉級(jí)數(shù)展開的縱波方位各向異性裂縫預(yù)測

王康寧1,2,孫贊東1,3,侯昕曄1

(1.中國石油大學(xué)(北京)地質(zhì)地球物理綜合研究中心,北京102249;2.中國石油化工股份有限公司石油勘探開發(fā)研究院,北京100083;3.中國石油天然氣集團(tuán)東方地球物理勘探有限責(zé)任公司,河北涿州072751)

利用地震反射縱波的方位各向異性信息預(yù)測地下裂縫的發(fā)育和分布情況一直是地球物理學(xué)家研究的熱點(diǎn)課題,常規(guī)方法是使用兩項(xiàng)Ruger線性近似公式反演得到裂縫相對(duì)密度和走向,其計(jì)算結(jié)果存在多解性且只能計(jì)算入射角較小的情況。對(duì)任意對(duì)稱面各向異性介質(zhì)的縱波方位各向異性弱反射系數(shù)近似公式進(jìn)行整理,結(jié)合Schoenberg線性滑移理論,得到縱波方位各向異性反射系數(shù)近似公式的傅里葉級(jí)數(shù)展開公式,給出了基于傅里葉級(jí)數(shù)展開的縱波方位地震數(shù)據(jù)裂縫預(yù)測方法。將該方法應(yīng)用于遼河油田雷家地區(qū)沙河街組白云巖儲(chǔ)層的裂縫預(yù)測,并與常規(guī)各向異性反演結(jié)果及實(shí)際成像測井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了方法的有效性。研究結(jié)果表明,該方法計(jì)算簡單且不受入射角度的限制,預(yù)測的裂縫相對(duì)密度與常規(guī)反演方法預(yù)測的結(jié)果精度近似,與成像測井資料吻合,故可作為傳統(tǒng)方法的驗(yàn)證和補(bǔ)充。

裂縫預(yù)測;傅里葉級(jí)數(shù);各向異性;沙河街組;白云巖儲(chǔ)層

天然裂縫對(duì)油氣的運(yùn)移和聚集有著重要的意義,因此裂縫預(yù)測逐漸成為油氣勘探開發(fā)中越來越重要的研究領(lǐng)域。目前裂縫預(yù)測的技術(shù)主要包含兩大類:一是基于疊后數(shù)據(jù)的斷裂檢測技術(shù),在宏觀上間接地反映裂縫發(fā)育情況;二是基于疊前地震數(shù)據(jù)根據(jù)各向異性原理預(yù)測裂縫發(fā)育程度。后者由于其預(yù)測結(jié)果的直觀性以及隨著地震數(shù)據(jù)處理能力的不斷發(fā)展,已引起越來越多學(xué)者的重視。

含有裂縫的儲(chǔ)層是典型的各向異性介質(zhì),自20世紀(jì)70年代以來,地震勘探中的各向異性研究發(fā)展迅速。其中Crampin提出了方位各向異性和橫波分裂等概念,極大地推動(dòng)了各向異性技術(shù)的發(fā)展[1-2];Thomsen[3-4],Hudson[5-6],Schoenberg等[7-9]先后提出了不同的理論模型,對(duì)該技術(shù)的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn);而Ruger提出的近似方程[10]大大地推動(dòng)了縱波振幅方位各向異性反演技術(shù)的發(fā)展,利用縱波振幅隨著地震觀測方位變化的信息來預(yù)測裂縫成為當(dāng)下最常用的裂縫檢測技術(shù)。但目前基于Ruger方程的疊前裂縫反演方法具有以下一些缺陷:①根據(jù)Ruger方程所求得的各向異性參數(shù)無法確定符號(hào),導(dǎo)致裂縫方位具有多解性[11];②在方程求解的過程中舍棄了高次項(xiàng),得到的解是在入射角較小情況下的近似解。因此,縱波振幅方位各向異性反演技術(shù)仍具有較大的改進(jìn)空間,需要進(jìn)行深入的探索。國外已有學(xué)者提出利用傅里葉技術(shù)分析縱波方位反射系數(shù)的思路[11-12],本文根據(jù)這一思路,利用三角函數(shù)變換公式對(duì)任意對(duì)稱面各向異性介質(zhì)的縱波方位各向異性弱反射系數(shù)近似公式進(jìn)行整理,得到縱波方位各向異性反射系數(shù)近似公式的傅里葉級(jí)數(shù)展開公式,探索了利用傅里葉級(jí)數(shù)預(yù)測裂縫的具體實(shí)現(xiàn)方法。

