陳金立,張 濤,曹華松,李家強(qiáng)

(南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院,南京210044)

一種平面稀疏陣列的快速綜合方法*

陳金立**,張 濤,曹華松,李家強(qiáng)

(南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院,南京210044)

以快速綜合出滿足期望方向圖以及陣元數(shù)最少的平面陣列為目標(biāo),提出一種基于迭代加權(quán)?1范數(shù)的平面陣列綜合方法。該方法將平面稀疏陣列綜合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為加權(quán)?1范數(shù)最小化的稀疏信號(hào)重構(gòu)過(guò)程,并利用拉格朗日乘數(shù)法求解每次迭代中的陣列加權(quán)向量的閉式解,由于二維平面的空間采樣導(dǎo)致閉式解中存在大規(guī)模矩陣的求逆運(yùn)算,進(jìn)而引入共軛梯度法以促進(jìn)算法加速收斂。當(dāng)滿足迭代終止條件時(shí),由加權(quán)向量的非零值確定平面陣列的陣元位置及其激勵(lì)。仿真結(jié)果表明,該方法能有效提高平面稀疏陣列綜合的收斂速度。

平面稀疏陣列;陣列綜合;加權(quán)?1范數(shù);閉式解;共軛梯度

1 引 言

近年來(lái),天線陣列在雷達(dá)、通信、制導(dǎo)以及衛(wèi)星廣播電視等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1]。為了降低系統(tǒng)的軟硬件復(fù)雜度和成本,在實(shí)際工程中通常要求陣列能以盡可能少的天線陣元數(shù)達(dá)到大陣列孔徑以獲得較高的空間分辨率[2],同時(shí)保持較低的副瓣電平。因此,采用非均勻稀疏陣列是一個(gè)有效的解決方法。然而,陣元的稀疏布置往往會(huì)導(dǎo)致方向圖的副瓣電平抬高,天線陣列綜合的目的是在保持較低的副瓣電平基礎(chǔ)上,通過(guò)優(yōu)化陣元位置及其激勵(lì)的方式使得天線陣列能夠以最少的陣元數(shù)滿足期望的輻射特性要求[3-6]。

綜合非均勻陣列的陣元位置和激勵(lì)是一個(gè)包含多個(gè)未知量的高度非線性優(yōu)化問(wèn)題[4]。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,遺傳算法[7-8]、模擬退火算法[9]以及粒子群算法[10]等智能優(yōu)化算法廣泛應(yīng)用于陣列綜合中,但是這些傳統(tǒng)優(yōu)化算法本質(zhì)都是基于隨機(jī)性的自然算法,應(yīng)用于求解大規(guī)模稀疏陣列時(shí),需要很長(zhǎng)的時(shí)間才能獲得陣列綜合結(jié)果。稀疏陣列的離散空間分布特點(diǎn)與最近發(fā)展的信號(hào)重構(gòu)理論中稀疏信號(hào)的特性相類似,因此,天線陣列綜合其實(shí)可以看作是空間稀疏信號(hào)重構(gòu)的問(wèn)題[11]。文獻(xiàn)[4]研究了基于迭代加權(quán)?1范數(shù)最小化的線性天線陣列綜合方法,能以較少的迭代次數(shù)獲得稀疏程度更高的線性天線陣列,但是在每次迭代中需要使用凸優(yōu)化軟件求解?1范數(shù)最小化問(wèn)題,陣列綜合的耗時(shí)會(huì)比較長(zhǎng)。文獻(xiàn)[5]提出了一種改進(jìn)的基于迭代加權(quán)?1范數(shù)的線性天線陣列綜合方法,在每一次迭代中給出了線性天線陣列的加權(quán)向量閉式解,避免了使用軟件工具進(jìn)行優(yōu)化求解,實(shí)現(xiàn)了稀疏線性陣列的快速綜合。

