曾棉煒?ピ?柳芳??

1范希爾（Van Hiele）幾何思維層次理論

在有關(guān)學(xué)生的幾何概念發(fā)展與學(xué)習(xí)的研究中，范希爾的幾何思維水平體系是最有影響的理論之一.基于格式塔心理學(xué)和皮亞杰的發(fā)生認(rèn)識(shí)論，范希爾于20世紀(jì)50年代末提出幾何思維發(fā)展水平的理論，認(rèn)為學(xué)生幾何思維的發(fā)展可以劃分為五個(gè)發(fā)展水平：視覺層次（visual）、分析層次（analysis）、非形式演繹層次（informal deduction）、形式邏輯層次（formal deduction）以及嚴(yán)密性系統(tǒng)（rigor）.

弗斯（Fuys）等人依據(jù)范希爾幾何思維層次理論，更進(jìn)一步深入探究學(xué)生在每個(gè)層次上所能達(dá)到的程度，而提出對(duì)應(yīng)幾何思維每個(gè)層次發(fā)展，學(xué)生所能表現(xiàn)或達(dá)到的具體行為能力.各層次的主要描述如下：

（1）視覺層次：能辯識(shí)幾何圖形；能作圖、繪制或復(fù)制圖形；根據(jù)一定的形式來命名或標(biāo)識(shí)圖形；能進(jìn)行比較和分類，并能用口頭語言描述幾何圖形.

（2）分析層次：能確認(rèn)并檢驗(yàn)圖形各組成元素之間的關(guān)系；說出各組成元素的名稱，并使用恰當(dāng)?shù)恼Z言描述它們之間的關(guān)系；能比較兩個(gè)圖形的異同點(diǎn)；通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)特殊圖形的性質(zhì)并進(jìn)行歸納；能利用圖形的已知性質(zhì)或觀察隱含的性質(zhì)去解決幾何問題.

（3）非形式演繹的層次：能辨認(rèn)某類圖形的性質(zhì)，并檢驗(yàn)這些性質(zhì)的充分性；形成并使用某類圖形的定義；能提出非形式化的論證；能非形式地辯識(shí)敘述及逆敘述之間的不同；不了解定義及基本假設(shè)的必要性；沒有建立定理網(wǎng)絡(luò)間的內(nèi)在關(guān)系.

（4）形式邏輯的層次：能辨認(rèn)出形式定義的特性和等價(jià)的定義；在公設(shè)系統(tǒng)下，證明層次三所說明的定理；學(xué)生在一公設(shè)系統(tǒng)下，建立定理和定理間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，了解公理、公設(shè)、定理、定義、未定義名詞以及證明的相互關(guān)系和角色，了解定理與逆定理的區(qū)別和證明的充分與必要條件，能寫出邏輯證明.

（5）嚴(yán)密性系統(tǒng)的層次（邏輯法則本質(zhì)）：在不同的公設(shè)系統(tǒng)下，學(xué)生能嚴(yán)格地建立定理，并分析比較這些系統(tǒng)；找出解決一類問題的一般性方法；比較不同公設(shè)系統(tǒng)，并自覺探討公設(shè)的變動(dòng)對(duì)結(jié)果的影響.

范希爾的研究給予我們的啟示是：影響學(xué)生幾何思維能力發(fā)展的主要因素并非是年齡或生物成熟度，而是與教學(xué)有著密切的聯(lián)系；學(xué)生幾何推理發(fā)展的思維過程是可測(cè)的，具有階段性，每一層次都有其專屬的階段性語言符號(hào).

2研究的設(shè)計(jì)

2.1研究工具

在芝加哥研究計(jì)劃中尤西斯金（Usiskin）等人依據(jù)范希爾幾何思維理論模式中推理層次一至五的表現(xiàn)情形，編制相關(guān)測(cè)驗(yàn)工具，可探討研究樣本的幾何推理能力，其編制測(cè)試題時(shí)反映的受測(cè)者表現(xiàn)特征與弗斯等人對(duì)于范希爾幾何思維層次的具體描述相一致.本研究采用尤西斯金測(cè)驗(yàn)工具進(jìn)行調(diào)查，包括25道選擇題，分屬五個(gè)范希爾幾何思維發(fā)展層次，每個(gè)層次有五題.

2.2研究樣本

為使調(diào)查結(jié)果具有一定的說服力和推廣性，在選擇研究樣本時(shí)考慮所選樣本必須具有一定的代表性，且從不同地區(qū)（包括城市和郊縣）選取同一層次上的學(xué)校，便于對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較分析.本研究選取不同地區(qū)四所初中學(xué)校八年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，正式施測(cè)總樣本數(shù)為397個(gè)，有效樣本為371個(gè)，有效率為9345%.選取的人數(shù)分布情形如表1.

