趙成鋼

摘 要：在精密測量中，處理測試數(shù)據(jù)時，需要采用科學的方法剔除可疑離群數(shù)據(jù)，以保證測量結(jié)果的可靠性。簡要論述了常用判斷準則——萊特（3δ判據(jù)）、肖維勒、格拉布斯和t檢驗4個準則的相關內(nèi)容，從準則的定義出發(fā)，比較了各準則之間的區(qū)別和聯(lián)系，并保留了數(shù)據(jù)域的寬窄，提高對其的理論認識，以便在日后的數(shù)據(jù)處理工作中更好地使用這些準則。

關鍵詞：精密測量；離群數(shù)據(jù)；判斷準則；數(shù)據(jù)域

中圖分類號：TB114 文獻標識碼：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2015.10.003

1 判斷準則的數(shù)學形式

重復測量某物理量的精度n次，得測得值X1，X2……Xn；某測得值的殘余誤差的絕對值大于標準偏差δs與判別系數(shù)T之積，即：

.

由此可知，該誤差為粗大誤差，測得值Xd為離群數(shù)據(jù)，應剔除。

式（1）中：

采取t檢驗準則時，剔除可疑離群數(shù)據(jù)Xd后，計算算術(shù)平均值和標準偏差為：

4個判斷準則都有與式（1）相同的判別式，只是其中的判別系數(shù)T不同而已。

2 判別系數(shù)T的確定

2.1 萊特準則

在萊特準則下，規(guī)定T=3顯然有其合理性。

對于服從正太分布的隨機誤差，任意區(qū)間（-Δ，Δ）的差落在該區(qū)間的概率為：

拉普拉斯函數(shù)為：

當Δ=3δ時，2φ（3δ/δ）=0.997 3. 這說明，其殘余誤差落在區(qū)間（-3δ，3δ）以外的概率僅為0.27%，即經(jīng)過370次測量才會出現(xiàn)一次，對于有限次測量來說，可以認為這是不可能發(fā)生的。由于3δ判據(jù)實質(zhì)上是建立在n→∞基礎上的，所以，當n有限時，特別是當n比較小時，這一判據(jù)并不是十分可靠的。同時，又因為δ是δ的估計值，δ的精密度與測量次數(shù)n有關，所以，在使用過程中，處理n比較大的數(shù)據(jù)群為好。

從另一個角度也可以說明，n取比較大的值為好。在等精度的n次重復測量中，如果只有一個測得值的殘余誤差|Xd-X|

超出某一界限±Tδ，而相應的概率Pa=1-2φ（T）=1/n，則按正態(tài)分布規(guī)律可知，此值的殘余誤差為正常超出，因為n個等精度測得值中出現(xiàn)一個的概率恰好是1/n.這說明，此值中含有隨機誤差，但是，不含疏忽誤差。如果按以上條件算出的概率Pa值小于1/n很多，則上述正常超出的可能性便會減小，而含有疏忽誤差的非正常超出的可能性便會增大。

對于萊特準則，可估算，取Pa=1-2φ（3）=1/n，則有n=1/（1-0.997 3）=370.

這說明，萊特準則可用于n比較大的測量數(shù)據(jù)群。經(jīng)驗表明，一般n≥50，即可選用萊特準則判別。

2.2 肖維勒準則

Pa為殘余誤差落在（-Tδ，Tδ）以外的概率，則：Pa=1-2φ（T）.

規(guī)定當Pa=1/2n時，則判別該測得值的殘余誤差為含有疏忽誤差的非正常超出，所以，應將該值剔除。

由此可得：Pa=1-2φ（T）=1/2n.

其中，φ（T）=（2n-1）/4n.

由n和拉普斯函數(shù)可得肖維勒準則的T值。

由此可知，肖維勒準則是萊特準則的改進，T判別系數(shù)從定值修正為一個與n有關的參數(shù)，n增加，T相應增大，n越小，保留數(shù)據(jù)域就越小。

對于肖維勒準則，可估算，取2φ（T）=（2n-1）/2n=0.975，則有n=20；取2φ（T）=（2n-1）/2n=0.997 3，則有n=185.