與線性天線陣列不同,大型的平面天線陣列能同時(shí)測(cè)量目標(biāo)的空間二維角度(俯仰角和方位角),因此它在實(shí)際工程中具有無(wú)可替代的作用。文獻(xiàn)[6]研究了基于迭代加權(quán)?1范數(shù)最小化的平面陣列綜合方法,然而該方法需要使用優(yōu)化工具如凸優(yōu)化工具來(lái)求解平面陣列的綜合問(wèn)題。由于優(yōu)化工具的使用導(dǎo)致該方法的通用性和可移植性較差,而且平面陣列通常包含較多的陣元,因此采用該方法會(huì)面臨巨大的計(jì)算負(fù)擔(dān)。為此,本文提出了一種平面稀疏陣列的快速綜合方法。該方法先利用加權(quán)?1范數(shù)最小化的稀疏重構(gòu)方法建立平面稀疏陣列綜合的模型,然后利用拉格朗日乘數(shù)法[5]求解出每次迭代中的平面陣列加權(quán)向量的閉式解。通過(guò)分析該閉式解可知,其運(yùn)算時(shí)間主要集中在矩陣求逆運(yùn)算,然而求逆矩陣的規(guī)模與期望方向圖的空間角度采樣數(shù)有關(guān),在平面陣列綜合時(shí)其二維空間角度采樣數(shù)非常大,從而導(dǎo)致閉式解中存在大規(guī)模的矩陣求逆運(yùn)算。為了進(jìn)一步加速平面陣列綜合的收斂速度,該方法引入了共軛梯度方法[12-13]來(lái)解決閉式解中大規(guī)模矩陣求逆問(wèn)題。仿真結(jié)果表明,該方法在給定平面陣列規(guī)模和峰值旁瓣電平等約束條件下,可快速獲得最大稀疏化的平面陣列,并同時(shí)給出陣元位置及其激勵(lì)幅度,特別適用于平面陣列優(yōu)化的實(shí)時(shí)性和通用性要求較高的場(chǎng)合。

2 平面稀疏陣列模型

考慮如圖1所示的X-Y平面上由M行和N列個(gè)陣列單元構(gòu)成的平面稀疏陣列,圖中黑點(diǎn)表示陣元。假設(shè)dx和dy分別表示沿X軸和Y軸方向陣元間距,信號(hào)的俯仰角和方位角分別為θ和φ。若第(m,n)個(gè)位置上天線單元的激勵(lì)值為wmn,其中m= 1,2,…,M,n=1,2,…,N,則平面陣列波束方向圖可以表示為[2]

式中,k=2π/λ,其中λ為波長(zhǎng);方向參數(shù)μ和v分別表示為μ=sinθcosφ,v=sinθsinφ;俯仰角θ和方位角φ的定義域分別為θ∈[0,π/2],φ∈[0,2π],則方向參數(shù)μ和v的取值范圍分別為μ∈[-1,1],v∈[-1,1]。本文在對(duì)平面陣列綜合時(shí),分別對(duì)μ和v在其取值范圍內(nèi)等間距采樣,其中采樣數(shù)分別記為L(zhǎng)μ和Lv,那么共有Lμ×Lv采樣點(diǎn)組成了平面陣列方向圖。

圖1 平面稀疏陣列結(jié)構(gòu)Fig.1 Configuration of planar sparse array

平面陣列的加權(quán)矩陣W2D由各陣元的激勵(lì)值wmn構(gòu)成[3],即

將二維加權(quán)矩陣W2D進(jìn)行向量化處理,即將矩陣W2D轉(zhuǎn)換成一維矢量w,即w=表示向量的轉(zhuǎn)置。令a(μ,v)=其中,amn=和a(μ,v)分別代入式(1),則F(μ,v)可表示為

假設(shè)方向參數(shù)μ和v在其取值范圍內(nèi)的采樣值分別為μ1,μ2,…,μLμ和v1,v2,…,vLv,將平面陣列方向圖在所有采樣點(diǎn)上的值構(gòu)成一個(gè)大小為L(zhǎng)μLv×1維的矢量F,則F可表示為

式中,

3 平面稀疏陣列的快速綜合方法

假設(shè)在給定的平面陣列的規(guī)模、要求的峰值旁瓣電平值等約束條件下所形成期望二維波束方向圖的采樣向量為Fd,則平面稀疏綜合問(wèn)題采用加權(quán)?1范數(shù)優(yōu)化模型表示如下:

