劉春生

摘 要：如果存在，曲線在點(diǎn)存在切線，這是大家都知道的常識(shí)，但是很多教材和輔導(dǎo)書上都沒有討論如果不存在，是否曲線在點(diǎn)不存在切線。本文主要就是討論了該種情況。

關(guān)鍵詞：鄰域；切線；連續(xù)導(dǎo)數(shù)

曲線的切線是反映切點(diǎn)處曲線局部特征的重要直線，但是在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多大學(xué)生受到高中階段切線概念的影響，對(duì)曲線的切線概念的理解存在偏差，另一方面，一般的輔導(dǎo)書和教材對(duì)曲線在可導(dǎo)點(diǎn)處的切線都有介紹，但對(duì)于在不可導(dǎo)點(diǎn)處的切線的存在性，基本沒有討論，因此在討論曲線的時(shí)候往往容易發(fā)生遺漏，或者在理解上有誤區(qū)。本文就切線的定義，切線的存在性進(jìn)行了完整討論，以幫助大學(xué)生更加深刻理解切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。

一、切線的定義

給定曲線，點(diǎn)為曲線上的兩點(diǎn)，稱為曲線的割線，當(dāng)沿曲線趨于點(diǎn)M時(shí)，割線的極限位置稱為曲線在點(diǎn)處的切線。

由該定義可以看出來(lái)，曲線在點(diǎn)處的切線只與該點(diǎn)處的領(lǐng)域內(nèi)的形態(tài)有關(guān)。高中階段所學(xué)的關(guān)于圓的切線只是該定義的一種特殊情況。但是關(guān)于圓的切線結(jié)論并不適合一般曲線。比如，直線與圓的切線相切的充要條件是直線與圓的交點(diǎn)只有一個(gè)，這個(gè)結(jié)論就不適合一般曲線，事實(shí)上，曲線與直線雖然只有一個(gè)交點(diǎn)，但直線并不是曲線的切線；而曲線與直線雖然有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)，但是直線卻是曲線的切線。

二、切線的存在性

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得到以下結(jié)論

結(jié)論一：設(shè)在的鄰域內(nèi)有定義，若存在，則曲線在點(diǎn)處有切線，而且切線的斜率。切線方程為

特別地：若，則曲線在點(diǎn)處有水平切線

例（1）在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)，故在處切線方程為，

即：

結(jié)論二：設(shè)在的鄰域內(nèi)連續(xù)，若不存在，但且，則曲線在點(diǎn)處有垂直切線。

例（2）曲線在的鄰域內(nèi)連續(xù)，在處的導(dǎo)數(shù)不存在，

但故在點(diǎn)處有切線

結(jié)論三：設(shè)在的鄰域內(nèi)連續(xù)，若不存在，但與不同時(shí)成立，則曲線在點(diǎn)處無(wú)切線。

例（3）1.曲線在的鄰域內(nèi)連續(xù)，在處的導(dǎo)數(shù)不存在，而且故在點(diǎn)處無(wú)切線

2.曲線在的鄰域內(nèi)連續(xù)，在處的導(dǎo)數(shù)不存在，而且故在點(diǎn)處無(wú)切線

結(jié)論四：設(shè)在（或者）上連續(xù)，若（或者）存在，則曲線在點(diǎn)處有切線，而且切線的斜率（或者。切線方程為

或者

例（4）曲線在上連續(xù)，且在點(diǎn)處，故在處有水平切線。

結(jié)論五：設(shè)在（或者）上連續(xù)，若（或者）存在，則曲線在點(diǎn)處有垂直切線

例（5）曲線在上連續(xù)，且在點(diǎn)處，故在處有垂直切線。

結(jié)論六：設(shè)在（或者）上連續(xù)，若（或者）不存在，且不為無(wú)窮大，則曲線在點(diǎn)處無(wú)切線。

例（6）曲線在上連續(xù)，但在點(diǎn)處

不存在且不為無(wú)窮大，故在處無(wú)切線。

注：如果曲線在點(diǎn)既不左連續(xù)，又不右連續(xù)，則曲線在點(diǎn)處無(wú)切線。

參考文獻(xiàn)：

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編教材《高等數(shù)學(xué)》第六版 高等教育出版社.

[2] 吳贛昌主編教材《高等數(shù)學(xué)》理工類 第四版 人民大學(xué)出版社.