1 方法原理

隨觀測方位發(fā)生變化的縱波反射系數(shù)序列可以視為周期為2π的函數(shù),并表示成傅里葉級(jí)數(shù)的形式[11,13]:

(1)

式中:φ為方位角;a0,an,bn(n=1,2,…)為常數(shù)。

(1)式也可以用三角函數(shù)正交集表示:

(2)

其中,r0為常數(shù),每一項(xiàng)的振幅和相位分別如下:

(3)

(4)

由于縱波地震數(shù)據(jù)關(guān)于共中心點(diǎn)對(duì)稱,縱波方位各向異性反射系數(shù)的近似方程可以被看作偶諧函數(shù),因此其傅里葉級(jí)數(shù)展開式只包含偶次諧波分量,如圖1所示[12]。

由于各向異性佐普里茲方程物理上的非直觀性和數(shù)學(xué)形式上的復(fù)雜性,研究者提出很多描述縱波方位各向異性反射系數(shù)的近似方程,但目前在裂縫反演研究中最常用到的是Ruger線性近似方程。本文通過對(duì)任意對(duì)稱面各向異性介質(zhì)的縱波弱反射系數(shù)近似公式[14]進(jìn)行整理,結(jié)合Schoenberg線性滑移理論模型(見附錄A)[15-16],給出縱波方位各向異性反射系數(shù)近似公式的傅里葉級(jí)數(shù)展開式:

(5)

圖1 固定入射角振幅隨方位角變化特征(a)以及傅里葉級(jí)數(shù)分解結(jié)果(b)

(6)

其中D為Schoenberg線性滑移理論模型中的剛度矩陣,而當(dāng)各向異性介質(zhì)為斜方晶體或者其它可以用9個(gè)以下獨(dú)立彈性常數(shù)表征的晶體時(shí),以下幾個(gè)參數(shù)為0:

(7)

由此可知,根據(jù)P?encǐk線性近似方程整理的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式最高次的傅里葉級(jí)數(shù)n=4項(xiàng)。而完整的各向異性佐普里茲方程表示的縱波反射系數(shù)函數(shù)并非只包含四階以下的傅里葉級(jí)數(shù),其包含的級(jí)數(shù)越多,各向異性佐普里茲方程的近似程度就越高,對(duì)各向異性參數(shù)的描述越準(zhǔn)確。但是在實(shí)際數(shù)據(jù)的計(jì)算中,四階以上的傅里葉級(jí)數(shù)往往會(huì)因受到噪聲的嚴(yán)重干擾而被舍去[12]；同時(shí),傅里葉級(jí)數(shù)展開方法要求分方位偏移數(shù)據(jù)的方位角采樣間隔必須滿足尼奎斯特采樣定理[11]。

我們通過傅里葉級(jí)數(shù)形式的縱波方位各向異性線性近似公式與常規(guī)反演方法對(duì)比，闡述了傅里葉級(jí)數(shù)方法預(yù)測裂縫的可行性。常規(guī)各向異性反演方法通常使用Ruger近似方程,并且為了便于計(jì)算,當(dāng)入射角較小時(shí),方程的高次項(xiàng)一般被舍棄,進(jìn)一步簡化為兩項(xiàng)Ruger公式:

(8)

其中,Bani為描述地層各向異性程度的參數(shù),通常被近似認(rèn)為是地層裂縫發(fā)育密度。根據(jù)Ruger方程中Bani的計(jì)算公式[10]以及Thomsen參數(shù)的定義[5-6],結(jié)合Schoenberg裂縫介質(zhì)理論模型,可以得到各向異性參數(shù)Bani的近似公式:

(9)

因此(7)式中傅里葉級(jí)數(shù)的二階展開式可改寫為[11]:

(10)

2 實(shí)例研究

為了驗(yàn)證基于傅里葉級(jí)數(shù)展開的裂縫預(yù)測方法的有效性,將該方法應(yīng)用于遼河油田雷家地區(qū)沙河街組白云巖儲(chǔ)層裂縫預(yù)測研究，同時(shí),用基于兩項(xiàng)Ruger方程的各向異性線性反演方法對(duì)比驗(yàn)證上述方法的有效性和精度。

