錢淑英

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

淺析含參量無(wú)窮積分一致收斂性的教學(xué)

錢淑英

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

文章對(duì)含參量無(wú)窮積分一致收斂性的常用的判別方法進(jìn)行系統(tǒng)的討論，以便使學(xué)生較容易地掌握這部分內(nèi)容，在教學(xué)中取得更好的教學(xué)效果。

含參量無(wú)窮積分；一致收斂；教學(xué)

含參量無(wú)窮積分是數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，它不僅是無(wú)窮積分的推廣，也為我們研究和表達(dá)函數(shù)（特別是非初等函數(shù)）提供了有力工具，并為后面學(xué)習(xí)多元函數(shù)的積分打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).一致收斂是含參量無(wú)窮積分的一個(gè)重要性質(zhì)，有效地判別含參量無(wú)窮積分的一致收斂對(duì)進(jìn)一步研究含參量無(wú)窮積分的性質(zhì)起著重要的作用.但由于含參量無(wú)窮積分一致收斂性的判別方法靈活多變，學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)中很難掌握.

1 利用定義法判別含參量無(wú)窮積分的一致收斂性

運(yùn)用定義判別含參量無(wú)窮積分的一致收斂性關(guān)鍵在于尋找只與ε有關(guān)并且與參數(shù)無(wú)關(guān)的共同的N，在證明過程中常常用到適當(dāng)放大的方法.

當(dāng)y∈[2,+∞）時(shí)，有e-Ay≤e-2A，解不等式e-2A＜ ε，有于是取時(shí)，對(duì)一切y∈[2,+∞），有所以在y∈[2,+∞）上一致收斂.

2 判別含參量無(wú)窮積分一致收斂的充要條件

運(yùn)用一致收斂的充要條件不僅可以判別含參量無(wú)窮積分在某個(gè)區(qū)間上一致收斂，還可以判別它在其它區(qū)間上非一致收斂[1]55，證明非一致收斂只需要證得

證明 取充分大的M＞0，有

3 利用魏爾斯特拉斯M判別法判別含參量無(wú)窮積分一致收斂

4 利用柯西一致收斂準(zhǔn)則判別含參量無(wú)窮積分一致收斂性

柯西一致收斂準(zhǔn)則給出了判別含參量無(wú)窮積分一致收斂的一個(gè)充要條件，為我們判別含參量無(wú)窮積分一致收斂提供了一個(gè)有力工具.

對(duì)于任取的正數(shù)ε，存在正數(shù)A＞0，使得當(dāng)A1＞A2＞A時(shí)，對(duì)一切y∈I，有

這個(gè)例題，也可以看作推廣的魏爾斯特拉斯判別法.

5 利用狄利克雷判別法和阿貝爾判別法判別含參量無(wú)窮積分一致收斂

當(dāng)含參量無(wú)窮積分的被積函數(shù)可以看成兩個(gè)函數(shù)的乘積，并且這兩個(gè)函數(shù)滿足狄利克雷判別法或阿貝爾判別法的條件時(shí)，就可以利用狄利克雷判別法或阿貝爾判別法判別這個(gè)含參量無(wú)窮積分的一致收斂性.

6 利用級(jí)數(shù)判別法判別含參量無(wú)窮積分一致收斂

特別地，若函數(shù)f(x,y)為定義在無(wú)界區(qū)域R=[1,+∞）×I上的非負(fù)函數(shù).如果f(x,y)關(guān)于x在[1,+∞）上單調(diào)遞減，那么含參量無(wú)窮積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)關(guān)于y在區(qū)間I上具有同樣的一致收斂性[1].

運(yùn)用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判別含參量無(wú)窮積分的一致收斂性，關(guān)鍵是要找到相應(yīng)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，并且能夠比較容易的判別出此函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否一致收斂.

解 由題可得f(x,y)非負(fù)且關(guān)于x在(1,+∞)上單調(diào)遞減，考慮函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

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［1］裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法第二版［M］.北京：高等教育出版社,2006.

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析第三版［M］.北京：高等教育出版社,2001.

［3］劉紅玉.含參變量無(wú)窮積分一致收斂性的判斷技巧及應(yīng)用［J］.牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào),2012,21(8):119-122.

（責(zé)任編輯 趙巨濤）

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1673-2015（2015）02-0057-03

2014—11—20

錢淑英（1964—）女,河北任邱人，副教授，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)法研究。