縣市學(xué)校人數(shù)男女合計(jì)班級(jí)類型甲市A校454792數(shù)學(xué)能力分組后的平行班乙縣B校504499數(shù)學(xué)能力分組后的重點(diǎn)班丙市C校484593數(shù)學(xué)能力分組后的重點(diǎn)班丁市D校464692數(shù)學(xué)能力分組后的平行班合計(jì)371

2.3研究結(jié)果

2.31Van Hiele幾何推理各層次表現(xiàn)

表2“Van Hiele幾何推理能力測(cè)驗(yàn)”各題正確率

從結(jié)果看來，前三層次上的正確率較高，均大于80%，而第五層次上的正確率只有2087%.可以發(fā)現(xiàn)，通過率較低的第11、14題均是邏輯性較強(qiáng)的包含關(guān)系推理題，學(xué)生平時(shí)在學(xué)習(xí)中很少遇到類似的題目，而處于第五層次的21題得分率最低，此題要求學(xué)生對(duì)現(xiàn)學(xué)幾何體系有充分的認(rèn)識(shí)和宏觀的把握之后才能夠解答，將熟悉的概念在另一幾何系統(tǒng)中重新下定義，學(xué)生并沒有跳出固有概念的限制去根據(jù)新的定義來作出判斷.

2.32幾何推理層次界定

本研究采用五分之三的標(biāo)準(zhǔn)，以某一水平層次平均達(dá)到60%作為達(dá)到該水平層次的標(biāo)準(zhǔn)，由此計(jì)算所有樣本各層次通過比例，如表3所示.分配層次時(shí)采用加權(quán)計(jì)分，所有的樣本經(jīng)加權(quán)后計(jì)算得分情形，層次分布相對(duì)次數(shù)折線圖如圖1.

為進(jìn)一步了解學(xué)生在幾何推理層次的分布情況，對(duì)學(xué)生所屬幾何推理層次進(jìn)行界定，采用單一樣本t檢驗(yàn)分析，分別以檢定值3和4（即層次三和層次四），探討所有學(xué)生的分布情況，檢定結(jié)果摘要如表4，說明受試者的幾何推理能力高于層次三但是未達(dá)到層次四.

綜合以上發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過初中階段七八年級(jí)的幾何學(xué)習(xí)，雖然有些學(xué)生無法達(dá)到幾何推理層次四，但對(duì)于層次一至三的幾何概念都已熟悉，所以學(xué)生若未能達(dá)到第四層次（形式邏輯推理），也多半都能達(dá)到第三層次（非形式演繹）.

2.33學(xué)校差異、城鄉(xiāng)差異

由于所有樣本在視覺和分析層次通過率很高，因此在進(jìn)行學(xué)校差異比較時(shí)只針對(duì)層次三至層次五三個(gè)高層次思維進(jìn)行討論.由上表可看出，四校的總正確率相差不遠(yuǎn)，由高到低依次為C校、D校、B校、A校.表現(xiàn)最好的C校主要是在層次五上有較高的正確率，而層次五上的題目都是較為抽象，必須對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)和思想內(nèi)涵有一定認(rèn)識(shí)才能做好的題目，按照弗斯針對(duì)幾何思維層次五的描述，學(xué)生能在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒍ɡ恚苑治霰容^不同的幾何系統(tǒng)，如歐氏幾何與非歐氏幾何系統(tǒng)的比較.所以C校在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想、注重知識(shí)本質(zhì)方面作出了一定成績(jī).

不同學(xué)校受試者的層次分布百分比直方圖如圖2，進(jìn)一步通過卡方檢定表明不同學(xué)校的學(xué)生在幾何推理層次的分布有顯著性差異（χ2=52778，P=.000）.

圖2各校層次分布百分比直方圖

綜合以上發(fā)現(xiàn)，由于丙市C校的受測(cè)樣本是能力分組后的重點(diǎn)班學(xué)生，因此在此測(cè)驗(yàn)的表現(xiàn)明顯優(yōu)于其他各校，而丁市D校選取的樣本雖然為能力分組后的平行班學(xué)生，但表現(xiàn)并不遜于乙縣B校的重點(diǎn)班學(xué)生，說明不同地區(qū)存在著城鄉(xiāng)差距，不同地區(qū)的文化、語言的差異會(huì)影響學(xué)生閱讀能力等方面的差異，從而造成不同地區(qū)學(xué)生在幾何推理層次測(cè)驗(yàn)的表現(xiàn)有所差異.

