熊海貝，李奔奔，江佳斐

（同濟(jì)大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所，上海200092）

近年來地震頻發(fā)，既有建筑物構(gòu)件震前加固及受損構(gòu)件震后加固受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注.常用的加固材料為纖維增強(qiáng)復(fù)合材料（fiber reinforced polymer，F(xiàn)RP）.通過圍裹FRP 為混凝土柱提供側(cè)向約束力，使混凝土處于三向受壓狀態(tài)，可提高混凝土柱的強(qiáng)度及延性.FRP 材料加固混凝土操作簡(jiǎn)單、加固效果較好，故在工程界得到廣泛應(yīng)用.

應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系反映了材料在受力過程中因內(nèi)部微觀變化而引起的宏觀表象，是混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基本要素.由于混凝土材料具有應(yīng)力路徑相關(guān)性，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系會(huì)隨外界受力關(guān)系的變化而變化.在FRP約束下，建立一個(gè)力學(xué)概念清晰、準(zhǔn)確的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是FRP加固混凝土柱性能設(shè)計(jì)的基礎(chǔ).國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變模型進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)研究.根據(jù)模型建立的方法，已有的模型可分為設(shè)計(jì)型模型和分析型模型［1］.設(shè)計(jì)型模型通過應(yīng)力-應(yīng)變曲線的擬合，結(jié)合關(guān)鍵點(diǎn)的回歸公式，以數(shù)學(xué)公式直接描述混凝土在FRP 約束下的軸向應(yīng)力-軸向應(yīng)變關(guān)系［1-3］.分析型模型考慮FRP 與混凝土的相互作用過程，將混凝土的側(cè)向變形和側(cè)向圍壓的相關(guān)性引入到模型中，借助混凝土在FRP約束下側(cè)向應(yīng)變與軸向應(yīng)變的關(guān)系以及恒圍壓下混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變模型，通過增量法給出混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線［4-6］.針對(duì)現(xiàn)有的眾多模型，明確各類模型的適用性是合理選取模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析的重要前提，目前尚未有詳盡的研究結(jié)果.本文通過歸納已有的由FRP約束混凝土圓柱實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立起來的設(shè)計(jì)型模型和分析型模型，系統(tǒng)分析2類模型各自的適用性.

1 設(shè)計(jì)型模型

在實(shí)際工程中，混凝土柱表面圍裹FRP布的層數(shù)不定.不同數(shù)量的FRP 對(duì)混凝土的加強(qiáng)作用不同.根據(jù)FRP約束混凝土圓柱實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可將混凝土在FRP約束下的力學(xué)性能表現(xiàn)分為2類，如圖1所示.第一類為強(qiáng)約束，即在加載全過程，隨應(yīng)變?chǔ)與的增加，混凝土的應(yīng)力σc持續(xù)增長(zhǎng)，混凝土出現(xiàn)應(yīng)變硬化.第二類為弱約束，即約束混凝土在達(dá)到峰值應(yīng)力σcp之后，隨著應(yīng)變的增加，應(yīng)力下降，應(yīng)力-應(yīng)變曲線呈應(yīng)變軟化.對(duì)于強(qiáng)約束和弱約束混凝土，分別采用不同的數(shù)學(xué)模型.已有的大部分模型是針對(duì)強(qiáng)約束混凝土建立起來的［7-9］.

圖1 強(qiáng)／弱約束混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Fig.1 Stress-strain relationship of concrete under high／weak confinement

1.1 應(yīng)變強(qiáng)化模型

應(yīng)變強(qiáng)化模型最初采用箍筋約束模型，但FRP為線彈性材料，加載過程中提供的側(cè)向力隨混凝土側(cè)向變形的變化而變化，這與鋼筋屈服后應(yīng)力保持不變不同.研究者根據(jù)兩者的區(qū)別，提出適用于FRP約束混凝土的強(qiáng)化模型，這些模型主要分為雙線型模型、三線型模型和拋物線-直線／近似直線模型3類.

雙線型模型［2，3，7］通過連接轉(zhuǎn)折點(diǎn)（εct，σct）和極限點(diǎn)（εcu，fcu）來確定整條曲線（見圖2）.其中，εct、σct分別為轉(zhuǎn)折點(diǎn)處混凝土的軸向應(yīng)變、軸向應(yīng)力；εcu、fcu分別為混凝土的極限軸向應(yīng)變、軸向應(yīng)力.在初始上升段，由于FRP 提供的側(cè)向約束力較小，這段曲線與未約束混凝土的軸向應(yīng)力-軸向應(yīng)變曲線相似，轉(zhuǎn)折點(diǎn)取為未約束混凝土軸向應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰值點(diǎn)（εc0、fc0）.

