閆允一，郭寶龍，朱娟娟，孟繁杰

(西安電子科技大學(xué)空間科學(xué)與技術(shù)學(xué)院智能探測(cè)系，陜西西安710071)

0 引言

“信號(hào)與系統(tǒng)”是電子信息類專業(yè)的主干基礎(chǔ)理論課程，是后續(xù)眾多專業(yè)課程的前導(dǎo)[1，2]。我們?cè)诒菊n程體系內(nèi)引入與其他后續(xù)專業(yè)課程的相關(guān)概念，可以給學(xué)生和讀者打開一扇通向?qū)I(yè)領(lǐng)域的窗戶。其中的專業(yè)內(nèi)容和涉及理論，可以依據(jù)各校自身的辦學(xué)特色進(jìn)行變更或調(diào)整。

現(xiàn)行的“信號(hào)與系統(tǒng)”內(nèi)容體系中大多以傅里葉變換、拉氏變換和Z變換為核心展開，內(nèi)容涉及連續(xù)以及離散系統(tǒng)的分析。但三大變換均不具備對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)域局部分析的能力，而具體的應(yīng)用場(chǎng)景中則往往需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)域局部分析，因此有必要在“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中增加時(shí)域局部分析工具的介紹。其中，短時(shí)傅里葉變換STFT(Short Time Fourier Transform)是比較經(jīng)典的具備時(shí)域局部分析的工具。它和傅里葉變換又是小波分析中繞不過去的鋪墊，其發(fā)展歷史也決定了其必然性。短時(shí)傅里葉變換中的時(shí)頻聯(lián)合分析概念在小波變換WT(Wavelet Transform)得到了進(jìn)一步的發(fā)展和改進(jìn)[3]。因此，通過對(duì)傅里葉以及短時(shí)傅里葉變換及其局限的分析，能夠比較順暢地引入小波變換。

傅立葉變換得到的傅立葉系數(shù)是不隨時(shí)間變化的常數(shù)[4]。事實(shí)上，求傅立葉系數(shù)是全時(shí)間域上的平均(因?yàn)橄禂?shù)計(jì)算是整個(gè)時(shí)域上進(jìn)行積分)，局部突變的作用很難反映出來。為此，人們首先想到的解決方案就是對(duì)傅里葉變換的時(shí)域作用區(qū)間進(jìn)行限制，也稱加窗傅里葉變換的STFT應(yīng)運(yùn)而生。

1 平穩(wěn)信號(hào)與非平穩(wěn)信號(hào)

實(shí)際上一種數(shù)學(xué)變換是否適合于某個(gè)領(lǐng)域，除了與變換本身的特性有關(guān)之外，還跟待分析的信號(hào)的特性有非常大的關(guān)系，而信號(hào)是否平穩(wěn)是一個(gè)非常關(guān)鍵的要素。對(duì)于確定信號(hào)，如果信號(hào)的頻率成分隨著時(shí)間而發(fā)生變化，那么這樣的信號(hào)稱為非平穩(wěn)信號(hào);若信號(hào)的頻率成分與時(shí)間無關(guān)，則稱為平穩(wěn)信號(hào)。

很多實(shí)際信號(hào)都是非平穩(wěn)信號(hào)。比如腦電圖波形因激動(dòng)、放松、淺睡、熟睡和深睡等不同狀態(tài)而大為不同，即便是在每個(gè)狀態(tài)之內(nèi)信號(hào)的非平穩(wěn)性也非常明顯。傅里葉變換給出了信號(hào)中包含的頻率信息，但是并沒有告訴我們某個(gè)頻率信號(hào)是在何時(shí)出現(xiàn)的，分析非平穩(wěn)信號(hào)具有明顯局限。[例1]試對(duì)如下信號(hào)做傅里葉幅頻特性分析

解:f1(t)是一個(gè)平穩(wěn)信號(hào)，頻率為10Hz，25Hz、50Hz和100Hz的分量出現(xiàn)在整個(gè)時(shí)域內(nèi)，其時(shí)域波形如圖1(a)所示。從圖1(b)的幅頻特性圖中，可以明顯地看到四個(gè)頻譜分量分別對(duì)應(yīng)著相應(yīng)的頻率。

