方 磊，許銀龍，汪 進，王 芳，胡麗琴，1，＊

（1.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院，安徽合肥 230027；2.中國科學(xué)院核能安全技術(shù)研究所，中國科學(xué)院中子輸運理論與輻射安全重點實驗室，安徽合肥 230031）

基于因子函數(shù)的α－IHS抽樣方法

方 磊1，2，許銀龍1，2，汪 進2，王 芳2，胡麗琴2，1，＊

（1.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院，安徽合肥 230027；2.中國科學(xué)院核能安全技術(shù)研究所，中國科學(xué)院中子輸運理論與輻射安全重點實驗室，安徽合肥 230031）

核電廠概率安全分析中，由于數(shù)據(jù)源存在不確定性，導(dǎo)致無法進行準確評估，因此需開展不確定性分析。樣本在空間分布的均勻特性是不確定性分析的關(guān)鍵因素，不同的樣本分布導(dǎo)致不確定分析結(jié)果差異較大。傳統(tǒng)的拉丁超立方抽樣方法在樣本空間分布均勻性方面未進行優(yōu)化，改進分布式超立方抽樣（IHS）方法通過保持樣本點之間的最優(yōu)距離來實現(xiàn)空間均勻分布，但其最優(yōu)距離只能在理想分布下達到最優(yōu)。為改進IHS設(shè)計上的缺陷，提出了基于因子函數(shù)的α－IHS方法，利用修正因子α來優(yōu)化IHS方法中的最優(yōu)距離。結(jié)果表明，該方法較IHS方法具有更均勻的空間分布，提高了抽樣效率。

IHS方法；最優(yōu)距離；因子函數(shù)；α－IHS方法

Key words：IHS method；optimal distance；factor function；α－IHS method

概率安全評價（PSA）方法能對系統(tǒng)進行定量安全評估，并為系統(tǒng)優(yōu)化提供指導(dǎo)。目前PSA方法已在核能、航天、電子等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用［1－5］。但在PSA分析中，由于數(shù)據(jù)源存在不確定性，因而需進行不確定分析。不確定分析主要是分析各種系統(tǒng)單元參數(shù)的不確定性對系統(tǒng)的影響，而在整個樣本空間上對參數(shù)進行均勻的抽樣是不確定分析的關(guān)鍵。

目前研究者已提出了多種抽樣方法，如常見的蒙卡抽樣、LHS（Latin hypercube sampling）以及優(yōu)化的LHS方法等。蒙卡抽樣是一種普遍應(yīng)用的抽樣方法，其實現(xiàn)較方便，對各種復(fù)雜系統(tǒng)均有很強的適用性。但該方法需大量抽樣，時間消耗大，抽樣效率低，不具有無坍塌性（non－collapsing）［6］。在蒙卡抽樣的基礎(chǔ)上，Mc Kay等［7］提出了LHS抽樣方法。采用分層抽樣的策略，有效減少蒙卡抽樣方法估計的被積函數(shù)的誤差，并提高了抽樣效率［8］。但LHS抽樣并未解決樣本的空間填充性（spacefilling）［6］。Beachkofski等［9］提出了改進分布式超立方抽樣（IHS）方法，利用最優(yōu)距離的思想，改進LHS在空間分布不均勻的缺陷。但IHS方法在選取最優(yōu)距離時，從理想的超立方體出發(fā)，得到的抽樣結(jié)果并不是最優(yōu)的。

本文提出一種基于修正因子的IHS方法，對IHS中設(shè)定的最優(yōu)距離增加一修正因子，使IHS具有更好的空間均勻填充性能。不同系統(tǒng)的需求不同，因而參數(shù)個數(shù)及樣本大小都會存在一定的差異，1個修正因子并不能解決所有的情況。針對大量的抽樣數(shù)據(jù)，分析各種情況下的修正因子，擬合出修正因子函數(shù)，設(shè)計α－IHS方案，并驗證方案的可行性。

1 傳統(tǒng)IHS方法

1.1 方法簡介

研究者提出了一系列評價標準來反映抽樣方法的空間填充性，本文選擇廣為適用的G（L）作為評價標準［10－12］。G（L）的定義為：

其中：N為樣本數(shù)；Xi為樣本；L為抽樣方法，如果G（L1）＜G（L2），則表明L1較L2有更均勻的分布。

圖1為簡單隨機抽樣（SRS）、LHS、IHS的比較，其中橫軸和縱軸分別表示樣本參數(shù)的空間，可看到SRS出現(xiàn)坍塌，IHS、LHS沒有；IHS的G（L）最小，其抽樣效果最好。圖1中，M為空間維數(shù)。