圖2 FRP約束混凝土的雙線性應(yīng)力-應(yīng)變模型Fig.2 Bilinear stress-strain model of FRP-confined concrete

圖3 FRP約束混凝土的三線型應(yīng)力-應(yīng)變模型Fig.3 Trilinear stress-strain model of FRP-confined concrete

三線型模型［8］將曲線分為3 個(gè)階段（見圖3）：第一階段與未約束混凝土曲線相同，分界點(diǎn)為混凝土開裂點(diǎn)，fc1和εc1為混凝土開裂應(yīng)力和開裂應(yīng)變；第二階段為達(dá)到未約束混凝土強(qiáng)度附近的過渡區(qū)域，轉(zhuǎn)折點(diǎn)（εc2，σc2）由式（1）和（2）確定；第三階段即為FRP充分發(fā)揮約束作用的加強(qiáng)階段.

式中：Efrp、tfrp分別為FRP 布的彈性模量和厚度，D為混凝土圓柱體直徑.

為更接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果，實(shí)現(xiàn)過渡區(qū)的光滑連接，在曲線的初始階段使用拋物線，在加強(qiáng)段使用直線，或者采用統(tǒng)一的非線性表達(dá)式，即為拋物線-直線／近似直線模型.該類模型中比較有代表性的為文獻(xiàn)［1］及文獻(xiàn)［9-11］提出的模型（見圖4）.

圖4 FRP約束混凝土的拋物線-直線／近似直線應(yīng)力-應(yīng)變模型Fig.4 Parabolic-linear／approximately linear stressstrain model of FRP-confined concrete

Toutanji［9］修改了箍筋約束混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變模型，得到FRP約束混凝土應(yīng)力-應(yīng)變表達(dá)式：

式中：

其中，σct、εct分別為強(qiáng)約束混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)應(yīng)力及應(yīng)變.第一段曲線的初始斜率Ec1為未約束混凝土彈性模量，第二段斜率Ec2為拐點(diǎn)處的切線斜率.

Richart等［10］提出的四參數(shù)模型也得到了廣泛的應(yīng)用［12-14］：

式中：f0為軸向應(yīng)力-應(yīng)變曲線與σc軸交點(diǎn)的應(yīng)力.

模型中采用2段斜率：在初始彈性上升段的斜率Ec1以及第二段的極限斜率Ec2.n為形狀系數(shù)，以保證兩部分可以光滑連接，其取值影響曲線轉(zhuǎn)折區(qū)的弧度.文獻(xiàn)［13］取n＝1.5，文獻(xiàn)［14］取n＝2.n 的差異在于兩者采用不同的方法確定n 值.文獻(xiàn)［13］中的模型中首先由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)回歸確定Ec1、Ec2、f0，再確定n值，而文獻(xiàn)［14］通過直接設(shè)定n 值來推導(dǎo)模型中的Ec1、Ec2、f0.2 種模型均能較好地模擬FRP約束混凝土的特性，故n 的取值范圍為1.5～2.0，模型對(duì)n的取值并不敏感.我國(guó)《纖維增強(qiáng)復(fù)合材料建設(shè)工程應(yīng)用技術(shù)規(guī)范》（GB50608-2010）［17］也采用該模型.

文獻(xiàn)［11］中的模型在轉(zhuǎn)折點(diǎn)前采用拋物線，轉(zhuǎn)折點(diǎn)處拋物線的斜率為0，轉(zhuǎn)折點(diǎn)之后采用直線：

式中：Ec2＝（fcu-σct） ／（εcu-εct）.

在眾多應(yīng)變強(qiáng)化模型中，文獻(xiàn)［1］中的模型比其他模型具有更高的準(zhǔn)確性［15-16］：

式中：

fl為側(cè)向約束力，fl＝2Efrpdfrpεfrp／D，εfrp為FRP 布的斷裂應(yīng)變.模型中εc＝0處的初始斜率采用未約束混凝土彈性模量Ec，通過點(diǎn)（0，f0）和極限點(diǎn)（εcu，fcu）確定直線段，根據(jù)切線斜率與直線段斜率相同確定轉(zhuǎn)折點(diǎn).

1.2 應(yīng)變軟化模型

應(yīng)變軟化模型借鑒強(qiáng)化模型的函數(shù)形式，采用拋物線-直線型模型［18-19］（見式（7））或更改系數(shù)后的四參數(shù)模型［20］（見式（4）），如圖5所示.

圖5 應(yīng)變軟化模型Fig.5 Strain-softening model

式中：σcp、εcp分別為弱約束混凝土的峰值軸向應(yīng)力及相應(yīng)軸向應(yīng)變.