式中,Z是一個(gè)由加權(quán)系數(shù)zi(i=1,2,…,MN)組成的對(duì)角矩陣,可以促進(jìn)矢量w盡可能地稀疏[4];Fd為期望的平面陣列波束方向圖;‖·‖1表示為向量的?1范數(shù);‖·‖2為向量的?2范數(shù);ξ表示可以接受的誤差。為了使綜合出的陣列方向圖與期望波束方向圖盡可能接近,但這并不要求所有陣元都需要被激勵(lì),如果某個(gè)陣元的激勵(lì)值為零或接近于零,則該位置上是無(wú)需放置陣元的,即陣列中的陣元是可以稀疏布置的。同時(shí),稀疏陣列的離散空間分布特點(diǎn)與信號(hào)重構(gòu)理論中稀疏信號(hào)特性類似,因此,天線陣列綜合其實(shí)可以看作是空間稀疏信號(hào)重構(gòu)的問(wèn)題,故需要尋求一組由各陣元激勵(lì)值構(gòu)成的最優(yōu)權(quán)值w,在保證綜合后的陣列方向圖接近于期望陣列方向圖的條件下即‖F(xiàn)d-Aw＜ξ,希望w盡可能的稀疏,即使得w中的絕大多數(shù)元素趨近于零或等于零,即滿足mwin f(w)=‖Zw‖1。

利用式(7),可以將平面稀疏陣列綜合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為加權(quán)?1范數(shù)最小化的稀疏重構(gòu)問(wèn)題,因此可以利用拉格朗日乘數(shù)法[5]來(lái)求解稀疏向量w的閉式解。通過(guò)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的方法將式(7)表示的約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題[5]:

式中,α為拉格朗日因子。將無(wú)約束優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)f w,() Z展開,可得

式中,[·]H表示共軛轉(zhuǎn)置。為了能得到使f( w,Z)最小化時(shí)陣列加權(quán)向量w的值,在式(9)中,對(duì)wH進(jìn)行求偏導(dǎo)數(shù),并使得導(dǎo)數(shù)值等于零[5],即

求解該非線性方程(10)可獲得陣列加權(quán)向量w的表達(dá)式[5]:

式中,I表示大小為MN×MN維的單位矩陣;P= diag(p),其中p=[p1,p2,…,pMN],且pi=wi/zi, i=1,2,…,MN。由于pi=wi/zi,i=1,2,…,MN,因此P是w和Z的非線性函數(shù),那么不易直接通過(guò)式(11)來(lái)計(jì)算w的值,可采用迭代方式來(lái)求解w的值,即利用上一次迭代獲得的P和Z來(lái)求解當(dāng)前迭代的w值[5]。

令矩陣G=(αI+APAH),向量Y=G-1Fd,代入式(11)可得

在向量Y的表達(dá)式中,由于矩陣G的規(guī)模與空間二維角度采樣數(shù)有關(guān),而平面稀疏陣列的空間角度為二維角度(方位角和俯仰角),相比空間角度為一維角度的線性陣列,其空間角度采樣數(shù)會(huì)呈平方式增長(zhǎng),因此平面陣列綜合時(shí)矩陣G的規(guī)模會(huì)非常大,從而導(dǎo)致矩陣G的求逆耗時(shí)比較長(zhǎng),因此整個(gè)平面陣列優(yōu)化過(guò)程中時(shí)間開銷較大的一塊是大規(guī)模矩陣G的求逆運(yùn)算。根據(jù)向量Y=G-1Fd的表達(dá)形式,可以將向量Y的求解看作是線性方程組GY=Fd的求解,則可利用共軛梯度法[12-13]來(lái)加快線性方程組的求解效率,從而解決大規(guī)模矩陣求逆的問(wèn)題,提高算法的實(shí)時(shí)性。共軛梯度法能有效地利用最速下降法在初始迭代點(diǎn)收斂快的優(yōu)勢(shì),結(jié)合共軛方向找到合適的搜索方向,以最快的速度找到滿足條件的收斂點(diǎn),提高整個(gè)算法的運(yùn)行效率。