圖1 f1(t)時(shí)域波形和幅頻特性

f2(t)包含四個(gè)頻率分量的信號(hào)，它們分別在不同時(shí)刻出現(xiàn)，因此這是一個(gè)非平穩(wěn)信號(hào)，其時(shí)域波形如圖2(a)所示。由圖2(b)的幅頻特性可以看到依然有四個(gè)尖峰，且50Hz和100Hz分量的幅度比25Hz和 10Hz分量大，這是因?yàn)楦哳l信號(hào)時(shí)長(zhǎng)(300ms)比低頻信號(hào)時(shí)長(zhǎng)(150ms)大。若忽略掉因頻率突變引起的毛刺(有時(shí)候他們與噪聲很難區(qū)分)和兩幅圖中各頻率分量的幅值(這些幅值可以做歸一化處理)，圖1和圖2的頻譜圖幾乎是一致的，雖然相應(yīng)的時(shí)域信號(hào)之間差別很大。這說明:平穩(wěn)信號(hào)與非平穩(wěn)信號(hào)在時(shí)域內(nèi)可能具有完全不同的波形，但在頻域內(nèi)卻可能具有非常相似的傅里葉頻譜特性。

圖2 f2(t)的時(shí)域波形和幅頻特性

2 傅里葉變換的局限

傅里葉變換無法有效地處理這樣的非平穩(wěn)信號(hào)。傅里葉變換的實(shí)現(xiàn)過程可以寫成如下的形式:

傅里葉變換隱藏了原信號(hào)的時(shí)間位置信息，不能區(qū)分頻率成分出現(xiàn)時(shí)間不同的信號(hào)，不具備時(shí)域的分辨率。因此傅里葉分析不適合于分析頻率隨時(shí)間而變化的非平穩(wěn)信號(hào)。分析非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)，我們往往要兼顧時(shí)間和頻率兩方面的信息。短時(shí)傅里葉變換STFT是一個(gè)比較常用的解決方案。

3 短時(shí)傅里葉變換STFT

很多實(shí)際的系統(tǒng)分析中，需要同時(shí)知道局部范圍內(nèi)的頻率信息和時(shí)間信息，而不是全局或者整體的平均數(shù)值，此時(shí)傅里葉變換就不合適了。實(shí)際系統(tǒng)中的非平穩(wěn)信號(hào)往往在一定的時(shí)間區(qū)間內(nèi)的是保持平穩(wěn)的，通過時(shí)域內(nèi)的窗函數(shù)提取出非平穩(wěn)信號(hào)的平穩(wěn)部分，然后進(jìn)行傅里葉變換就可以知道其頻率信息，而窗函數(shù)的位置就提供了時(shí)間信息。

[定義]對(duì)時(shí)域內(nèi)平方可積信號(hào)x(t)?L2(R)和窗函數(shù) W(t)，定義

為x(t)的短時(shí)傅里葉變換，其中，x(t)是信號(hào)本身，W(t－τ)是中心位于τ位置的時(shí)域窗函數(shù)。需要注意的是，一般而言，τ落后于t，且其分辨率要低于t。τ往往是離散的幾個(gè)點(diǎn)，而不是像t一樣是連續(xù)的。當(dāng)窗函數(shù)為高斯函數(shù)時(shí)，該變換被稱為Gabor變換。

STFT只不過是對(duì)乘了一個(gè)窗函數(shù)的信號(hào)做傅里葉變換。STFT將信號(hào)在時(shí)間域內(nèi)分為若干足夠小的片段，每個(gè)片段都可以看成是平穩(wěn)信號(hào)。STFT需要窗函數(shù)的寬度應(yīng)與信號(hào)片段的寬度相匹配，以確保窗內(nèi)信號(hào)平穩(wěn)性有效。因此，短時(shí)傅里葉變換又被稱為加窗傅里葉變換WFT(Windowed Fourier Transform)。[例2]已知0.25，0.25i)，并且窗函數(shù) W(t)=e-1000t2/2，試對(duì)該信號(hào)用短時(shí)傅里葉變換進(jìn)行分析。

解:f3(t)實(shí)際上是一個(gè)分段平穩(wěn)的非平穩(wěn)信號(hào)，其時(shí)域波形如圖3(a)所示。信號(hào)共有四個(gè)頻率分量分別為 400Hz，200Hz，100Hz和 50Hz，振幅分別為1，2，3和4，按照時(shí)間順序它的各分量分別作用0.25秒。該信號(hào)的STFT結(jié)果如圖3(b)所示。