Wu等［21］對(duì)應(yīng)變軟化提出了拋物線方程與曲線方程組合而成的應(yīng)力-應(yīng)變模型：

式中：

1.3 統(tǒng)一模型

隨著研究的深入，這2種情況被統(tǒng)一起來，用統(tǒng)一的表達(dá)式來確定FRP約束混凝土的軸向應(yīng)力-軸向應(yīng)變曲線，稱其為統(tǒng)一模型［21-25］.模型表達(dá)式一般采用分段函數(shù)，根據(jù)分段點(diǎn)應(yīng)力σcp與極限應(yīng)力fcu的相對(duì)大小決定曲線是上升還是下降，抑或采用參數(shù)界限值判定應(yīng)變強(qiáng)化／軟化.

Teng等［22］采用二次拋物線方程模擬第一分段，采用直線方程模擬第二段（見圖6（a））：

式中：fc0為未約束混凝土單軸抗壓強(qiáng)度.該模型采用剛度比ρk（ρk＝2Efrptfrpεc0／（D fc0））來判斷應(yīng)變強(qiáng)化／軟化，其中εc0＝0.002.通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)回歸獲得界限值：當(dāng)ρk＜0.01時(shí)為應(yīng)變軟化；當(dāng)ρk≥0.01時(shí)為應(yīng)變強(qiáng)化.該模型也被美國(guó)ACI規(guī)范［23］采用，該規(guī)范采用圍壓比β≥0.08（β＝fl／fc0）作為判定應(yīng)變強(qiáng)化的依據(jù).

Youssef等［24］在應(yīng)力-應(yīng)變曲線的第一段采用Hoshikuma等［19］提出的一元多次函數(shù)，第二段則采用直線式（見圖6（b））：

其應(yīng)變強(qiáng)化與應(yīng)變軟化通過應(yīng)力極限值fcu和分段點(diǎn)σcp的比值來判定.通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)回歸出特征點(diǎn)的特征方程：

圖6 FRP約束混凝土統(tǒng)一型應(yīng)力-應(yīng)變模型Fig.6 Unified stress-strain model of FRP-confined concrete

式中：εc0＝0.002.該模型在第一段應(yīng)力-應(yīng)變曲線中考慮了應(yīng)變強(qiáng)化與應(yīng)變軟化的差異的影響，體現(xiàn)在應(yīng)變軟化的第一段曲線前期的剛度遞減率小于應(yīng)變強(qiáng)化的前期剛度遞減率（見圖6（b））.由此得出，隨著FRP布約束剛度的提高，初始剛度降低.該現(xiàn)象與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象存在差異，這也是該模型在模擬試件出現(xiàn)應(yīng)變軟化時(shí)產(chǎn)生偏差較大的原因.

Wu等［21］提出了2種統(tǒng)一模型：模型II和模型III.模型II采用與文獻(xiàn)［25］相似的方法判定極限應(yīng)力fcu和過渡應(yīng)力σcp的比值判定相應(yīng)的方程.不同于其他模型，該類模型將全曲線用統(tǒng)一模型模擬：

式中：x1＝εc／εcu；n1＝Ec／（Ec-Esec1）；

Esec1＝fcu／εcu；x2＝εc／εct；

n2＝Ec／（Ec-Esec2）；Esec2＝σcp／εcp.

模型III［21］采用與文獻(xiàn)［22］類似的方法模擬應(yīng)力-應(yīng)變曲線.模型III采用拋物線方程和直線方程：與文獻(xiàn)［21］提出的模型III類似，文獻(xiàn)［25］中的模型亦采用拋物線方程和直線段來模擬FPR約束混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（見圖6（c））.應(yīng)變強(qiáng)化／軟化的特征體現(xiàn)在極限應(yīng)力fcu和過渡應(yīng)力σcp的比值上.

1.4 極限應(yīng)力及極限軸向應(yīng)變

對(duì)于FRP約束混凝土的極限應(yīng)力fcu和極限軸向應(yīng)變?chǔ)與u的模型，通常采用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)回歸獲取經(jīng)驗(yàn)公式.對(duì)于應(yīng)變軟化曲線，此節(jié)所指為極限應(yīng)力和對(duì)應(yīng)的軸向應(yīng)變?yōu)榉逯禒顟B(tài).在眾多的研究結(jié)果中，其表達(dá)式一般采用如下形式：

式中：c1、c2、k1、k2及α1、α2均為常數(shù)，fl，a為FRP 約束混凝土的實(shí)測(cè)最大圍壓值.由于不同研究者采用的數(shù)據(jù)庫(kù)在試件數(shù)目，類型等方面存在不同，且混凝土實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在一定的離散性，表達(dá)式的各系數(shù)有所差異，如表1所示.其中，σcp為弱約束混凝土的峰值 應(yīng) 力，εcp為 弱 約 束 混 凝 土 的 峰 值 應(yīng) 變，f30＝30 MPa.

