馮博鑫，譚守林，仉小博

(陜西西安第二炮兵工程大學4504 分隊，西安 710025)

隨著人類航天活動的不斷增加，空間環(huán)境狀態(tài)日益惡化，空間存在的大量碎片對在軌航天器造成的安全威脅日趨增加，航天器與其他空間飛行體撞擊事件時有發(fā)生。北京時間2009年2月11日，美國通信衛(wèi)星“銥星33”與俄羅斯已報廢多年的“宇宙2251 號”軍用通信衛(wèi)星在西伯利亞上空發(fā)生激烈相撞，引起了國際社會的高度關注［1］。對空間碎片的跟蹤、觀測、軌道確定、碰撞預警等領域的研究在理論上已有大量成果。為確保攔截器在軌運行過程中不會與其他空間飛行體碰撞，必須根據(jù)空間飛行體運動狀態(tài)及分布特性，為攔截器選擇一條無障礙的安全飛行軌道。

1 在軌攔截器飛行環(huán)境分析

在軌攔截器無論是在軌運行，還是在攔截器機動軌道上執(zhí)行攔截任務，都可能會與其他空間飛行體相遇，尤其是空間碎片。由于其數(shù)量多，分布區(qū)域大，與攔截器相碰撞的可能性極大。

1.1 空間碎片數(shù)量分布

據(jù)統(tǒng)計，截止目前人類總共有5 000 余次航天活動，6 000多個航天器被送入軌道，隨著各國航天事業(yè)的快速發(fā)展，空間碎片與日俱增，據(jù)美國空間監(jiān)視網絡(SSN)觀測，直徑大于10 cm 的空間碎片約1.9 萬多個。直徑在1 ～10 cm之間的空間碎片有20 萬個左右，直徑在1 ～1 cm 之間的空間碎片約有3 ～4 千萬個［2］。所研究的空間碎片，主要是地面觀測設備所能觀測并能測定其軌道的碎片，這些碎片尺寸其直徑通常大于10 cm，具有較大的動能和破壞力，與攔截器相撞，足以將其毀傷。

1.2 空間碎片質量分布

據(jù)資料統(tǒng)計，直徑大于10 cm 的空間碎片，其總質量約占全部空間碎片質量的99%以上，約為3 000 t，人類在半個多世紀內發(fā)射入軌的航天器有6 000 多噸，而目前留在軌道的上的碎片質量將近其一半，這3 000 t 空間碎片中分布在近地軌道的約為2 500 t。直徑大于10 cm 的1.9 萬多個空間碎片其運行軌道在空間分布為:近地軌道空間碎片約15 500個，占總數(shù)的80%，地球中高軌道空間碎片約2 500個，占總數(shù)13%;地球同步軌道空間碎片約1 250 個，占總數(shù)7%［3］。其分布概況如圖1 所示。

圖1 空間碎片分布

1.3 空間碎片密度分布

直徑10 cm 以上空間碎片的分布可以基本上反映編目空間碎片的空間分布情況。在距離地面750 ～1 000 km 高度帶是空間碎片最擁擠的區(qū)域;在1 400 ～1 500 km 高度處、半同步軌道區(qū)域以及地球同步軌道區(qū)域也有顯著的碎片高密集度，這是由此區(qū)域的高利用率以及低大氣阻力所致。在300 km 以下區(qū)域，由于大氣阻力的原因，空間碎片的軌道壽命很短，使得空間碎片總數(shù)迅速減少，其空間密度分布很小。

1.4 空間碎片運動特性

空間碎片在有心力場的作用下以橢圓軌道繞地球運行，其軌道可通過各種觀測手段進行探測，因此軌道根數(shù)可以被確定。有了軌道根數(shù)，關于空間碎片的在軌運動參數(shù)即允許周期、軌道任意點的時間、速度、傾向等均可求出。由于空間碎片除了受地球引力外，還會受大氣阻力、太陽光攝動、日月引力等多種攝動力的影響，會導致其軌道根數(shù)發(fā)生變化［4］。為便于問題討論，本研究中忽略此類攝動力對空間碎片軌道根數(shù)的影響。

