吳青平

【摘要】數(shù)學(xué)概念課是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要保障。但有些教師對(duì)數(shù)學(xué)概念的核心任務(wù)把握不準(zhǔn)確，對(duì)概念所反映的思想方法的理解水平不高，對(duì)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)定位認(rèn)識(shí)模糊。本文通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)概念課型的核心任務(wù)與教學(xué)定位的深入剖析，提出概念教學(xué)的三種課型：從整體背景到局部知識(shí)的結(jié)構(gòu)教學(xué)，從上位概念到下位概念的結(jié)構(gòu)教學(xué)，探索數(shù)學(xué)對(duì)象運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律。

【關(guān)鍵詞】概念課型 核心任務(wù) 教學(xué)定位

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）06-0130-02

1.概念課型的界定

數(shù)學(xué)概念課型是以“事實(shí)學(xué)習(xí)”為中心內(nèi)容的課型。該課型體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)是在進(jìn)行“代表學(xué)習(xí)”和“概念學(xué)習(xí)”。通過(guò)“概念學(xué)習(xí)”，把作為新知識(shí)中的概念，正確地初步地轉(zhuǎn)化為學(xué)生自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念體系里的概念。通過(guò)“代表學(xué)習(xí)”，對(duì)概念的文字、語(yǔ)言敘述或概念的定義能初步理解，掌握這些數(shù)學(xué)概念所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)及這些符號(hào)的書(shū)寫(xiě)、使用方法。初步了解由這些數(shù)學(xué)符號(hào)組成的語(yǔ)言含義，并能初步把它轉(zhuǎn)譯成一般語(yǔ)言。

2.高中數(shù)學(xué)概念課的核心任務(wù)與教學(xué)定位

2.1高中數(shù)學(xué)概念課的核心任務(wù)

高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的核心任務(wù)是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的抽象概括。

正確地理解和形成一個(gè)數(shù)學(xué)概念，必須明確這個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵——對(duì)象的“質(zhì)”的特征，及其外延——對(duì)象的“量”的范圍。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)概念是運(yùn)用定義的形式來(lái)揭露其本質(zhì)特征的。但在這之前，有一個(gè)通過(guò)實(shí)例、練習(xí)及口頭描述來(lái)理解的階段。比如，兒童對(duì)自然數(shù)，對(duì)運(yùn)算結(jié)果——和、差、積、商的理解，就是如此。到小學(xué)高年級(jí)，開(kāi)始出現(xiàn)以文字表達(dá)一個(gè)數(shù)學(xué)概念，即定義的方式，如分?jǐn)?shù)、比例等。有些數(shù)學(xué)概念要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的醞釀，最后才以定義的形式表達(dá)，如函數(shù)、極限等。定義是準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)概念的方式。

許多數(shù)學(xué)概念需要用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示。數(shù)學(xué)符號(hào)是表達(dá)數(shù)學(xué)概念的一種獨(dú)特方式，對(duì)學(xué)生理解和形成數(shù)學(xué)概念起著極大的作用，它把學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的思維過(guò)程簡(jiǎn)約化、明確化了。許多數(shù)學(xué)概念的定義就是用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá)，從而增強(qiáng)了科學(xué)性。

許多數(shù)學(xué)概念還需要用圖形來(lái)表示。有些數(shù)學(xué)概念本身就是圖形，如平行四邊形、棱錐、雙曲線等。有些數(shù)學(xué)概念可以用圖形來(lái)表示，比如基本初等函數(shù)的圖像等。有些數(shù)學(xué)概念具有幾何意義，如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。數(shù)形結(jié)合是表達(dá)數(shù)學(xué)概念的又一獨(dú)特方式，它把數(shù)學(xué)概念形象化、數(shù)量化了。

總之，數(shù)學(xué)概念是在人類歷史發(fā)展過(guò)程中，逐步形成和發(fā)展的。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，應(yīng)有一個(gè)抽象概括的過(guò)程，從文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言及圖形語(yǔ)言等不同角度抽取概念本質(zhì)屬性，在準(zhǔn)確把握概念外延的基礎(chǔ)上，形成清晰的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)。

2.2高中數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)定位

數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象概括出數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，經(jīng)歷對(duì)實(shí)際背景的感知與抽象、概括的過(guò)程。

（1）對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)概念，都應(yīng)該準(zhǔn)確地給它下定義。對(duì)一些基本（原始）概念，不宜定義的也應(yīng)給予清晰準(zhǔn)確的“描述”。通過(guò)給概念下定義的教學(xué)，讓學(xué)生從定義的表達(dá)形式及邏輯思維中去領(lǐng)會(huì)該事物與其它事物的根本區(qū)別。并注意對(duì)同一概念的下定義的不同方案，從而深化對(duì)概念的理解。

（2）對(duì)概念（定義）的理解必須克服形式主義。課內(nèi)應(yīng)通過(guò)大量的正、反實(shí)例，變式等，反復(fù)地讓學(xué)生進(jìn)行分析、比較、鑒別、歸納，使之與鄰近概念不至混淆，并要解決好新舊概念的相互干擾。