表1 設(shè)計(jì)型模型的極限應(yīng)力、極限應(yīng)變表達(dá)式Tab.1 Ultimate axial stress and corresponding axial strain in design-oriented models

續(xù)表

2 分析型模型

分析型模型考慮了核心混凝土與外圍FRP 的共同作用，通過受力平衡和變形協(xié)調(diào)方程反映2種材料的協(xié)同工作的過程.分析型模型無(wú)須區(qū)分強(qiáng)約束與弱約束情況，通過增量法描述FRP材料約束混凝土的軸向應(yīng)力-軸向應(yīng)變以及軸向應(yīng)力-側(cè)向應(yīng)變的全曲線.現(xiàn)行分析型模型的運(yùn)算過程基于應(yīng)力路徑不相關(guān)的假設(shè)如下：在約束增長(zhǎng)的過程中，對(duì)于某一給定的側(cè)向應(yīng)變（即某一圍壓水平下），F(xiàn)RP約束混凝土的軸向應(yīng)力、軸向應(yīng)變與相同圍壓下的主動(dòng)約束混凝土的軸向應(yīng)力、軸向應(yīng)變相同.分析型模型以主動(dòng)約束模型為基礎(chǔ)，分別求解FRP約束混凝土在某一側(cè)向應(yīng)變值時(shí)對(duì)應(yīng)的軸向應(yīng)變與軸向應(yīng)力，直至橫向應(yīng)變達(dá)到FRP環(huán)向斷裂應(yīng)變?chǔ)舎，frp，從而獲得完整的FRP約束混凝土的軸向應(yīng)力-軸向應(yīng)變曲線（見圖7）.由此可知，確定一個(gè)分析型模型的主要因素為軸向應(yīng)變-橫向應(yīng)變關(guān)系（膨脹函數(shù)）和主動(dòng)約束模型.

圖7 分析型模型計(jì)算流程圖Fig.7 Calculation flow chart of analysis-oriented model

2.1 FRP約束混凝土的軸向應(yīng)變-橫向應(yīng)變關(guān)系

圖8 軸向應(yīng)變-橫向應(yīng)變關(guān)系Fig.8 Axial strain-lateral strain relationship

在FRP 約束混凝土中，混凝土的軸向應(yīng)變-橫向應(yīng)變關(guān)系將核心混凝土與提供被動(dòng)約束力的FRP外包裹層緊密聯(lián)系起來.已有模型中采用的軸向應(yīng)變-橫向應(yīng)變關(guān)系可分為直接模型［4-6］和間接模型［26-27］.直接模型是指從FRP約束混凝土實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中回歸解析得到直接模擬FRP 約束混凝土的軸向應(yīng)變-橫向應(yīng)變的關(guān)系.間接模型是利用主動(dòng)約束下混凝土的軸向應(yīng)變?chǔ)與與橫向應(yīng)變?chǔ)舕的關(guān)系，采用增量法遞推得出FRP約束混凝土的軸向應(yīng)變-橫向應(yīng)變關(guān)系.在直接模型中，隨著混凝土軸向應(yīng)變的增長(zhǎng)，橫向應(yīng)變的增長(zhǎng)速率會(huì)增大，并向某個(gè)恒定值靠近，而在間接模型中，橫向應(yīng)變會(huì)隨著軸向應(yīng)變以同一速率增長(zhǎng)直至破壞.如圖8所示為由各模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)［28-30］得到的軸向應(yīng)變-橫向應(yīng)變曲線.圖8（a）中試件混凝土強(qiáng)度f(wàn)c0＝30.9 MPa，由2層FRP布圍裹，F(xiàn)RP 布彈性模量Efrp＝219 GPa，厚度tfrp＝0.33mm［28］.圖8（b）中 試 件 混 凝 土 強(qiáng) 度f(wàn)′c0＝36.67 MPa，由2層FRP 布圍裹，F(xiàn)RP 布彈性模量E′frp＝242GPa，厚度t′frp＝0.33mm［29］.圖8（c）中試件混凝土強(qiáng)度f(wàn)″c0＝47.6MPa，由3層FRP布圍裹，F(xiàn)RP布彈性模量E″frp＝250.5GPa，厚度t″frp＝0.33mm［30］.由圖8 可知，間接模型在混凝土變形的初始階段模擬效果較好，但在變形發(fā)展的后期與實(shí)驗(yàn)值差別較大.這說明應(yīng)變存在應(yīng)力路徑相關(guān)性.與之相比，直接模型可以更好地模擬FRP約束混凝土的軸向應(yīng)變-橫向應(yīng)變關(guān)系，曲線斜率的變化體現(xiàn)出FRP約束對(duì)混凝土膨脹的影響.

2.2 主動(dòng)約束模型

2.2.1 軸向應(yīng)力-軸向應(yīng)變關(guān)系 在確定主動(dòng)約束混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線時(shí)，需要確定符合應(yīng)力-應(yīng)變形態(tài)的表達(dá)式.

大部分模型采用的是由Popovics 提出的模型［31］，被Mander［32］首次引用到鋼筋約束混凝土中，該模型表達(dá)如下：

該模型誤差 率 低，被 眾 多 研 究 者 參 考 使 用［4-6，30，35，49］.