2 在軌攔截器空間碎片碰撞概率建模

2.1 空間碎片對攔截器破壞影響分析

經計算，一顆直徑為3 cm，以10 km/s 的速度運動的空間碎片，所具有的動能與一個以100 km/h 速度運動的保齡球的動能一樣大。這些空間碎片如果與高速運行的攔截器相撞，會對其造成嚴重損壞，影響攔截器正常飛行，降低攔截器遂行任務的能力，所以必須進行在軌攔截器和空間碎片碰撞概率建模。

2.2 攔截器和空間碎片位置確定

2.2.1 攔截器軌道運動任意時刻位置確定

攔截器在空間的軌道運動方程為

式中:P 為半通徑;f 為真近點角。

由于攔截器軌道根數(shù)可以確定，故可以求出攔截器任意時刻t 時的空間位置(x，y，z)，圖2 所示為攔截器位置在天球上的關系，圖2 中s 點位攔截器在天球上的投影，Ω 為升交點赤經，i 為軌道傾角，u 為緯度幅角，由球面三角關系可得［5］

圖2 攔截器的球面關系

2.2.2 空間碎片軌道運動任意時刻位置確定

進行攔截器空間碎片碰撞概率計算，所研究的是國際上已進行跟蹤測定的空間碎片，可以確定空間不同區(qū)域碎片的數(shù)目和每個碎片的軌道根數(shù)，假設在攔截器飛行通道內，可能與之發(fā)生碰撞的空間碎片有N 個，這N 個空間碎片的運動方程可以逐一確定

同理，根據(jù)式(2)可以確定每一個空間碎片在任意時刻t時的位置:

式中，n=1，2，3，…，N。

2.3 碰撞危險性判據(jù)確定

攔截器和空間碎片碰撞概率，其實質是攔截器和空間碎片在某一時刻的相對距離小于等效半徑之和的概率，但由于測量和計算誤差以及空間其他攝動力的干擾，會導致攔截器和空間碎片的軌道計算存在誤差，只能給出碰撞的危險程度，因此需要對碰撞危險性判據(jù)進行研究。

2.3.1 傳統(tǒng)碰撞判據(jù)分析

目前國際上碰撞預警的判據(jù)有BOX 判據(jù)和碰撞概率判據(jù)2 種。BOX 判據(jù)其本質含義是統(tǒng)一考慮航天器與空間飛行體的誤差，把位置誤差的分布平均化，當空間飛行體進入航天器周圍的BOX 區(qū)域以內時，表示會發(fā)生空間飛行體與航天器的碰撞事件，否則不存在碰撞危險，即把碰撞事件簡化成0 -1 事件。例如美國航天飛機將航天器沿跡方向±25 km，垂直于沿跡方向及軌道平面的外法向±10 km 作為預警區(qū)域，當空間飛行體進入這一區(qū)域時即發(fā)出預警。

碰撞概率判據(jù)綜合考慮航天器和空間飛行體各自的誤差，并把各自的誤差假設成正態(tài)分布模式，然后綜合考慮其他交會因素來計算碰撞風險。BOX 判據(jù)具有普適性的優(yōu)點，對任何軌道類型和任何航天器均適用，但缺點是方法過于保守，誤警率很高;碰撞概率判據(jù)則是針對BOX 判據(jù)的缺點而提出的，能避免很高的誤警率，但其建立在大量誤差的基礎上，對誤差數(shù)據(jù)的依賴程度很高，而且模型復雜，計算量很大。