2.1 研究區(qū)地質(zhì)概況

遼河油田西部凹陷雷家地區(qū)古近系沙河街組沙四段廣泛發(fā)育以泥質(zhì)白云巖為主的致密儲(chǔ)層,目的層生油及封蓋條件良好,油氣顯示極為豐富。由于該區(qū)沙四段具有極低孔、低滲的致密儲(chǔ)層特征,且儲(chǔ)層厚度變化大、非均質(zhì)性強(qiáng),因此開發(fā)效果不均衡,大部分井只見油氣顯示和低產(chǎn)油氣流,自然產(chǎn)能低,高產(chǎn)井很少,主要依靠壓裂措施增加產(chǎn)量。圖2顯示了該地區(qū)白云巖主要儲(chǔ)集空間類型,巖心觀察發(fā)現(xiàn)研究區(qū)致密油藏裂縫發(fā)育,裂縫類型包括微裂縫、穿層縫、層內(nèi)縫和順層縫,其中大部分裂縫產(chǎn)狀為高角度裂縫。裂縫發(fā)育程度與巖性關(guān)系密切,含白云質(zhì)越高的巖石越容易產(chǎn)生裂縫。研究發(fā)現(xiàn),各種類型的裂縫是該區(qū)致密儲(chǔ)層主要的儲(chǔ)集空間及滲流通道,單井產(chǎn)量與裂縫發(fā)育程度密切相關(guān),裂縫預(yù)測研究對(duì)這種非常規(guī)致密油藏的開發(fā)具有重要意義。

圖2 沙四段泥質(zhì)白云巖儲(chǔ)集空間特征

2.2 方法應(yīng)用與效果對(duì)比

對(duì)本區(qū)地震觀測系統(tǒng)進(jìn)行分析和試驗(yàn)之后,選取6個(gè)方位角范圍進(jìn)行分方位篩選,從而得到平均方位角分別為90°,106°,122°,138°,154°,170°的6個(gè)方位角共中心點(diǎn)道集(表1),對(duì)其進(jìn)行疊前時(shí)間偏移處理得到各向異性反演所需要的不同方位CRP道集。在方位角分析過程中,發(fā)現(xiàn)單個(gè)CDP的覆蓋次數(shù)較低,為了有效壓制噪聲,處理過程中應(yīng)用了超道集技術(shù),將面元由25m×25m擴(kuò)大到50m×50m(圖3)。該技術(shù)的應(yīng)用犧牲了一定的橫向分辨率,但是提高了方位各向異性反演的準(zhǔn)確性。同時(shí),為使每個(gè)方位的地震覆蓋次數(shù)較為均勻,在預(yù)處理時(shí)舍棄了較小和較大偏移距數(shù)據(jù)。

表1 研究區(qū)地震資料方位角劃分方案

圖3 方位角劃分方案(a)及面元擴(kuò)大(b)

針對(duì)6個(gè)分方位地震縱波數(shù)據(jù),分別進(jìn)行了基于Ruger方程的常規(guī)各向異性反演和基于傅里葉級(jí)數(shù)展開的裂縫相對(duì)密度計(jì)算。在應(yīng)用常規(guī)Ruger各向異性反演方法的過程中,為了提高反演精度并壓制噪聲,使用了30°角以內(nèi)的全部入射角道集數(shù)據(jù)來求取超定解,因此得到的結(jié)果是該方法所能求得的精度最高解。傅里葉級(jí)數(shù)展開方法由于算法自身的原因,只能選取某一個(gè)入射角數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，經(jīng)過對(duì)比研究,優(yōu)選了26°～34°的入射角道集數(shù)據(jù)進(jìn)行了部分角度疊加,最終使用平均角度為30°的數(shù)據(jù)計(jì)算裂縫相對(duì)密度。

研究區(qū)內(nèi)雷88井實(shí)鉆揭示目的層為裂縫型泥質(zhì)白云巖儲(chǔ)層,試油結(jié)果顯示較好,初期試采產(chǎn)油24t/d。該井電阻率成像測井(FMI)顯示單組裂縫發(fā)育,具備地震各向異性響應(yīng)的地質(zhì)基礎(chǔ)。應(yīng)用基于Ruger方程的常規(guī)反演方法和傅里葉級(jí)數(shù)展開方法計(jì)算過雷88井地震剖面的各向異性強(qiáng)度,采用FMI成像測井?dāng)?shù)據(jù)標(biāo)定預(yù)測結(jié)果,發(fā)現(xiàn)各向異性參數(shù)Bani高值區(qū)域?qū)?yīng)雷88井裂縫發(fā)育層段，驗(yàn)證了方法的可行性(圖4)。對(duì)比圖4a和圖4b 可見,兩種方法均能在整體上有效預(yù)測白云巖儲(chǔ)層各向異性展布特征,且傅里葉級(jí)數(shù)展開方法明顯較好地消除了一些各向異性反演中出現(xiàn)的噪聲。