2.34性別差異

以性別來看，在層次三和五上，男生正確率比女生高，而總正確率是女生略高于男生，但是通過獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)表明男女生在正確率上沒有顯著性差異（t=-0714，P=0235）.進(jìn)一步對(duì)測(cè)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行二因子變異數(shù)分析，可以看出學(xué)校與性別之間無交互作用.3結(jié)論

（1）初中學(xué)生對(duì)于邏輯性較強(qiáng)的包含關(guān)系推理題容易出錯(cuò)，對(duì)現(xiàn)學(xué)幾何體系缺乏宏觀把握，對(duì)新的幾何系統(tǒng)下的重新定義難以作出判斷.

（2）初中生在幾何推理前三個(gè)層次有較高的正確率，通過單一樣本t檢驗(yàn)表明學(xué)生在幾何推理層次分布上均高于層次三但未達(dá)層次四，即學(xué)生的幾何推理能力介于非形式演繹與形式邏輯推理層次之間.

（3）不同學(xué)校間在各層次上的正確率由高到低依次為C校、D校、B校、A校，進(jìn)一步通過卡方檢定表明不同學(xué)校的學(xué)生在幾何推理層次的分布有顯著性差異（χ2=52778，P=.000），并且不同地區(qū)存在著城鄉(xiāng)差距.

（4）通過獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)表明男女生在正確率上沒有顯著性差異（t=-0714，P=0235）.進(jìn)一步對(duì)測(cè)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行二因子變異數(shù)分析，可以看出學(xué)校與性別之間無交互作用.4發(fā)展學(xué)生幾何推理能力的策略

按照皮亞杰的兒童認(rèn)知發(fā)展四階段，學(xué)生在11，12歲以后應(yīng)該逐步達(dá)到形式運(yùn)算階段，能夠在更大范圍內(nèi)進(jìn)行邏輯推理，我國初中階段（7—9年級(jí)）幾何課程目標(biāo)要求學(xué)生學(xué)習(xí)過第三學(xué)段幾何課程后，應(yīng)可達(dá)到形式邏輯推理層次，但本研究結(jié)果顯示學(xué)生幾何推理層次介于非形式演繹和形式邏輯推理之間，學(xué)生還沒有完全具備形式邏輯思維，因此發(fā)展學(xué)生的幾何推理能力顯得尤為重要，下面主要從教材和教學(xué)方面進(jìn)行探討.

一方面教材編寫需要增加數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性和連貫性，把握知識(shí)螺旋上升的尺度，合理安排從合情推理到演繹論證之間的過渡.重視發(fā)展學(xué)生的綜合推理能力，既要重視合情推理歸納、猜想的功能，又要強(qiáng)調(diào)演繹推理的必要性和重要性，避免出現(xiàn)把只通過合情推理而沒有經(jīng)過嚴(yán)格論證的結(jié)論當(dāng)作定理使用的情況，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)本質(zhì)上去理解概念的形成.城鄉(xiāng)差異會(huì)造成學(xué)生閱讀等方面的差異，因此教材設(shè)置時(shí)也要針對(duì)學(xué)生的文化水平、城鄉(xiāng)差異及語言習(xí)慣等加以考慮.

另一方面在數(shù)學(xué)教學(xué)中需要注意培養(yǎng)學(xué)生的閱讀素養(yǎng)，針對(duì)文字?jǐn)⑹鲱}和論證層次題加以指導(dǎo)，幫助學(xué)生分清題目的邏輯關(guān)系，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)加強(qiáng)學(xué)生的邏輯論證層次的概念.抓好定理教學(xué)，對(duì)于每一個(gè)定理，必須認(rèn)清它的題設(shè)、結(jié)論、圖形以及它的地位、作用，真正弄懂其內(nèi)涵和外延，從而使學(xué)生形成自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).在教學(xué)中教師適時(shí)向?qū)W生傳遞數(shù)學(xué)思想，盡量使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念、原理的本質(zhì)，提高所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象程度，以適應(yīng)更廣泛的范圍.

參考文獻(xiàn)

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袁柳芳，女，廣東興寧人，1986年生，碩士，中教一級(jí)，龍崗區(qū)教育均衡化、優(yōu)質(zhì)化、現(xiàn)代化發(fā)展行動(dòng)研究項(xiàng)目課題主持人，青年教師基本功大賽一等獎(jiǎng).