此外，主動(dòng)約束模型也有其他函數(shù)形式.陶忠等［33］采用的主動(dòng)約束模型為文獻(xiàn)［34］中的模型：

式中：X＝εc／ε′cc，A、B、C、D 分別為由特征點(diǎn)推導(dǎo)出的系數(shù).

2.2.2 主動(dòng)約束混凝土峰值應(yīng)力、峰值應(yīng)變 主動(dòng)約束混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰值點(diǎn)應(yīng)力即為其抗壓強(qiáng)度.峰值應(yīng)力的大小也決定了主動(dòng)約束混凝土的破壞面.在確定峰值應(yīng)力時(shí)，使用最廣泛的是文獻(xiàn)［32］中的模型：

式中：σl為側(cè)向約束力.在考慮FRP 約束時(shí)，σl＝2Efrptfrpεl／D，εl為混凝土側(cè)向膨脹量，在極限點(diǎn)時(shí)采用斷裂時(shí)的側(cè)向約束力fl，a［26］，當(dāng)同時(shí)考慮箍筋和FRP約束時(shí)，σl的表達(dá)式更為復(fù)雜［35］.

在眾多主動(dòng)約束混凝土的峰值應(yīng)變表達(dá)式中，由Richart［36］提出的模型使用最為廣泛：）

式中：εc0一 般 取0.002 左 右 的 定 值［35，37］，也 有 研 究者認(rèn)為εc0為fc0的函數(shù)［4，27］.

3 模型適用性分析

3.1 設(shè)計(jì)型模型適用性

在選用設(shè)計(jì)型模型時(shí)，其中一類需要首先判定應(yīng)變強(qiáng)化／軟化.目前劃分強(qiáng)化和軟化的準(zhǔn)則主要通過選取判定參數(shù)和求解界限值.判定參數(shù)分為2類：圍壓比β［1，3，20］和約束剛度比ρ［22］，其中，

通過建立數(shù)據(jù)庫(kù)，采用回歸方法來確定其界限值是目前眾多研究中常用的求解方法.另一類設(shè)計(jì)型模型不需要提前判定，然而與上述設(shè)計(jì)型模型一樣，該類設(shè)計(jì)模型的極限點(diǎn)與轉(zhuǎn)折點(diǎn)均與圍壓比相關(guān).

自研究初期起，圍壓比β被廣泛應(yīng)用于FRP約束混凝土應(yīng)變強(qiáng)化／軟化的判定準(zhǔn)則.然而，不同學(xué)者給出的界限值差別較大，β 為0.07～0.20（見表2）.各界限值由實(shí)驗(yàn)曲線直接或間接確定.試件為各類FRP材料（CFRP、GFRP、AFRP）包裹的混凝土圓柱體.各研究的試件個(gè)數(shù)如表2 所示.美國(guó)ACI規(guī)范將強(qiáng)化與軟化的界限值取為0.08［20］.在早期研究［8-9，11，13，42］中，εfrp采 用FRP 材 料 在 拉 伸 實(shí) 驗(yàn) 中 的極限拉應(yīng)變.后來研究［1-3，20］發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)RP 在圍裹混凝土柱之后，破壞時(shí)的實(shí)際平均側(cè)向（εh，frp）遠(yuǎn)低于材性實(shí)驗(yàn)中的極限拉應(yīng)變?chǔ)舊rp，因此，本文引入有效約束系數(shù)kε（kε＝εh，frp／εfrp）來衡量FRP極限拉應(yīng)變的折減.忽略該折減因素會(huì)高估圍壓比的界限值.美國(guó)ACI規(guī)范［23］中考慮該折減系數(shù)，保守取值為0.55.然而，施工工藝、產(chǎn)品材料以及測(cè)量方法的差異將導(dǎo)致折減系數(shù)存在不確定性.Wu等［29］在研究中發(fā)現(xiàn)細(xì)致的施工工藝和5個(gè)以上側(cè)向應(yīng)變采集方式可以消除不確定性的影響，而產(chǎn)品的差異在相同的施工工藝和測(cè)量方法下可產(chǎn)生較大的差異，如：Toray和Sika的CFRP因產(chǎn)品差異可導(dǎo)致kε產(chǎn)生約40%的差異.目前尚無(wú)研究對(duì)這類因素的影響程度進(jìn)行定量分析［45］.該差異性使折減系數(shù)存在較大的離散性.現(xiàn)有的公開實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明：kε的變化范圍為0.5～0.8［2，29-30，43］.FRP折減系數(shù)的不確定性直接引起被校核試件真實(shí)圍壓比β值的不準(zhǔn)確性，從而導(dǎo)致設(shè)計(jì)型模型的適用性存在局限性.Wu等［18］按照圍壓比判定方法發(fā)現(xiàn)模型在預(yù)測(cè)應(yīng)變軟化的情況下效果不佳.這說明采用圍壓比作為判定參數(shù)會(huì)給模型的計(jì)算結(jié)果帶來誤差.