2.3.2 球形判據(jù)建模

根據(jù)BOX 判據(jù)和概率判據(jù)的優(yōu)缺點，為簡化模型和快速計算，提出球形判據(jù)，即設定危險交會距離ΔL，當攔截器與空間飛行體的距離小于ΔL 時即可認為存在碰撞危險。基于數(shù)值法的碰撞預警精度主要取決于時間步長tn以及危險距離LDanger，當tn取值太大時可能會引起漏報，tn取值太小時會使預警時間增加;當LDanger取值太大時容易引起虛報，取值太小則可能會引起漏報，因此必須確定合適的時間步長和危險距離。

確定了攔截器的飛行管道后需要以飛行管道中心線上的任意一點為球心構建一個圓球體，使得攔截器運行至此處時只要圓球體內沒有空間碎片就可以保證此刻攔截器的安全。圓球體的半徑R1是需要考慮的關鍵。

球體半徑R1的確定主要來源于以下3 個因素:

1)空間飛行體半徑。只要空間碎片觸碰攔截器就認為是發(fā)生了碰撞，如此空間碎片半徑就成了需要考慮的因素之一。為確保所構建的球體能夠保證攔截器的安全，不妨選取半徑最大的空間碎片為模板，令其半徑為Rmax;

2)攔截器自身尺寸。同樣，只要空間碎片與攔截器的外表面接觸就算發(fā)生了碰撞，由考慮到攔截器在飛行中的姿態(tài)各異，故選取攔截器最大長度的一半作為參考標準，令攔截器長度為l;

3)空間碎片軌道誤差。受觀測水平影響，對空間碎片的軌道預報必然存在誤差?？臻g飛行體不僅受地球引力作用，還受到其他星球的引力及大氣阻力、太陽光壓等作用，因此對空間碎片的軌道預報必然存在誤差，在此假設為d。

綜上所述，可得到基于某個攔截器軌道所需考慮的圓球體半徑R1應滿足

但由于攔截器軌道本身是有誤差的，除了受地球引力外，還會受大氣阻力、太陽光攝動、日月引力等多種攝動力的影響，會導致其軌道根數(shù)發(fā)生變化，所以實際需要考慮的是一條以解算出的標準軌道為軸心，R0為半徑的彎曲狀圓柱體軌道，所以需要判斷是否有空間碎片的安全分析管道半徑ΔH 應該為管道半徑R0與圓球體半徑R1之和，即

通過上述模型可構建攔截器的空間安全飛行管道，即以解算的標準軌道為管道中心，ΔH 為管道半徑的彎曲狀柱體。接下來只需考慮此管道中是否存在空間碎片即可判斷攔截器空間分析的安全性。

由于R0和d 的數(shù)量級一般為千米級，而l 和Rmax的數(shù)量級一般為米級甚至是分米級，因此攔截器和空間碎片的尺寸可以忽略不計，即

由此認為，當攔截器與空間碎片的最短距離小于LDanger時認為攔截器與空間碎片發(fā)生碰撞。

2.4 在軌攔截器空間碎片碰撞概率模型

2.4.1 搜索時間步長確定

時間步長是計算在軌攔截器空間碎片碰撞概率的重要參數(shù)。選取步長過大，則可以節(jié)省運算時間，但可能會導致漏掉部分危險飛行體;選取步長過小雖然可以保證預警的精度，但會占用過多的計算資源，使計算量劇增。因此為了節(jié)約運行資源并保證預警精度和效率，必須選取適當?shù)乃阉鲿r間步長。

在碰撞預警模型中使用的是球形區(qū)域判定法，假定已知某一空間飛行體穿過以攔截器為質心的球形區(qū)域，如圖3所示。

圖3 空間碎片穿越球形區(qū)域示意圖

假定反衛(wèi)攔截器與空間碎片的相對速度為Vds，由于空間碎片相對攔截器高速運動，平均速度達10 km/s，因此在某一特定的球形區(qū)域內，可認為空間碎片相對攔截器做勻速直線運動。空間碎片在球形區(qū)域內的逗留時間tds滿足:0 ≤tds≤2ΔH/Vds，而空間碎片可能從任一方向進入球形區(qū)域，因此可將進入角度θds看出隨機變量，且由于各方向進入的可能性都相同，從而可認為θds服從均勻分布。逗留時間tds是θds的函數(shù)，顯然tds在0 ～π/2 和π/2 ～π 之間具有對稱性，因此可將θds看出0 ～π/2 之間的均勻分布，其概率密度函數(shù)為