在IHS方法中，把樣本空間看成1個超立方體，由有限個相同的小超立方體組合而成，這樣采樣點應(yīng)均勻分布在這些小超立方體中。設(shè)超立方體的體積為NM，要抽取N個樣本，就要把整個超立方體分成N個小超立方體，而每個小超立方體也是M維的，這樣設(shè)定的最優(yōu)距離就是每個小超立方體的邊長。在IHS方法中，對樣本點間的最小距離作出限制：最小距離須接近于理論上的每個小超立方體之間的最優(yōu)距離。最優(yōu)距離計算公式為：

圖1 3種抽樣方法在N＝50、M＝2下的抽樣分布Fig.1 Sampling distribution of three sampling methods at N＝50 and M＝2

具體實現(xiàn)是，每當抽取1個樣本時，首先會抽取多個備選點，之后從這些備選點中選取最優(yōu)的點作為本次抽樣的結(jié)果，其中選點標準是基于樣本點之間的最優(yōu)距離opt。

常見的輸液報警器缺乏對輸液滴速的自動控制,比如輸液快輸完了,需要停止輸液,系統(tǒng)自動讓滴速控制機械傳動裝置來讓輸液器停止輸液。滴速調(diào)節(jié)裝置設(shè)計圖如圖4所示,相應(yīng)的滴速控制機械傳動裝置實物如圖5所示。輸液滴速控制的核心部分是通過步進電機的工作來控制的,圖6是步進電機經(jīng)典的控制電路。

1.2 方法不足

在IHS方法中，選定opt即小超立方體的邊長作為最優(yōu)距離。但由于實際采樣中無坍塌性要求，樣本間的最小距離并不都是opt。

圖2說明了具體的情況，假設(shè)需要抽取4個樣本，每個樣本是2維的，每一維都服從均勻分布。按照IHS方法：樣本空間首先被分為4等分，樣本點即小超立方體中心，這些樣本點之間的最小距離即為opt＝2。這樣圖2a是一種滿足要求的最佳分布，但樣本有坍塌性。圖2b則是實際中能實現(xiàn)的一種較為理想的分布，這時樣本點間最小距離為2.236，并不是IHS方案中設(shè)定的理論值2。因而可猜測，有較理論值2更合適的opt使樣本空間分布更加均勻。

圖2 IHS抽樣理想（a）和實際（b）條件下的分布Fig.2 Ideal（a）and practical（b）distributions of IHS

2 α－IHS方法

2.1 α因子

假定對于opt，存在一修正因子α，使得：

將opt′作為新的最佳距離，來優(yōu)化IHS。為驗證該優(yōu)化思想，選擇N＝100、M＝10為例，結(jié)果列于表1。從表1可看出，當α為1.1～1.5時，G（L）均有所改進，尤其是當α＝1.3時，G（L）出現(xiàn)了最小值，且方差和均值的收斂效果很好，與0～1均勻分布上的均值和方差理論值0.5、1／12逼近。圖3示出了改進方法α－IHS的實現(xiàn)流程。

表1 N＝100、M＝10時的因子結(jié)果Table 1 Result ofαat N＝100 and M＝10

圖3 α－IHS實現(xiàn)流程Fig.3 Implementation process ofα－IHS

修正因子的引入改善了IHS抽樣結(jié)果。但表1中的因子α＝1.3僅是一個例子，并不適用所有情況下的抽樣。進而分析N＝100、M＝20的情況，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)α＝1.7。為使修正因子的IHS抽樣方法得到普遍的適用，需找出滿足所有抽樣情況的因子函數(shù)指導(dǎo)實際應(yīng)用。

2.2 α因子函數(shù)

通過大量的實驗數(shù)據(jù)分析來擬合因子函數(shù)。IHS原方法中參數(shù)dup值默認為5。在實驗中，N從20～200，依次增加20，M從10～100，依次增加10。為避免偶然性，對于每種抽樣情況的G（L），采取30次實驗求平均值的策略。表2列出了不同抽樣情況下的最優(yōu)因子α，表3、4分別列出了α＝1和α在最優(yōu)情況下的部分G（L）值。通過表3、4比較表明，在同樣情況下，α－IHS方法的G（L）值得到了很大的改進，尤其是在抽樣維數(shù)低的情況下，效果特別明顯。

表2 不同抽樣情況的最優(yōu)因子αTable 2 Optimal factorαfor different sampling situations

表3 α＝1時IHS方法的G（L）值Table 3 G（L）value of IHS method atα＝1

表4 α最優(yōu)情況下α－IHS的G（L）值Table 4 G（L）value ofα－IHS method at optimal factorα

表2列出了實驗情況下的所有最優(yōu)因子α，但在實際應(yīng)用中抽取的樣本可能更多。因此，基于表2的結(jié)果，需擬合出因子函數(shù)。使用Matlab擬合出如下的α因子函數(shù)表達式：

