周繼云

三角板是學生最常用的學習工具， 以三角板為道具，以學生常見、熟悉的幾何圖形為載體， 并輔之以平移、旋轉等變換手段的問題， 能為學生提供動手實踐操作設計的空間，較好地考查了學生觀察、實驗、比較、聯(lián)想、類比、歸納的能力以及運動變化、分類討論思想等的綜合運用能力. 這類操作性的題目格調清新，立意新穎， 充分體現(xiàn)了課標中提出的“培養(yǎng)學生動手動腦、實踐探索的能力”的要求，既注重基礎知識，同時又具有很強的綜合性.

1. 設計思路

初三年級第二輪專題復習中所用的問題不僅要起到復習知識的作用，更要用經過精心設計的問題反映解決一類問題的思想與方法. 本節(jié)課主要借助三角板的旋轉變換，選擇一些注重知識形成過程、體現(xiàn)數(shù)學思想方法的探索性問題，通過動手操作和理性的思考，總結歸納出解決此類問題的一些基本思路和方法.

為了體現(xiàn)復習課的知識目標，并關注技能與思想方法目標的實現(xiàn)，本課的設計思路為“特殊到一般”，具體表現(xiàn)為：

（1）題目的設置從特殊到一般，即從兩個直角頂點重合、一個直角頂點與斜邊中點重合，到一個直角頂點與斜邊上任意一點重合、一個銳角頂點與斜邊上的中點重合；

（2）相應的解題方法從特殊到一般，即從利用三角形全等，到利用三角形相似.

2. 復習課題目來源

最初是在歷年的中考試題中挑選復習題的，目標是那些以三角板為載體的試題，比如：

題1 （山東臨沂07中考25題）如圖1，已知△ABC中，AB = BC = 1，∠ABC = 90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉.

（1）在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N. 證明DM = DN；

（2）繼續(xù)旋轉至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM = DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

（3）繼續(xù)旋轉至如圖3的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM = DN是否仍然成立？請寫出結論，不用證明.

題2 （徐州08年中考28題）如圖4，一副直角三角板滿足AB = BC，AC = DE，∠ABC = ∠DEF = 90°，∠EDF = 30°【操作】將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉，并使邊DE與邊AB交于點P，邊EF與邊BC于點Q

在旋轉過程中，

（1）如圖5，當■ = 1時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關系？并給出證明.

（2）如圖6，當■ = 2時EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關系？，并說明理由.

（3）根據你對（1）、（2）的探究結果，試寫出當■ = m時，EP與EQ滿足的數(shù)量關系式為 ，其中的取值范圍是 （直接寫出結論，不必證明）

題3 （湖南常德06中考試題26）把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC = ∠DEF = 90°，∠C = ∠F = 45°， AB = DE = 4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q.

（1）如圖7，當射線DF經過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ.此時，AP × CQ = .

（2）將三角板DEF由圖7所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為α.其中0° < α < 90°，問AP × CQ的值是否改變？說明你的理由.

由于本課的主旨在于讓學生在圖形變換的“變化”過程中尋找“不變”的量和關系，因而初稿就直接刪掉了研究變量之間的函數(shù)關系這一類題.

3. 試教反思

經過試講發(fā)現(xiàn)幾個問題：

（1）課題引入“三角板中蘊含了哪些數(shù)學知識？”問題設置不合理，范圍太廣學生回答時有如大海撈針，與本課相關的知識回答不到位，所用時間太多.

（2）山東臨沂的試題與徐州試題的第一題 本質上是相同的，故顯得重復；

（3）由于這些題都是操作探究型問題，相對有些思維的難度，直接在課堂上解決，學生的思考時間太短，未能達到預期的教學目標.

修改方案：

（1）引入問題：“三角板中蘊含哪些數(shù)學知識？”調整成“三角板中蘊含的知識分類：與邊有關的有哪些？與角相關的有哪些？與高相關的有哪些？”

（2）把山東臨沂與徐州的兩個試題進行了改編合并成一個題，在小題的設置上作出相應的調整：【探究一】即問題1，將其第二小題的“如圖”改成讓學生根據題意畫出相應圖形，意在訓練學生的審題、畫圖等能力.

（3）將改編的【問題】提前發(fā)給學生進行課前預習，課堂主要解決的問題是方法點撥和歸納；問題3作為課堂練習“試一試”，其中也設置了根據題意畫圖這個環(huán)節(jié)，檢查學生的掌握情況.

修改后如下：

4. 施教教案

【課題引入】：三角板這個學習工具包含的數(shù)學知識很多，我們可以將其簡單分類：與邊相關的有哪些？與角相關的有哪些？與斜邊上的高相關的有哪些？

【基礎練習】

1. 如圖（10），將一副三角板的直角頂點重合，擺放在桌面上，若∠AOD = 145°，則∠BOC = 度，∠AOD + ∠BOC =

度.

變式：若∠AOD = α，則∠AOD + ∠BOC = 度.

2. 如圖（11），將一副直角三角板重疊，直角頂點重合，若∠AOC = 40°則∠DOB = 度.

變式：若∠AOC = α，則∠DOB = 度.

【探索發(fā)現(xiàn)】

問題：一副直角三角板滿足AB = BC，AC = DE，∠ABC = ∠DEF = 90°，∠EDF = 30°，將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉，

【探究一】當E與AC中點O重合（即■ = 1）

（1）如圖12，在旋轉過程中，邊DE交邊AB于點P， 邊EF交邊BC 于點Q， 猜想并寫出EP與EQ 滿足的數(shù)量關系，證明你的猜想.