表2 判定應(yīng)變強(qiáng)化／軟化界限值Tab.2 Threshold value of classifying strain-hardening／softening

約束剛度被學(xué)者們認(rèn)為是主要的影響因子［45-46］.除了將約束剛度作為單獨(dú)考慮因子，一些學(xué)者在判定準(zhǔn)則中同時(shí)考慮剛度比和圍壓比［39-40］.約束剛度比ρ為常用的判定參數(shù).該參數(shù)僅與FRP材料的彈模、厚度、混凝土柱體的直徑和素混凝土強(qiáng)度有關(guān).這些材料參數(shù)的不確定性均為已知.我國(guó)《纖維增強(qiáng)復(fù)合材料建設(shè)工程應(yīng)用技術(shù)規(guī)范》（GB50608-2010）［17］將臨界約束剛度比定為6.5.當(dāng)ρ＞6.5時(shí)為強(qiáng)約束，當(dāng)ρ≤6.5時(shí)為弱約束.Jiang等［41］通過塑性理論驗(yàn)證了約束剛度比與應(yīng)力-應(yīng)變趨勢(shì)的相關(guān)性，發(fā)現(xiàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的第二段曲線的斜率與約束剛度比存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，同時(shí)該研究推導(dǎo)出界限值ρ0＝6.29.該值與Teng等［22］通過數(shù)據(jù)直接回歸得到的結(jié)果相近.因此，判定因子的形式及數(shù)據(jù)庫(kù)是影響判定準(zhǔn)則適用性的主要因素，引入約束剛度比將改善設(shè)計(jì)型模型的適用性問題.

3.2 分析型模型適用性

分析型模型以主動(dòng)約束（鋼材約束、恒靜水圍壓）混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變模型為基礎(chǔ)模型.假設(shè)FRP約束混凝土在與恒定約束力下的混凝土處于相同圍壓水平時(shí)，對(duì)于給定的橫向應(yīng)變，混凝土的軸向應(yīng)力和軸向應(yīng)變相同.這一假設(shè)是多數(shù)FRP約束混凝土分析型模型的基礎(chǔ)，但隨著圍壓水平的提高，這一假設(shè)并不合理.Xiao等［47］指出當(dāng)FRP 材料的約束剛度越小、混凝土強(qiáng)度越高時(shí)，基于應(yīng)力路徑無(wú)關(guān)假設(shè)的分析型模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果差異越明顯.因此，應(yīng)力路徑的影響程度決定了分析型模型的適用范圍.

為研究不同應(yīng)力路徑對(duì)混凝土抗壓承載力的影響，分別建立2組數(shù)據(jù)庫(kù)：

1）FRP全長(zhǎng)約束混凝土標(biāo)準(zhǔn)圓柱應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€數(shù)據(jù)庫(kù).以全長(zhǎng)包裹FRP 的混凝土標(biāo)準(zhǔn)圓柱（直徑150mm，高300mm）的軸心受壓試件為研究對(duì)象，共收集287個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)［48］.其中，F(xiàn)RP種類包括碳纖維（CFRP）、玻璃纖維（GFRP）以及芳綸纖維（AFRP）；混凝土強(qiáng)度f(wàn)c0范圍為20.57～111.6 MPa；約束剛度比ρ 范圍為2.01～129.76；在側(cè)向極限圍壓fl，a以實(shí)測(cè)的FRP平均斷裂應(yīng)變?chǔ)舎，frp為計(jì)算依據(jù)，其范圍為0.5～43.0 MPa.

當(dāng)FRP約束混凝土（素混凝土強(qiáng)度為fc0）達(dá)到fl，a時(shí)，其對(duì)應(yīng)的抗壓強(qiáng)度為fcp，軸向應(yīng)變?yōu)棣與p.通過主動(dòng)約束模型求得對(duì)應(yīng)相同圍壓水平為fl，a，素混凝土強(qiáng)度為fc0的軸向應(yīng)力-軸向應(yīng)變關(guān)系曲線，取軸向應(yīng)變?yōu)棣與p所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力為與被動(dòng)約束對(duì)應(yīng)水平的抗壓強(qiáng)度，記為fca（見圖9），定義軸向應(yīng)力比γ（γ＝fca／fcp）.當(dāng)應(yīng)力路徑成立時(shí)，γ＝1.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，γ 隨著約束剛度比ρ 的增大而減?。ㄒ妶D10）.由于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的離散性，特定約束剛度比下的數(shù)據(jù)點(diǎn)具有離散性.通過概率統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算各約束剛度比條件下各試件的軸向應(yīng)力比γ 出現(xiàn)的概率.將各軸向應(yīng)力比與其概率的乘積求和即為該約束剛度比下的平均軸向應(yīng)力比：

式中：n（ρi）為對(duì)應(yīng)每個(gè)約束剛度比為ρi 的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù).f［γj（ρi）］為對(duì)應(yīng)約束剛度比ρi 的軸向應(yīng)力比為γj（ρi）的概率.