由此可知，肖維勒準則可用于測量次數(shù)比較少的數(shù)據(jù)群離群數(shù)據(jù)判別。經(jīng)驗表明，一般n=20-100，即可用肖維勒準則判別。

2.3 格拉布斯準則

由正太分布原理可知，選定一個危險率α.一般選5.0%，2.5%，1.0%，從而建立起T=λ（α，n）的函數(shù)關系。

在該函數(shù)關系中，λ（α，n）為測量次數(shù)；n為危險率是α時的統(tǒng)計臨界值，可查λ（α，n）表而得。經(jīng)過分析后可知，λ（α，n）值隨α增大而減小，隨n增大而增大。

考慮到危險率α和測量次數(shù)n雙因子，給出了比較嚴格的結(jié)果[λ（α，n）來源推導復雜約]，所以，該準則可用于測量次數(shù)n比較少的數(shù)據(jù)群可疑離群數(shù)據(jù)的判別中。

一般經(jīng)驗表明，該準則用于n≤25的測試數(shù)據(jù)群的可疑數(shù)據(jù)判別中。

2.4 t檢驗準則

t檢驗準則是應用分布原理合理檢驗測量數(shù)據(jù)的又一種方法。該準則與格拉布斯準則一樣，考慮到危險率α和測量次數(shù)n，建立起T=k（α，n）的函數(shù)關系。

在該函數(shù)關系中，k（α，n）為測量次數(shù)；n為危險率是α時的統(tǒng)計臨界值，可查k（α，n）表而得。經(jīng)過分析可知，k（α，n）值隨α增大而減小，隨n增大而減小。

考慮到危險率α和測量次數(shù)n雙因子，給出了比較嚴格的結(jié)果[k（α，n）來源推導約]，所以，該準則可用于測量次數(shù)比較少的數(shù)據(jù)群可疑離群數(shù)據(jù)的判別。

一般經(jīng)驗表明，該準則可用于n≤20的測試數(shù)據(jù)判別中。

那么，格拉布斯準則與t檢驗準則有什么關系呢？可以從計算標準偏差嚴格的較差公式出發(fā)進行推證：

令：

由λ（α，n）和k（α，n）數(shù)表可知，λ（α，n）隨n的增加單調(diào)增加，k（α，n）隨n的增加單調(diào)減少。當n增大到一定數(shù)字時，λ（α，n）>k（α，n）.由式（15）可得，B>A，A>λ（α，n），則B>k（α，n）.

由式（20）可知，在k（α，n）>λ（α，n）的情況下，計算并對照λ（α，n）表和k（α，n）表得，當A>λ（α，n）時，則B>k（α，n）.

由此可知，t檢驗準則的保留數(shù)據(jù)域比格拉布斯準則窄，即如果可疑數(shù)據(jù)被格拉布斯準則剔除，那么，它也一定會被t檢驗準則剔除。

3 體會

以上各準則都是人為主觀擬定，但是，又都是以數(shù)據(jù)按正態(tài)分布為前提的。當偏離正太分布時，判斷的可行性將會受到影響，特別是測量次數(shù)減少時更不可靠。因此，對于可疑離群數(shù)據(jù)，除了從測量結(jié)果中及時發(fā)現(xiàn)和利用剔除準則鑒別外，更重要的是提高工作人員的技術(shù)水平和工作質(zhì)量，保證不出現(xiàn)有較大誤差的離群數(shù)據(jù)。

另外，可依據(jù)測量準則度的要求和測量次數(shù)選擇判別準則。從上述準則間的聯(lián)系、數(shù)據(jù)域的寬窄和實踐操作經(jīng)驗來看，推薦當測量次數(shù)n≤50或n≥10作粗略判別時，可采用萊特（3δ判別）準則，在其他情況下，采用格拉布斯準則判別為好。

在有限的測量列中，當出現(xiàn)2個異常數(shù)據(jù)時，通?？烧J為整個測量結(jié)果是在不正常條件下得到。鑒于此，應不斷改進和完善測量方法，重新進行有效測量。

〔編輯：白潔〕