而逗留時間

由隨機變量的函數(shù)分布規(guī)律，得逗留時間的概率密度函數(shù)為

由統(tǒng)計學可知，當某事件發(fā)生的概率達到5%時，可認為該事件為小概率事件，所以最小逗留時間Δtmin滿足

即

其中Δtmin即為搜索時間步長，以Δtmin為搜索時間步長時誤警率等約于5%，由此保證了預警結果準確可靠。

2.4.2 碰撞概率計算流程

利用計算機針對可能與攔截器發(fā)生碰撞的N 個空間碎片依次進行搜索，在計算單個空間碎片是否與攔截器相撞時，選取Δtmin為搜索時間步長，在t≤T0的時間段內進行搜索判斷，T0為在軌攔截器運行周期T1和空間碎片周期T2的最小公倍數(shù)，選擇T0作為搜索周期可以保證篩選結果的可靠性，具體流程如圖4 所示。

圖4 攔截器空間碎片碰撞概率計算流程

在搜索完N 個空間碎片后，可以得出攔截器與該區(qū)域空間碎片的碰撞概率為

3 算例分析

為了驗證已構建碰撞概率模型的合理性，利用TLE 數(shù)據(jù)作為碰撞預警仿真在軌運行的衛(wèi)星以及空間碎片數(shù)據(jù)來源，對5 個衛(wèi)星及其周圍的5830 個空間碎片的運動進行了搜索計算，軟件環(huán)境為VC6.0 ++，硬件配置為Xeon(R)CPU、主頻2.00 GHz，2G 內存。碰撞預警計算結果如表1 所示。

表1 碰撞預警計算結果

由表1 可以得出:

1)在軌運行的航天器與10 cm 以上的空間碎片存在碰撞風險，為確保在軌攔截器安全飛行，對其進行碰撞預警分析是很有必要的。

2)對在軌運行的航天器進行危險空間碎片篩選，其用時大概在5 ～10 min，與其他傳統(tǒng)碰撞判據(jù)用時相比較，縮短了計算用時，說明本研究提出的球形判據(jù)是科學合理的。

4 結論

針對在軌攔截器與空間碎片碰撞問題，提出了危險空間碎片球形判據(jù)和搜索時間步長確定方法，根據(jù)碰撞概率計算流程，對5 個衛(wèi)星及其周圍的5 830 個空間碎片進行了搜索計算，可以剔除90%以上的空間碎片且用時較短，其計算結果與實際情況較為吻合，驗證了模型的科學性和合理性，為了使計算結果更接近真實情況，需要選取合適的危險距離以及時間搜索步長進行碰撞預警。本研究定義的在軌攔截器與空間碎片碰撞概率可以較為直觀地反映攔截器在空間飛行中可能遇到的安全威脅，在對攔截器和空間碎片進行碰撞預警時，可以用這樣的算法先進行粗略篩選，然后用高精度的計算模型作最后的判別。

［1］馮昊，向開恒.美俄衛(wèi)星碰撞事件驗證及其對我國衛(wèi)星的影響分析［J］.航天器工程，2009(5):20-27.

［2］霍江濤，秦大國，祁先鋒.空間碎片概況研究［J］.裝備指揮技術學院學報，2007(5):56-60.

［3］林來興. 空間碎片現(xiàn)狀與清理［J］. 航天器工程，2012(3):1-10.

［4］龐寶君，許可.空間碎片數(shù)據(jù)形式及軌道演化算法［J］.上海航天，2011(1):50-55.

［5］孫家棟，戚法軔，屠善澄. 航天器軌道動力學與控制［M］.北京:中國宇航出版社，2005.