根據(jù)以上分析,下面給出平面稀疏陣列快速綜合的具體步驟。

第1步 初始化。根據(jù)給定的平面陣列橫向長(zhǎng)度和縱向長(zhǎng)度,設(shè)置一個(gè)陣元均勻排布的初始化平面陣列,其橫向陣元間距為dx,縱向陣元間距為dy,其橫向陣元數(shù)為M,縱向陣元數(shù)為N,根據(jù)方向參數(shù)μ和v在其取值范圍內(nèi)的采樣值生成矩陣A,并給定期望二維波束方向圖的采樣向量為Fd,令迭代次數(shù)l=0:

第2步 更新目標(biāo)參數(shù):

式中,(·)(l+1)表示第(l+1)次迭代。為了提高式(16)的計(jì)算速度,通過(guò)共軛梯度法求解線性方程組G(l+1)Y(l+1)=Fd來(lái)獲得Y(l+1)值,具體步驟如下[13]:

(1)初始化。選取初始點(diǎn)Y0,計(jì)算r0=Fd-G(l+1)Y0,并取q0=r0,設(shè)定允許誤差ε＞0,令k=0;

(2)檢查是否滿足終止準(zhǔn)則。若‖rk‖1＜ε,迭代終止,輸出Y(l+1)≈Yk,否則轉(zhuǎn)步驟3;

(3)進(jìn)行一維搜索。求出gk和Yk+1:

(4)計(jì)算

(5)置k=k+1,轉(zhuǎn)步驟2。

第3步 計(jì)算加權(quán):

式中,δ是一個(gè)大于零的常數(shù),用于保證分母恒不為零。

第4步 更新矩陣P(l+1):

同時(shí)令迭代次數(shù)l=l+1。

第5步 重復(fù)第2～4步,滿足下面的終止條件進(jìn)入第6步:

式中,Δ為預(yù)先給定的誤差最小值。

第6步 確定平面稀疏陣列的陣元位置和激勵(lì):將加權(quán)向量w轉(zhuǎn)換成二維加權(quán)矩陣,其中非零元素所在的位置確定為優(yōu)化后平面稀疏陣列的陣元位置,該陣元的激勵(lì)值即為該非零元素值。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文方法在平面陣列綜合方面的優(yōu)勢(shì),本文設(shè)計(jì)了利用迭代凸優(yōu)化方法[6]和本文方法進(jìn)行平面陣列綜合的對(duì)比實(shí)驗(yàn)。以下仿真實(shí)驗(yàn)均在MATLAB 2012b中完成,計(jì)算機(jī)配置為:Intel Core i5-4570處理器,主頻3.2 GHz,內(nèi)存4 GB。

仿真參數(shù)設(shè)置如下:平面陣列橫向長(zhǎng)度為5λ,縱向長(zhǎng)度為5λ,橫向陣元間距dx=λ/4,縱向陣元間距dy=λ/4,則初始化平面陣列的橫向陣元數(shù)M= 21,縱向陣元數(shù)N=21,即綜合前的陣元總數(shù)為441。要求陣列綜合后波束方向圖旁瓣電平小于-20 dB,設(shè)置方向參數(shù)μ和v在其取值范圍內(nèi)的采樣數(shù)分別為L(zhǎng)μ=41和Lv=41,誤差最小值Δ=10-7。上述這些仿真參數(shù)是由平面陣列的孔徑長(zhǎng)度和期望陣列波束圖等所決定,這與實(shí)際工程中陣列綜合的要求一致,從而能得出可靠的結(jié)論。兩種陣列綜合方法都由終止條件式(24)決定其是否退出運(yùn)算。

圖2和圖3分別是利用迭代凸優(yōu)化方法和本文方法綜合后的平面陣列的陣元位置分布及其波束方向圖。

圖2 利用凸優(yōu)化方法和本文方法綜合后的陣元位置分布Fig.2 The locations of sensors in the planar sparse arrays synthesized by the sequential convex optimization method and the proposed method

