武 晨

（江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院南京分院，江蘇 南京 210019）

0 引言

近年來(lái)，帶有積分型邊值條件的邊值問(wèn)題在熱傳導(dǎo)、半導(dǎo)體以及流體力學(xué)等領(lǐng)域有著越來(lái)越重要的應(yīng)用（見［1-2］），并且隨著研究的深入也取得了一系列重要成果（見［3-7］）.文獻(xiàn)［7］研究了一個(gè)二階奇異的帶有積分型邊值條件的邊值問(wèn)題：，作者通過(guò)利用復(fù)合單調(diào)算子理論證明了上述邊值問(wèn)題的解是存在唯一的.文獻(xiàn)［8］考慮了如下的一個(gè)奇異的n階m點(diǎn)邊值問(wèn)題：，應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論證明了其正解的存在性.我們知道積分型邊值條件包含了多點(diǎn)邊值這一特殊情況，事實(shí)上，如果我，其中k≥1 是一個(gè)正整數(shù)，ai,bi∈[0,+∞)是一個(gè)(0,1)中的有限點(diǎn)列，χ(s)是[0,+∞)上的特征函數(shù)，即：則邊值條件（2）就退化為：

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，筆者研究在(0,1)區(qū)間上一個(gè)帶有積分型邊值條件的奇異的n階邊值問(wèn)題：

無(wú)窮多正解的存在性.其中，n≥2,ξ(s),η(s)非減，a(t)∈Lp[0,1](p≥1)，并且a(t)在中有可數(shù)多個(gè)奇異點(diǎn)，邊值條件中的積分是Riemann-Stieltjes 型積分，邊值問(wèn)題（1）（2）的正解是指存在函數(shù)u∈C1[0,1]?Cn(0,1)，使得當(dāng)t∈(0,1)時(shí)有u(t)＞0 成立，且滿足（1）（2）.

在本文中，我們假設(shè)以下條件成立：

H1：存在序列

H2：存在H＞ 0，使得當(dāng)t∈[t*,1-t*]時(shí)有a(t)≥H成立；

H3：存在p≥1，使得a(t)∈Lp[0,1]；

H4：f∈C([0,+∞),[0,+∞))；

另外，由ξ(s),η(s)非減可知，

1 一些引理和定義

引理1設(shè)E是一個(gè)Banach空間，P是E中的錐，假設(shè)Ω1,Ω2是E中滿足的兩個(gè)開子集，且是一個(gè)全連續(xù)算子，滿足：（i）‖Tu‖≤‖u‖，u∈P??Ω1，且‖Tu‖≥‖u‖，u∈P??Ω2；或者（ii）‖Tu‖≥‖u‖，u∈P??Ω1，且‖Tu‖≤‖u‖，u∈P??Ω2；則T在中至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

引理2［9］

且格林函數(shù)G(t,s)滿足：

（i）G(t,s)≥0 在 [0,1]×[0,1]上連續(xù)；

（ii）G(t,s)≥G(θ1(s),s)(t,s∈(0,1)),?τ∈，存在常數(shù)，使得

觀察組護(hù)理后收縮壓為(141.3±13.1)mm Hg、舒張壓為(83.4±7.8)mm Hg、總膽固醇為(5.1±0.7)mmol/L、甘油三酯為(2.7±0.3)mmol/L、纖維蛋白原為(3.2±0.8)g/L;對(duì)照組護(hù)理后收縮壓為(159.7±14.2)mm Hg、舒張壓為(94.6±8.4)mm Hg、總膽固醇為(6.7±0.9)mmol/L、甘油三酯為(4.5±0.8)mmol/L、纖維蛋白原為(3.5±0.9)g/L,觀察組各項(xiàng)指標(biāo)改善情況優(yōu)于對(duì)照組(P<0.05)。

其中

為了方便，我們記G(θ1(s),s)=G1(s).

引理3設(shè)g∈L(0,1)，則方程u(n)(t)+g(t)=0,t∈(0,1)對(duì)應(yīng)于邊值問(wèn)題（2）的唯一解為：

為了應(yīng)用（4），我們定義一個(gè)特殊的錐，設(shè)E=C[0,1]，賦予范數(shù)則E是一個(gè) Banach 空間，對(duì)任意固定的，定義錐：

其中

定義算子T:

顯然，u(t)是邊值問(wèn)題（1）（2）的解當(dāng)且僅當(dāng)u(t)是算子T的不動(dòng)點(diǎn).

引理4，算子T:Pτ→Pτ，并且T全連續(xù).

證明由條件顯然可知Tu(t)≥0，

令u∈Pτ，?t′∈[0,1]，由（4）（7）有：

2 主要結(jié)論

為了方便，給出以下記號(hào)：

定理1假設(shè)(H1)-(H5)成立，設(shè)滿 足tk+1＜τk＜tk,k=1,2,…, 令滿足：Rk+1＜γτkrk＜rk＜Rk，Mrk＜LRk,k=1,2,…，其中M∈(λ1,+∞)，L∈(0 ,λ2)，更進(jìn)一步，對(duì)每個(gè)自然數(shù)k，假設(shè)f滿足如下的增長(zhǎng)性條件：H6：f(u)≤LRk,u∈[0,Rk]；H7：f(u)≥Mrk,u∈[γτkrk,rk].則，邊值問(wèn)題（1）（2）有無(wú)窮多個(gè)正解，滿足rk≤ ‖uk‖≤Rk,k=1,2,….

證明定義E中的開子集：Ω1,k={u∈E|‖u‖≤Rk}，Ω2,k={u∈E|‖u‖≤rk}如上面假設(shè)，令，定義錐，固定k，對(duì)任意的u∈Pk??Ω2,k,s∈[τk,1-τk]，有，由H2、H5和H7可知：

令u∈Pk??Ω1,k，則u(s)≤‖u‖≤Rk.由H5、H6有：

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