圖9 軸向應(yīng)力比示意圖Fig.9 Sketch of axial stress ratio

圖10 軸向應(yīng)力比隨約束剛度比的變化趨勢(shì)Fig.10 Variation trend of axial stress ratio with lateral confinement stiffness ratio

圖11 平均軸向應(yīng)力比與約束剛度比的關(guān)系Fig.11 Relationship between average axial stress ratio and lateral confinement stiffness ratio

由于數(shù)據(jù)點(diǎn)的非連續(xù)性，在計(jì)算過程中，約束剛度比ρi 單點(diǎn)的核算區(qū)間取為（ρi-2.5，ρi＋2.5），軸向應(yīng)力比γi單點(diǎn)的核算區(qū)間取為（γi-0.05，γi＋0.05）.如圖11所示為平均軸向應(yīng)力比γa隨約束剛度比ρ的變化規(guī)律.由圖可知，在側(cè)向圍壓相同的情況下，當(dāng)達(dá)到相同軸向應(yīng)變時(shí)，平均軸向應(yīng)力比γa與約束剛度比r呈線性反比關(guān)系：

當(dāng)ρ＝0時(shí)，a的理論值為1.由于混凝土應(yīng)變軟化段斜率與實(shí)驗(yàn)加載機(jī)制息息相關(guān)［50］，各研究者實(shí)驗(yàn)方法的差異會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)應(yīng)變?nèi)趸腇RP 約束混凝土試件的應(yīng)力比值的離散性較大.鑒于應(yīng)變強(qiáng)化／軟化的約束剛度比界限值ρ0＝6.4［41］，當(dāng)約束剛度比為0～6.4時(shí)的變化規(guī)律仍有待研究.由回歸公式（24）知，當(dāng)約束剛度比為14.6～63.4時(shí)，平均軸向應(yīng)力比值為0.9～1.1，即應(yīng)力比偏差小于10%.當(dāng)約束剛度比低于14.6時(shí)，分析型模型會(huì)高估實(shí)驗(yàn)結(jié)果；當(dāng)約束剛度比大于63.4時(shí)，主動(dòng)約束下混凝土的軸向應(yīng)力fca大于被動(dòng)約束下混凝土的軸向應(yīng)力fcp.

應(yīng)力路徑相關(guān)性顯現(xiàn)的混凝土宏觀特性可歸結(jié)于內(nèi)部細(xì)微觀的變化-內(nèi)部微裂縫的形成與發(fā)展.當(dāng)荷載較小時(shí)，損傷基本可以忽略不計(jì)；只有當(dāng)應(yīng)變大于臨界應(yīng)變時(shí)，損傷才開始發(fā)展，即混凝土的變形與損傷程度有一定相關(guān)性.施加側(cè)壓力約束了混凝土的側(cè)向膨脹，從而約束了混凝土內(nèi)部微裂縫數(shù)量和寬度的發(fā)展.隨著側(cè)向壓力的增大，混凝土開始損傷的臨界應(yīng)變會(huì)增大［51］，因此，圍壓大小及圍壓增長(zhǎng)率是混凝土內(nèi)部損傷的主要影響因素.

選取3 個(gè)不同約束剛度比（ρ＝9.51、21.46、129.76）的FRP約束混凝土試件［28-29］以及3個(gè)受不同等圍壓（fl，a＝4 MPa、8 MPa、12 MPa）混凝土試件［52］，比較2種約束機(jī)制下，混凝土的體積應(yīng)變?chǔ)舦-軸向應(yīng)變?chǔ)與曲線（見圖12）.不同約束剛度比對(duì)應(yīng)的FRP約束混凝土軸向應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€與分析型模型的計(jì)算全曲線對(duì)比結(jié)果如圖13所示.主動(dòng)約束混凝土的各級(jí)側(cè)向約束力數(shù)值（單位：MPa）在圖13右側(cè)標(biāo)出.

在主動(dòng)約束的情況下，混凝土從加載初期就受到一定強(qiáng)度的圍壓約束，而被動(dòng)約束下的側(cè)向壓力從零開始逐漸增長(zhǎng).在加載過程中，主動(dòng)約束下提供的側(cè)向約束力大于被動(dòng)約束，使混凝土處于更有效的三向約束中.混凝土的體積膨脹被大大抑制且處于體積壓縮狀態(tài)，這控制了微裂縫的展開，限制了混凝土損傷率的增長(zhǎng)，提高了混凝土的抗壓能力.在被動(dòng)約束過程中，在達(dá)到相同的圍壓水平之前，混凝土仍然呈現(xiàn)有效顯著的體積膨脹（見圖12）.因此，在軸向應(yīng)變相同的情況下，主動(dòng)約束下的混凝土應(yīng)力較高，剛度更大，由此產(chǎn)生的差異在小約束剛度比中比較明顯（見圖13（a））.