圖3 迭代凸優(yōu)化方法和本文方法綜合后的平面陣列波束方向圖Fig.3 Beam pattern of the planar sparse array synthesized by the sequential convex optimization method and the proposed method

由圖2(a)和圖3(a)可知,經(jīng)過(guò)迭代凸優(yōu)化方法綜合后的平面陣列只需采用62個(gè)陣元就可滿足給定的波束方向圖旁瓣電平要求,但是該方法需要的綜合時(shí)間為781 s。由于平面陣列通常包含較多的陣元以及綜合時(shí)優(yōu)化工具的使用,因此該方法的平面陣列綜合時(shí)間較長(zhǎng)。由圖2(b)和圖3(b)可知,本文方法綜合后的平面陣列需要68個(gè)陣元使得波束旁瓣電平小于-20 dB,比迭代凸優(yōu)化方法多用了6個(gè)陣元,但是本文方法只需要12.9 s即可快速完成平面陣列的綜合,相比迭代凸優(yōu)化方法,本文方法節(jié)省了約98.3%的運(yùn)算時(shí)間。

文獻(xiàn)[6]提出了基于迭代加權(quán)?1范數(shù)最小化的平面陣列綜合方法僅僅對(duì)波束方向圖的旁瓣能量進(jìn)行約束,而本文方法在整個(gè)觀測(cè)角度范圍內(nèi)對(duì)整個(gè)波束方向圖的形狀進(jìn)行約束,因此本文方法綜合出的陣列方向圖能夠逼近給定的期望波束方向圖,更加符合實(shí)際工程需求。從目標(biāo)函數(shù)的約束條件角度分析,由于本文方法的約束條件要比凸優(yōu)化方法復(fù)雜,導(dǎo)致其綜合后的陣元數(shù)會(huì)略多于凸優(yōu)化方法。為了驗(yàn)證平面陣列綜合時(shí)引入共軛梯度方法的有效性,在本文方法第2步中不采用共軛梯度法來(lái)求解大規(guī)模矩陣求逆,即直接利用求逆公式計(jì)算每步迭代中的陣列加權(quán)向量w值,則需要陣列綜合的時(shí)間為21.1 s,表明引入共軛梯度法能進(jìn)一步加快平面陣列綜合的收斂速度。因此,本文方法在每次迭代中利用閉式解并引入共軛梯度法來(lái)更新陣列加權(quán)向量,而無(wú)需使用優(yōu)化工具來(lái)求解平面陣列的綜合問(wèn)題,加快了平面陣列綜合的速度,特別適用于平面陣列優(yōu)化的實(shí)時(shí)性和通用性要求較高的場(chǎng)合。

在本文仿真中,為了使得兩種方法綜合后的陣元位置分布能夠清晰地表示出來(lái),故只選擇規(guī)模較小的初始化平面陣列進(jìn)行綜合分析。當(dāng)初始化平面陣列的規(guī)模增大時(shí),兩種方法的陣列綜合時(shí)間的差異會(huì)更明顯。例如選擇初始化平面陣列的橫向陣元數(shù)M=50,縱向陣元數(shù)N=50,其他仿真參數(shù)同上,分別利用本文方法和凸優(yōu)化方法進(jìn)行陣列綜合,本文方法僅需30 s完成陣列綜合,而凸優(yōu)化方法卻需要7 h以上。此時(shí)需要采用高性能服務(wù)器來(lái)提高凸優(yōu)化方法的運(yùn)算速度,從而減少用戶的等待時(shí)間,而本文方法仍然繼續(xù)可以使用普通電腦進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。由于本文方法對(duì)硬件設(shè)備的要求不高,使得其適用范圍較廣以及實(shí)用性也會(huì)較好。

5 結(jié)束語(yǔ)