（2）若繼續(xù)旋轉，當邊DE與AB的延長線交于點P，EF的延長線與BC延長線交于點Q，請在圖13中畫出圖形，（1）中的結論是否成立？若成立，寫出結論不需要證明. 若不成立，說明理由.

（3）如圖14，F(xiàn)E延長線與BC邊交于Q，DE延長線與AB邊交于P，（1）中的結論是否成立？若成立，寫出結論，不需要證明；若不成立，說明理由.

【探究二】當E不與AC中點O重合，如■ = 2時，如圖15，邊DE與邊AB交于點P，邊EF與邊BC交于點Q，猜想EP與EQ滿足的數(shù)量關系？并證明你的猜想.

【探究三】根據你對一、二的探究結果，試寫出當■ = m時（邊DE與邊A B交于點P，邊EF與邊BC交于點Q），EP與EQ滿足的數(shù)量關系式為 （直接寫出結論，不必證明）

【學以致用】

試一試：把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC = ∠DEF = 90°，∠C = ∠F = 45°， AB = DE = 4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q.

（1）如圖16，當射線DF經過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ.此時， AP × CQ = .

（2）將三角板DEF由圖16所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為α.其中0° < α < 90°，畫出圖形并猜想AP × CQ的值是否改變？證明你的猜想.

5. 施教反思

修改過的方案試講后又有一些想法：引入部分—三角板中的數(shù)學知識很多與本課重點聯(lián)系不緊密，因此把知識梳理重點放在等腰直角三角形這個特殊三角形上，以它及其斜邊上的高組成的圖形為一個基本圖形，為下文在復雜圖形解決問題作鋪墊. 基礎練習及其變式也提煉出一張基本圖形：兩個直角頂點重合的直角三角形，根據同角的余角相等可以找到一對相等的角. 在上課過程中把基本圖形畫在黑板上，以及每個小題的不同解法相應的圖形和輔助線都畫在黑板上，給學生以參考、提示.

對問題的解決進行方法點撥：

（1）猜想從何而來？特殊情況

【探究一】中有兩種特殊情況：一、△DEF的一條直角邊經過B點（如圖19、20）；二、△DEF的兩條直角邊分別與△ABC的兩條直角邊互相垂直（如圖21）. 容易證明EQ = EP，因此大膽猜想一般情況下結論相同.

【探究二】中由于交點位置的限制只有一種特殊情況：△DEF的兩條直角邊分別與△ABC的兩條直角邊互相垂直（如圖22）.這時容易證得■ = ■ = 2，因此可以猜想一般情況下結論相同.

（2）如何論證你的猜想？把一般情況轉化成特殊情況

【探究一】需要證明線段相等，只需證明線段所在的三角形全等. 學生根據兩種特殊情況，提出構造全等三角形的方法有兩種.

（法一） 如圖23，連接BE，轉化成第一種特殊情況，構造出直角頂點重合的基本圖形，根據基本圖形可知∠PEB = ∠QEC，從而可證得△PEB ≌ △QEC.

（法二）如圖24，作EM⊥AB于點M，EN⊥BC于點N，轉化成第二種特殊情況，同樣構造出直角頂點重合的基本圖形，根據基本圖形可知∠MEP = ∠NEQ，從而可證得△PEM ≌ △QEN. 兩種方法各有一半左右的學生選用，思路很清楚.

【探究二】需要證明線段成比例，只需證明線段所在的三角形相似，絕大多數(shù)學生根據特殊情況提出方法一，極少數(shù)學生類比【探究一】提出方法二，只有唯一一名學生提出方法三.

（法一）如圖25，作EM⊥AB于點M，EN⊥BC于點N，轉化成圖22的特殊情況，構造出直角頂點重合的基本圖形，根據基本圖形可知∠MEP = ∠NEQ，從而證得△PEM ∽ △QEN.

（法二）如圖26，作EG⊥AC交AB于點G，構造直角頂點重合的基本圖形，根據基本圖形可知∠PEG = ∠QEC，從而可以證得△PEG ∽ △QEC.

（法三）如圖27，在△ABC中以E為頂點構造∠AEG = ∠CEQ，可證得△AEG ∽ △CEQ，■ = ■.然后證明GE = PE，同樣可以證得結論.

（3）根據【探究一】的三個小問，你可以概括出一個什么結論？

在旋轉過程中，當直線DE交直線AB于點P，直線EF交直線BC 于點Q時，EQ = EP.

【探究三】是將前面的結論推廣到更一般的情況，其中m的取值是有限制條件的，這個問題留給學生作為課后思考題. 小結：

【探究一】→【探究二】→【探究三】一連串的問題通過直角頂點E在AC邊上的位置變化從特殊到一般，相應的結論從特殊的線段相等到一般的線段成比例，解決問題的方法也從特殊的三角形全等到一般的三角形相似，其中包含了重要的數(shù)學思想方法：從特殊到一般.

解決問題的基本思路：旋轉過程中的特殊情況→得出猜想→論證猜想.

“試一試”讓學生根據小結得出的基本思路自己獨立去解決，其中第二題注重審題，在旋轉過程中有兩種不同情況需要分類討論：如圖28、29

學生在解決問題過程中出現(xiàn)了以下問題：①圖形畫錯，原因主要有起始位置搞錯或者旋轉方向錯，都屬于審題不清；②相當一部分學生只畫出了一種情況，簡單的線段與線段相交（旋轉角度小于45度時），屬于考慮問題不全面. 對于學生出現(xiàn)的問題當場進行講評. 指出這個問題的本質：在旋轉過程中，始終保持△PAD ∽ △DCQ.

本課研究的解題思路同樣適用于其他圖形變換.