雷77井為研究區(qū)內(nèi)另一口高產(chǎn)井,鉆遇火山角礫巖儲(chǔ)層,FMI成像測井顯示高角度裂縫非常發(fā)育。應(yīng)用上述兩種方法計(jì)算過雷77井地震剖面各向異性強(qiáng)度,發(fā)現(xiàn)兩種方法在井點(diǎn)處的裂縫各向異性強(qiáng)度預(yù)測結(jié)果較為一致,均符合實(shí)鉆FMI成像測井解釋的裂縫發(fā)育情況(圖5)。兩種方法反演的地層各向異性規(guī)律基本一致,只是在分辨率和信噪比上有所差別,其中傅里葉級(jí)數(shù)展開法預(yù)測的各向異性體空間展布范圍較常規(guī)Ruger方程法預(yù)測范圍小,更接近火山巖儲(chǔ)層地質(zhì)認(rèn)識(shí)。

圖4 過雷88井地震剖面不同反演方法計(jì)算的各向異性強(qiáng)度與成像測井資料對(duì)比

圖5 過雷77井地震剖面不同反演方法計(jì)算的各向異性強(qiáng)度與成像測井資料對(duì)比

3 結(jié)束語

本文研究結(jié)果顯示,縱波方位各向異性反射系數(shù)的近似公式可以合理地展開為傅里葉級(jí)數(shù)的形式,利用級(jí)數(shù)的二階項(xiàng)系數(shù)可以直接近似估算地層的各向異性強(qiáng)度,進(jìn)而預(yù)測地層裂縫相對(duì)密度。該方法預(yù)測精度與常規(guī)反演方法近似,故可作為傳統(tǒng)方法的驗(yàn)證和補(bǔ)充。

由于傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)全部為正數(shù),本文方法與常規(guī)方法一樣無法得到裂縫走向的唯一解。如果使用完整的傅里葉展開式,利用多個(gè)入射角、多個(gè)方位角的縱波反射數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性反演,則可以準(zhǔn)確地得到裂縫方位,解決Ruger方程等傳統(tǒng)方法的多解性問題,這將成為本文進(jìn)一步的研究目標(biāo)。

致謝:感謝中國石油天然氣股份有限公司遼河油田分公司提供的各種資料與支持;感謝中國石油大學(xué)(北京)地質(zhì)地球物理綜合研究中心提供的良好硬件設(shè)施與研究條件。

[1] Crampin S.A review of wave motion in an anisotropic and cracked elastic media[J].Wave Motion,1981,3(4):343-391

[2] Crampin S.Evaluation of anisotropy by shear-wave splitting[J].Geophysics,1985,50(1):142-152

[3] Thomsen L.Weak elastic anisotropy[J].Geophysics,1986,51(10):1954-1966

[4] Thomsen L.Elastic anisotropy due to aligned cracks in porous rock[J].Geophysical Prospecting,1995,43(6):805-829

[5] Hudson J A.Wave speeds and attenuation of elastic waves in material containing cracks[J].Geophysical Journal International,1980,64(1):133-150

[6] Hudson J A.A higher order approximation to the wave propagation constants for a cracked solid[J].Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society,1986,87(1):265-274

[7] Schoenberg M A.Reflection of elastic waves from periodically stratified media with interfacial slip[J].Geophysical Prospecting,1983,31(2):265-292

[8] Schoenberg M,Douma J.Elastic wave propagation in media with parallel and alligned cracks[J].Geopysical Prospecting,1988,36(6):571-590

[9] Schoenberg M,Sayers C.Seismic anisotropy of fractured rock[J].Geophysics,1995,60(1):204-211

[10] Ruger A.Variation of P-wave reflectivity with offset and azimuth in anisotropic media[J].Geophysics,1998,63(3):935-947

[11] Downton J.Azimuthal Fourier coefficients:a simple method to estimate fracture parameters[J].Expanded Abstracts of 81stAnnual Internat SEG Mtg,2011,269-273

[12] Roure B,Downton J,Doyen P M,et al.Azimuthal seismic inversion for shale gas reservoir characterization[J].Expanded Abstracts of 6thInternational Petroleum Technology Conference,2013,17034

[13] 樂正友.信號(hào)與系統(tǒng)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004:117-121 Le Z Y.Signals and systems[M].Beijing:Tsinghua University Press,2004:117-121