圖4a示出了M＝10、50、100下最優(yōu)因子α隨N的變化，可看到N對α影響不大；圖4b示出了N＝60、120、200下α隨M的變化，相對于N，M對α影響更為顯著。為進一步確認因子函數(shù)的可用性，將用實驗結(jié)果進行驗證。

圖4 最優(yōu)因子α隨N（a）和M（b）的變化Fig.4 Optimal factorαvs.N（a）and M（b）

3 實驗結(jié)果

在PSA軟件進行故障樹分析［13－15］時，通過基本事件的失效率來分析頂事件的失效率，而基本事件的失效率則是由諸多參數(shù)來決定。在對頂事件失效率進行不確定分析時，需對所有參數(shù)進行抽樣分析。如在中國鉛基研究堆CLEAR－Ⅰ的1個子系統(tǒng)中就用到了152個基本事件，39個參數(shù)［16－17］。表5列出了實際應(yīng)用中可能使用到的抽樣情況，根據(jù)因子函數(shù)計算得到的α。表6列出了具體的G（L），可看出，提出的α－IHS方法在實際應(yīng)用中是可行的，與IHS方法相比，G（L）均有改善，在低維時，改進效果接近10%。其中，修正比

表5 實際應(yīng)用中根據(jù)因子函數(shù)計算得到的最優(yōu)因子αTable 5 Optimal factorαcalculated by factor function in practical application

表6 實際應(yīng)用中IHS（α＝1）和α－IHS（α最優(yōu)）在G（L）上的比較Table 6 Comparison of G（L）for IHS andα－IHS in practical application

4 結(jié)論

本文通過對IHS方法的研究和分析，針對IHS設(shè)計中最優(yōu)距離的問題進行改進，提出了基于修正因子的α－IHS方法。本文通過提出修正因子來改進IHS方法設(shè)計中的缺陷，優(yōu)化IHS方法中的最優(yōu)距離，并結(jié)合大量實驗數(shù)據(jù)，擬合出了因子函數(shù)，最終通過實際系統(tǒng)驗證了α－IHS方法相對于IHS方法的優(yōu)勢：在確保樣本點均值、方差均具有良好收斂特性的前提下，α－IHS方法使樣本點在整個樣本空間具有更均勻的分布。

衷心感謝中國科學(xué)院核能安全技術(shù)研究所FDS團隊其他成員的大力支持和幫助。

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α－IHS Sampling Method Based on Factor Function

FANG Lei1，2，XU Yin－long1，2，WANG Jin2，WANG Fang2，HU Li－qin2，1，＊
（1.School of Nuclear Science and Technology，University of Science and Technology of China，Hefei 230027，China；2.Key Laboratory of Neutronics and Radiation Safety，Institute of Nuclear Energy Safety Technology，Chinese Academy of Sciences，Hefei 230031，China）

In the probabilistic safety assessment of nuclear power plant，as for the uncertainty of data source，it’s essential to launch uncertainty analysis.As a key factor of uncertainty analysis，the distribution of sample space would have a great effect on results of uncertainty analysis.The Latin hypercube sampling method doesn’t make any improvement in space－filling of sample space，the improved distributed hypercube sampling method has improved it by keeping the optimal distance of sample points，but the optimal distance could only be achieved in ideal situation.In order to solve such a problem，α－IHS method based on factor function was put forward to optimize the optimal distance.The results prove that theα－IHS method has advantages over IHS method in a better distribution，and improves sampling efficiency.

TL364

：A

：1000－6931（2015）12－2299－06

10.7538／yzk.2015.49.12.2299

2014－09－21；

：2014－11－01

國際熱核聚變實驗堆（ITER）計劃專項資助（2104GB112000）；中國科學(xué)院戰(zhàn)略性先導(dǎo)科技專項資助（XDA03040000）；國家自然科學(xué)基金資助項目（91026004）；中國科學(xué)院科技數(shù)據(jù)資源整合與共享工程“重點數(shù)據(jù)庫”項目資助（XXH12504－1－09）；中國科學(xué)院合肥物質(zhì)科學(xué)研究院青年火花基金資助項目（YZJJ201327）

方 磊（1990—），女，安徽樅陽人，碩士研究生，核能科學(xué)與工程專業(yè)

＊通信作者：胡麗琴，E－mail：liqin.hu＠fds.org.cn