圖3 一個(gè)非平穩(wěn)信號(hào)及其STFT結(jié)果

從STFT結(jié)果可以看到，STFT以頻率中線為軸對(duì)稱的。因?yàn)镾TFT只不過是加過窗的函數(shù)的傅里葉變換。四個(gè)波峰對(duì)應(yīng)著四個(gè)分量，在時(shí)間軸上對(duì)應(yīng)著不同的位置，這意味著原始信號(hào)的四個(gè)頻率分量也都出現(xiàn)在不同的時(shí)間段內(nèi)。因此，我們得到的是原始信號(hào)的一個(gè)時(shí)—頻聯(lián)合表示，即不僅表明了信號(hào)中都有什么頻率分量，還給出了各分量的作用時(shí)間。

4 短時(shí)傅里葉變換的局限

STFT給出了信號(hào)的時(shí)頻表示，看起來已經(jīng)解決了時(shí)間和頻率共存的問題。但測(cè)不準(zhǔn)原理表明，在實(shí)際的物理系統(tǒng)中不能獲取信號(hào)絕對(duì)精確的時(shí)頻表示。在短時(shí)傅里葉變換中，時(shí)間窗口寬度不變，在較長(zhǎng)的時(shí)間窗內(nèi)，高頻信號(hào)的變換系數(shù)可能是很多周期的平均值，無法對(duì)局部特征進(jìn)行刻畫;若減小時(shí)間窗，高頻信號(hào)能夠被捕捉到，但無法刻畫低頻信號(hào)，因?yàn)樵谝粋€(gè)很短的窗口內(nèi)觀察到的低頻信號(hào)變化可能小到無法檢測(cè)。

綜合考慮傅里葉變換和短時(shí)傅里葉變換，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)存在這樣一個(gè)矛盾:如果給定一個(gè)無限長(zhǎng)的窗函數(shù)，會(huì)得到完美的頻率分辨率，但是變換結(jié)果中完全不包含時(shí)間信息;要使用傅里葉變換進(jìn)行分析，其前提是信號(hào)應(yīng)該是平穩(wěn)的，那么為了獲得平穩(wěn)性，我們必須要用一個(gè)寬度足夠短的窗函數(shù)，時(shí)間分辨率較高，信號(hào)平穩(wěn)性也越好，但頻率分辨率卻越低。

在使用STFT之前首先面臨的問題就是窗函數(shù)的選擇問題。如果原始信號(hào)中的頻率分量能被分離出來，或者能通過其他手段來估算頻段構(gòu)成，那么可以犧牲一定的頻率分辨率，用一個(gè)較窄的窗來追求更高的時(shí)間分辨率;否則，若無法獲得原始信號(hào)的頻率信息，那么完全沒有辦法保證窗函數(shù)能夠適于進(jìn)行信號(hào)的時(shí)頻分析。

短時(shí)傅里葉變換試圖通過窗函數(shù)來兼顧時(shí)間和頻率分辨率，但在整個(gè)變換過程中保持恒定，本質(zhì)上是一種分辨率單一且固定的分析方法。要想對(duì)依據(jù)非平穩(wěn)信號(hào)的頻率特性進(jìn)行自適應(yīng)分析，需要分析工具具備多分辨分析能力。小波變換中時(shí)移—尺度聯(lián)合分析在一定程度上解決了信號(hào)分析中能兼顧時(shí)域分辨率和頻域分辨率的問題。

5 結(jié)語

傳統(tǒng)的“信號(hào)與系統(tǒng)”課程體系以傅里葉變換為代表的三大變換為核心展開。但傅里葉變換不具備局部時(shí)域分析的能力，這在實(shí)際工程應(yīng)用有一定的局限性。短時(shí)傅里葉變換STFT通過引入時(shí)間窗，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)特定時(shí)域范圍內(nèi)信號(hào)的分析，一般無法依據(jù)信號(hào)自適應(yīng)地進(jìn)行調(diào)整窗口寬度，是一種單一分辨率的分析方法。STFT所蘊(yùn)含的時(shí)頻聯(lián)合分析概念，在實(shí)際應(yīng)用中具有極大價(jià)值，并且對(duì)進(jìn)一步引入多分辨分析概念具有前導(dǎo)和鋪墊作用。

[1]鄭君里谷源濤，信號(hào)與系統(tǒng)課程歷史變革與進(jìn)展[J]，南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2012(02).

[2]鄭君里，試談電工程與信息科學(xué)領(lǐng)域基礎(chǔ)課程教學(xué)改革[J]，南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2006(01).

[3]鄧東皋，彭立中，小波分析[J]，北京:數(shù)學(xué)進(jìn)展，1992(03)

[4]李亞峻，史興榮，李毅 傅里葉變換在信號(hào)處理中的優(yōu)越性[J]，長(zhǎng)春:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012(07)