（3）概念教學(xué)還必須認(rèn)真解決“語(yǔ)言文字”與“數(shù)學(xué)符號(hào)、式子”之間的互譯問(wèn)題，為以后在數(shù)、式運(yùn)算中應(yīng)用數(shù)學(xué)概念指導(dǎo)運(yùn)算打下基礎(chǔ)。使學(xué)生把代表某一概念的數(shù)學(xué)符號(hào)與概念內(nèi)涵直接掛鉤。

（4）克服學(xué)生普遍存在的“學(xué)數(shù)學(xué)只管計(jì)算，何必花時(shí)間學(xué)概念”之類的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。重視概念課教學(xué)的啟發(fā)性和藝術(shù)性，重視創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念學(xué)習(xí)的高度重視。同時(shí)應(yīng)采用多種形式的訓(xùn)練（如選擇答案、填空、變式等），從多個(gè)側(cè)面去加深對(duì)概念的理解與應(yīng)用。

3.高中數(shù)學(xué)概念課課型分析

課型1：從整體背景到局部知識(shí)的結(jié)構(gòu)教學(xué)（以《集合的含義與表示》為例）

（1）背景引入——介紹數(shù)學(xué)對(duì)象的相關(guān)背景。

介紹集合論及其發(fā)展過(guò)程的相關(guān)背景。

（2）材料感知——借助具體事例，從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過(guò)程或解決實(shí)際問(wèn)題的需要引入概念。

問(wèn)題1：我們學(xué)習(xí)過(guò)哪些集合？

問(wèn)題2：你能再舉出一些集合的例子嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶、舉例，并對(duì)學(xué)生活動(dòng)進(jìn)行評(píng)價(jià)。

（3）分類辨析——以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（使用反例，鼓勵(lì)學(xué)生大量舉例）。

問(wèn)題3：你能說(shuō)出你所舉例子的特點(diǎn)嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，舉出一些能夠構(gòu)成集合及不能構(gòu)成集合的例子，概括所舉例子的特點(diǎn)。如果學(xué)生仍不能有效地提煉出集合的三個(gè)基本特征，教師可以作如下的提示：“請(qǐng)所有的男同學(xué)站起來(lái)；請(qǐng)所有的高個(gè)子站起來(lái)”，以此來(lái)幫助學(xué)生理解集合的“確定性”。

（4）提煉本質(zhì)——提供典型豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，概括不同例證的共同特征。

問(wèn)題4：你能概括出所舉例子所具有的共同特征嗎？

師生共同概括所舉例子的特征，得出結(jié)論。

（5）抽象命名——概念的明確與表示：下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，即把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化（文字的、符號(hào)的）。

引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出集合的含義及集合中元素的特征——確定性、互異性、無(wú)序性。

（6）鞏固應(yīng)用——用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟。

問(wèn)題5：我們可以從哪些角度來(lái)研究集合？

學(xué)生閱讀教科書(shū)，自己嘗試整理相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容，歸納出元素與集合的關(guān)系，常用數(shù)集的記號(hào)以及表示集合的三種方法：自然語(yǔ)言、集合語(yǔ)言（列舉法或描述法）及圖形語(yǔ)言。

（7）概念的“精致”——納入概念系統(tǒng)，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。

課本例1與例2；課本第5頁(yè)練習(xí)1，2。

學(xué)生獨(dú)立思考，解決問(wèn)題，全班交流討論，教師析疑。

除集合外，以上教學(xué)流程適用于一般數(shù)學(xué)對(duì)象的抽象概括，如命題、向量、數(shù)（復(fù)數(shù)）、數(shù)列（包括等差數(shù)列、等比數(shù)列）、角、事件等，它們具有相同的學(xué)習(xí)“基本套路”，即按“背景——概念——表示——分類——性質(zhì)（關(guān)系及運(yùn)算）——應(yīng)用”展開(kāi)。

課型2：從上位概念到下位概念的結(jié)構(gòu)教學(xué)（以《不等關(guān)系與不等式》為例）

（1）背景引入——提供一些學(xué)生感興趣和富有時(shí)代感的素材。

問(wèn)題1：如圖拋物線中，試找出相關(guān)的不等關(guān)系。

（2）概念形成——讓學(xué)生自己舉例或提供大量材料，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些材料進(jìn)行辨析，學(xué)會(huì)透過(guò)表面現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)它們的本質(zhì)特點(diǎn)，形成上位概念。

問(wèn)題2：數(shù)學(xué)和日常生活中存在大量不等關(guān)系，你能舉出一些含有不等關(guān)系的例子嗎？

學(xué)生每人至少各舉一個(gè)數(shù)學(xué)及日常生活中的例子并在小組交流，獨(dú)立歸納概括出不等式（組）的概念。

（3）辨析比較——教師要注意引導(dǎo)學(xué)生在比較中辨析和體會(huì)哪種分類更合理、更準(zhǔn)確，并注意特殊情況的研究和思考。

問(wèn)題3：你能對(duì)以上所舉例子進(jìn)行分類嗎？

第一層次：獨(dú)立進(jìn)行分類，并以小組為單位對(duì)不同分類標(biāo)準(zhǔn)的合理性進(jìn)行討論。

第二層次：全班進(jìn)行交流和討論。

教師引導(dǎo)學(xué)生在比較中辨析和體會(huì)哪個(gè)分類更合理、更準(zhǔn)確，并注意特殊情況的研究和思考。

（4）抽象命名——引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)各種分類結(jié)果的本質(zhì)特點(diǎn)，對(duì)各種關(guān)系進(jìn)行命名，從而得到下位概念的各種類型。