[14] P?encǐk I.Properties of weak contrast PP reflection/transmission coefficients for weakly anisotropic elastic media[J].Studia Geophysica et Geodaetica,2001,45(4):176-199

[15] Backus G E.Long-wave elastic anisotropy produced by horizontal layering[J].Journal of Geophysical Research,1962,67(11):4427-4440

[16] Hsu C J,Schoenberg M.Elastic waves through a simulated fractured medium[J].Geophysics,1993,58(7):964-977

附錄A

Schoenberg假設(shè)裂縫之間具有不連通性以及裂縫具有旋轉(zhuǎn)不變性,提出了線性滑移裂縫理論,給出了在這種假設(shè)模型下的裂縫剛度矩陣和柔度矩陣的表達(dá)式。其與Hudson理論的最大區(qū)別是:Schoenberg理論用柔度參數(shù)Z和柔度矩陣S對(duì)裂縫介質(zhì)進(jìn)行描述,而Hudson理論用剛度矩陣C描述裂縫介質(zhì)。下面對(duì)Schoenberg線性滑移裂縫理論進(jìn)行介紹。

Backus引入了柔度矩陣(即剛度矩陣C的逆)對(duì)各向同性背景下的平行薄裂縫進(jìn)行描述:

S=Sb+Sf

(A1)

其中,Sb是各向同性背景巖石的柔度矩陣,Sf是裂縫的柔度矩陣。

對(duì)于垂直平行薄裂縫,柔度矩陣Sf為:

(A2)

其中,ZN,ZV,ZH,ZNH,ZNV,ZVH是描述位移與應(yīng)力關(guān)系的柔度矩陣元素。

對(duì)于最簡單的旋轉(zhuǎn)不變性裂縫,柔度矩陣的元素滿足:

(A3)

令ZV=ZH=ZT,則公式(A2)中的柔度矩陣變?yōu)?

(A4)

其中,ZN為法向柔度參數(shù),ZT為切向柔度參數(shù)。

對(duì)于完全各向同性背景模型,假設(shè)其拉梅系數(shù)為λ和μ,Hsu和Schoenberg引入無量綱參數(shù):

(A5)

并稱δN為法向弱度,δT為切向弱度。

通過求解柔度矩陣的逆,則等效裂縫介質(zhì)的剛度矩陣為:

(A6)

剛度矩陣的密度標(biāo)準(zhǔn)化矩陣為:

(A7)

(編輯：戴春秋)

Fracture prediction by P-wave azimuthal anisotropy based on Fourier series decomposition

Wang Kangning1,2,Sun Zandong1,3,Hou Xinye1

(1.LabortaryforIntegrationofGeology&Geophysics,ChinaUniversityofPetroleum,Beijing102249,China; 2.SinopecPetroleumExploration&ProductionResearchInstitute,Beijing100083,China; 3.BGP,CNPC,Zhuozhou072751,China)

The application of anisotropic information of seismic reflection wave amplitude in underground fracture development and distribution prediction has always been a hot subject in geologists’ study.The conventional method,which adopts Ruger’s two-term linear formula to inverse the relative density and direction of fractures,obtains non-unique solutions and can only be applied with small incidence angles.To improve the method,the approximate formula of P-wave weak reflection coefficient varying with incidence-angle and azimuth-angle in arbitrary symmetric anisotropy media was rearranged.Based on the Schoenberg’s linear slip theory,the Fourier series expansion of P-wave azimuthally anisotropic reflection coefficient approximate equation is obtained.The Fourier series expansion of P-wave seismic data with different azimuth was applied in fracture prediction.It is applied in dolomite reservoir fracture prediction in Shahejie Formation,Liaohe Oilfield.The method is proved to be effective and reliable by comparison on the results with the conventional anisotropic inversion method and actual FMI data.The study shows that the method is simple in calculation and is not limited by the range of incidence angle.Meanwhile,the prediction accuracy of fracture density is close to conventional inversion method and the result agrees well with the FMI data.

fracture prediction,Fourier series,anisotropy,Shahejie formation,dolomite reservoir

2015-02-03;改回日期：2015-07-29。

王康寧(1986—),女,博士,主要從事地震反演及儲(chǔ)層預(yù)測研究工作。

中國石油天然氣股份有限公司科技重大專項(xiàng)子課題“深層地震資料保幅處理與疊前儲(chǔ)層描述新技術(shù)”(2014E-3204)資助。

P631

A

1000-1441(2015)06-0755-07

10.3969/j.issn.1000-1441.2015.06.014