圖12 FRP約束與主動(dòng)約束混凝土體積應(yīng)變-軸向應(yīng)變曲線對(duì)比Fig.12 Comparison of volumetric strain-axial strain curves of FRP-confined and actively confined concrete

由圖12可以看出，隨著恒定圍壓的變化，側(cè)向變形在約束后期由體積壓縮變?yōu)轶w積膨脹，混凝土的內(nèi)部裂紋快速發(fā)展，膨脹率呈增長(zhǎng)趨勢(shì)；FRP 約束的混凝土在約束剛度比適中的情況下，側(cè)向膨脹性能與恒定圍壓下的混凝土相似，在變形后期由體積壓縮變?yōu)轶w積膨脹.此時(shí)，主動(dòng)約束混凝土與被動(dòng)約束混凝土的軸向應(yīng)力-軸向應(yīng)變曲線極為接近（見圖13（b））.當(dāng)約束剛度比增大時(shí)，恒定圍壓和被動(dòng)圍壓對(duì)混凝土膨脹的約束作用都有明顯的加強(qiáng)（見圖12）.由于在被動(dòng)約束中混凝土側(cè)向膨脹與側(cè)向圍壓具有相互耦合作用，體積膨脹得到越有效的抑制，混凝土的體積變形逐漸由體積膨脹向體積壓縮發(fā)展，其內(nèi)部裂紋的發(fā)展速率變小，混凝土內(nèi)部損傷速率減慢.在主動(dòng)約束中的混凝土圍壓增長(zhǎng)率不變，且在約束后期，隨著混凝土由體積壓縮變?yōu)轶w積膨脹，混凝土損傷率迅速提高.因此，對(duì)于大約束剛度比的試件，在約束后期分析型模型的計(jì)算結(jié)果會(huì)低估FRP約束混凝土的強(qiáng)度（見圖13（c））.

4 結(jié) 論

FRP約束混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變模型是結(jié)構(gòu)分析的重要組成部分.現(xiàn)有的2種模型-設(shè)計(jì)型與分析型模型-各自的特點(diǎn)及其使用局限性原因總結(jié)如下.

圖13 不同約束剛度比的FRP 約束混凝土分析型模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較Fig.13 Comparison of analysis-oriented model and experimental results of FRP-confined concrete with different lateral confinement stiffness ratios

（1）設(shè)計(jì)型模型通過對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的回歸分析給出數(shù)學(xué)公式顯式表達(dá)軸向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，主要分為應(yīng)變強(qiáng)化型、應(yīng)變軟化型模型與統(tǒng)一模型.

（2）分析型模型基于混凝土的軸向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與應(yīng)力路徑無(wú)關(guān)的假設(shè)，通過增量法獲取軸向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系.

（3）圍壓比的不確定性影響分析型模型適用性的關(guān)鍵因素.設(shè)計(jì)型模型中以圍壓比作為控制區(qū)分應(yīng)變強(qiáng)化／軟化，計(jì)算應(yīng)力應(yīng)變極限點(diǎn)及轉(zhuǎn)折點(diǎn)的主要決定因子.由于施工工藝、產(chǎn)品材料以及測(cè)量方法的差異，引起模型中圍壓比數(shù)值的不確定性，設(shè)計(jì)型模型的適用性具有局限性.引入圍壓比的不確定性分析將有助于改善設(shè)計(jì)型模型適用性.

（4）混凝土強(qiáng)度的應(yīng)力路徑相關(guān)性是影響分析型模型適用性的關(guān)鍵因素.通過數(shù)據(jù)分析表明，主動(dòng)約束與被動(dòng)約束達(dá)到相同圍壓水平時(shí)，混凝土應(yīng)力比恒不為1，該應(yīng)力比隨著約束剛度比的增大而減小.考慮計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值10%的偏差允許度，當(dāng)約束剛度比小于14.6時(shí)，分析型模型的計(jì)算結(jié)果將高估被動(dòng)約束的實(shí)驗(yàn)結(jié)果；當(dāng)約束剛度比大于63.4時(shí)，其計(jì)算結(jié)果將低估被動(dòng)約束的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.因此，在現(xiàn)有的分析型模型中考慮應(yīng)力路徑相關(guān)性引起的應(yīng)力差是擴(kuò)大該類模型適用性范圍的關(guān)鍵.在低約束水平及高約束水平下，如何修正分析型模型，建立考慮應(yīng)力路徑相關(guān)性的分析型模型亟需后續(xù)進(jìn)一步展開研究.

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