相比線性天線陣列,平面陣列通常包含較多的陣元及其波束方向圖中空間二維角度采樣數(shù)會(huì)呈平方式增長(zhǎng),從而導(dǎo)致現(xiàn)有平面稀疏陣列綜合方法的耗時(shí)很長(zhǎng)。本文提出了一種平面稀疏陣列的快速綜合方法,利用閉式解來(lái)計(jì)算每次迭代過(guò)程中的陣列加權(quán)向量,當(dāng)滿足迭代終止條件時(shí)由加權(quán)向量中非零值確定平面陣列的陣元位置及其激勵(lì)?？紤]到閉式解中存在大規(guī)模矩陣求逆運(yùn)算,引入共軛梯度法解決大規(guī)模矩陣的快速求逆,以促進(jìn)算法加速收斂,從而提高平面陣列綜合的收斂速度。此外,本文方法只通過(guò)理論仿真證實(shí)其在平面陣列綜合方面的有效性,但還未在實(shí)際工程中應(yīng)用,因此該方法的實(shí)用性論證將是下一步的研究?jī)?nèi)容。

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Email:chen820803@yeah.net

張 濤(1986—),男,新疆伊寧人,碩士研究生,主要研究方向?yàn)闅庀笙嗫仃嚴(yán)走_(dá);

ZHANG Tao was born in Yining,Xinjiang Uygur Autonomous Region,in 1986.He is now a graduate student.His research concerns weather phased array radar.

曹華松(1989—),男,江蘇泰州人,碩士研究生,主要研究方向?yàn)樘炀€陣列綜合;

CAO Huasong was born in Taizhou,Jiangsu Province,in 1989.He is now a graduate student.His research concerns antenna array synthesis.

李家強(qiáng)(1976—),男,安徽滁州人,2007年獲博士學(xué)位,現(xiàn)為副教授,主要研究方向?yàn)槔走_(dá)信號(hào)處理。

LI Jiaqiang was born in Chuzhou,Anhui Province,in 1976. He received the Ph.D.degree in 2007.He is now an associate professor.His research concerns radar signal processing.

A Fast Synthesis Method for Planar Sparse Array

CHEN Jinli,ZHANG Tao,CAO Huasong,LI Jiaqiang
(College of Electronic and Information Engineering,Nanjing University of Information Science and Technology,Nanjing 210044,China)

In order to fast synthesize the planar array to satisfy the desired pattern and minimize the number of radiating elements,a planar array synthesis method based on iteratively reweighted ?1norm minimization is proposed.The problem of planar array synthesis is transformed into a process of the sparse signal reconstruction based on reweighted ?1norm minimization,and the closed-form solution of the array weight vector at each iteration is obtained by the Lagrange multiplier method.Due to the inverse operation of the largescale matrix caused by the two dimensional spatial sampling in the closed-form solution,the conjugate Gradient method is introduced to promote the convergence speed of the proposed method.The excitations and locations of sensors in the planar sparse array are determined by the nonzero elements in the solved weight vector until the iteration termination condition is satisfied.Simulation results show that the proposed method can effectively speed up the planar sparse array synthesis.

plannar sparse array;array synthesis;weighted ?1norm;closed-form solution;conjugate gradient

The National Natural Science Foundation of China(No.61302188,61372066);The Natural Science Foundation of Jiangsu Province(BK20131005)

date:2015-04-24;Revised date:2015-07-06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61302188,61372066);江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK20131005)

**通訊作者:chen820803@yeah.net Corresponding author:chen820803@yeah.net

TN957.2

A

1001-893X(2015)12-1318-06

陳金立(1982—),男,浙江寧波人,2010年獲博士學(xué)位,現(xiàn)為講師,主要研究方向?yàn)镸IMO雷達(dá)信號(hào)處理;

10.3969/j.issn.1001-893x.2015.12.002

陳金立,張濤,曹華松,等.一種平面稀疏陣列的快速綜合方法[J].電訊技術(shù),2015,55(12):1318-1323.[CHEN Jinli,ZHANG Tao,CAO Huasong,LI Jiaqiang.A Fast Synthesis Method for Planar Sparse Array[J].Telecommunication Engineering,2015,55(12):1318-1323.]

2015-04-24;

2015-07-06