提煉出不等式的概念，并對(duì)不等式進(jìn)行分類。

根據(jù)字母所在位置進(jìn)行分類：整式不等式，分式不等式，無(wú)理不等式，……

在整式不等式中，根據(jù)字母的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類：一元不等式，二元不等式，……；根據(jù)字母的次數(shù)進(jìn)行分類：一次不等式，二次不等式，……

在此基礎(chǔ)上，學(xué)生說(shuō)出一元一次不等式、一元二次不等式及二元一次不等式的概念及形式，以及不等式組的概念，并能舉例加以說(shuō)明。

（5）鞏固應(yīng)用——用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟。

問(wèn)題探究（課本素材）

（6）整體認(rèn)識(shí)——從整體上認(rèn)識(shí)與概念相關(guān)知識(shí)內(nèi)容及研究套路。

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧之前學(xué)習(xí)過(guò)的方程（等式）的知識(shí)內(nèi)容，如等式的性質(zhì)，一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程等，梳理相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)。

類比方程（等式）的相關(guān)內(nèi)容，構(gòu)建不等式的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

課型3：探索數(shù)學(xué)對(duì)象運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律（以《函數(shù)的概念》為例）

（1）概念的引入——通過(guò)復(fù)習(xí)回顧或日常生活中的實(shí)例引入概念，學(xué)生經(jīng)歷材料感知的基礎(chǔ)上初步認(rèn)識(shí)概念。

問(wèn)題1：函數(shù)的概念是什么？我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)哪些函數(shù)？

提出問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考，通過(guò)對(duì)一些基本初等函數(shù)，如正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)等的認(rèn)識(shí)，揭示函數(shù)是用于描述變量之間依賴關(guān)系的模型。

（2）概念的形成——引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)活動(dòng)或數(shù)學(xué)實(shí)例中概括出概念的本質(zhì)。

問(wèn)題2：y=1是函數(shù)嗎？y=x與y=■是同一個(gè)函數(shù)嗎？

展示課本三個(gè)實(shí)例并提問(wèn)：

問(wèn)題3：以上三個(gè)實(shí)例存在哪些變量？變量的變化范圍分別是什么？?jī)蓚€(gè)變量之間存在著怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？三個(gè)實(shí)例變量之間有什么共同點(diǎn)？

（3）概括概念——學(xué)生嘗試給概念下定義，在小組交流、全班研討中不斷完善對(duì)概念的精確描述。

問(wèn)題4：你還能舉出一些相關(guān)的例子嗎？你能歸納概括出一般結(jié)論嗎？

除了課本中的三個(gè)實(shí)例，讓學(xué)生大量舉例（可以是已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的基本初等函數(shù)），通過(guò)聚類分析提煉抽象本質(zhì)屬性，獲得函數(shù)概念。

（4）理解概念——從概念的內(nèi)涵與處延、概念的要素理解概念。

問(wèn)題5：我們可以從哪些方面理解函數(shù)的定義？

引導(dǎo)學(xué)生明確以下幾點(diǎn)：①函數(shù)的要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系。②函數(shù)的表示法：解析式、圖象、表格。③函數(shù)記號(hào)y=f（x）的內(nèi)涵。

（5）應(yīng)用概念——用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟。

問(wèn)題6：初中學(xué)過(guò)哪些函數(shù)？它們的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則分別是什么？

提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考，啟發(fā)學(xué)生利用表格對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的要素進(jìn)行歸納與類比，并可利用信息技術(shù)工具（幾何畫(huà)板）畫(huà)出函數(shù)的圖像幫助理解上述函數(shù)的三個(gè)要素。

（6）形成認(rèn)知——?dú)w納總結(jié)概念的形成過(guò)程，概括應(yīng)用概念解決問(wèn)題的方法步驟。

問(wèn)題7：你對(duì)“函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型”這句話有什么體會(huì)？構(gòu)成函數(shù)的要素有哪些？你能舉出生活中一些函數(shù)的例子嗎？

舉出生活中函數(shù)的例子（三個(gè)以上），并用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)描述函數(shù)，同時(shí)說(shuō)出函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系。

問(wèn)題8：我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用集合和對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫(huà)了函數(shù)概念，并引進(jìn)了符號(hào)y=f（x），明確了函數(shù)的構(gòu)成要素。比較初中函數(shù)與本節(jié)課函數(shù)的定義，你對(duì)函數(shù)有什么新的認(rèn)識(shí)？

函數(shù)及基本初等函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與定積分、二元方程（直線與曲線的方程）都是反映運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，按以上的操作流程可以更加清晰地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象運(yùn)動(dòng)變換的本質(zhì)屬性。