高厚良?ッ飛教?

在現(xiàn)行的初中教材中，由于一些概念在初中階段不好準確表述，但又要學習與之相關的內容，便采取了一種描述性的方法定義相關概念，如函數(shù)、二次根式等.由于沒有對概念的內涵及外延做出準確的界定，使得部分初中教師對一些概念產生了認識封閉，對于這樣的概念若能跳出初中教材的圈子，換一種視角可能會得到意想不到的收獲.本文擬對在初中教師中產生大面積認識封閉的兩個概念談談自己的看法，以期引起老師們的思考.1 產生認識封閉的概念分析

1.1 完全平方式

先來看這樣一個問題：

（2005年山西（大綱）卷第9 題）在多項式4x2+1中添加一個條件，使其成為完全平方式，則添加的單項式可以是（只寫一個即可）.

對于這個問題，大部分初中老師認為可以填“±4x”或“4x4”，從而得完全平方式“（2x±1）2”或“（2x2+1）2” ；有少部分老師認為除了可以填以上答案外，還可以填“-4x2”或“-1”，從而得完全平方式“12”或“（2x）2” .第一種觀點的老師認為，現(xiàn)行各版本教材均指出：“一個多項式是兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)積的2倍，這恰是兩數(shù)和（或差）的平方，把形如a2±2ab+b2的式子叫完全平方式” .據(jù)此認定完全平方式一定是三項構成，添加“-4x2”后，式子就成為了一個完全平方數(shù)，而添加“-1” 后，式子就變成了單項式，成為整式2x的平方，均不符合完全平方式的結構特征.筆者認為此種觀點是對完全平方式這個概念理解不全面，不深刻，把完全平方式與完全平方數(shù)割裂開了.

第二種觀點是否正確，關鍵在于完全平方數(shù)“1”可不可以理解成為完全平方式，也就是完全平方數(shù)與完全平方式之間是一種什么樣的關系.如果我們跳出初中現(xiàn)行各版本教材對這個概念的描述，通過工具書查閱相關概念可以發(fā)現(xiàn)：如果一個數(shù)是另一個整數(shù)的完全平方（或如果一個非負數(shù)的算術平方根恰好是一個自然數(shù)），這個數(shù)叫完全平方數(shù)；如果一個整式能夠寫成另一個整式的完全平方，這個整式叫完全平方式.如果沒有特別說明，完全平方式是在實數(shù)范圍內研究的，如x2+2x+1，x2+22x+2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，4x2，1等都是完全平方式，因為他們分別可以寫成（x+1）2，（x+2）2，（a+b+c）2，（2x）2，12.

事實上，若非負數(shù)A可以寫成另一個有理數(shù)a的平方，即A=a2，那么我們可以找出兩個有理數(shù)b、c，使得b=a-c，就有A=a2=（b+c）2，由此可見，A可以視為一個完全平方式，也就是說完全平方數(shù)可以視為一個完全平方式，但是，完全平方式卻不一定是一個完全平方數(shù)，如（2+3）2是完全平方式，而不是完全平方數(shù)，顯然完全平方式的概念包括完全平方數(shù).基于以上分析，我們可以得出以下結論：

（1）完全平方數(shù)可以理解成完全平方式，完全平方式包括完全平方數(shù)；

（2）完全平方式可以是單項式，也可以是多項式；

（3）完全平方式可能是二次三項，也可能是更高次的偶次多項式.

1.2點到射線、線段的距離

2014年12月2日，筆者在上海市某中學參加“微視頻導學，促進課堂對話的生成”系列主題教研活動期間，Y老師的一則教學片斷引起與會老師的極大爭鳴.

（師生共同活動得出角平分線性質定理的逆定理“在角的內部（包括頂點），到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上”后）

師：請小組討論：為什么角平分線性質定理中沒有強調在角的內部，而逆定理卻要強調在角的內部，在外部不可以嗎？

（學生分小組討論并在練習紙上畫圖）

生1：如，當一個點E在∠COD內部（即圖中陰影部分區(qū)域）時，它到射線OA、OB的距離相等，顯然點E這個點不在∠AOB的平分線上.

師：你找到了一個很好的反例，但老師想問：你說的點E是否可以在∠COD的兩邊（不包括頂點O）呢？

生1：當然包括，當點E在射線OC、OD上時，它到射線OA、OB的距離都是線段OE的長.

師：完全正確，同學們，除了剛才所說的這個范圍，還有沒有哪里的點也到射線OA、OB的距離相等，卻不在∠AOB的平分線上呢？

生2：如，當一個點E在∠COD內部（即圖中陰影部分區(qū)域）時，它到射線OA、OB距離相等，但不在角的平分線上.

師：漂亮，由此可以看出角平分線的性質定理的逆定理必要強調在角的內部.

這一教學片斷，尤其是對點到射線距離的理解，讓與會老師產生了爭鳴，就是上海本地的部分數(shù)學教師也不認同Y老師的觀點.由于現(xiàn)行各版本教材都有點到直線的距離概念（直線外一點到這條直線垂線段的長度，叫做點到直線的距離），卻沒有點到射線、線段的距離概念.很多初中數(shù)學老師一般主觀認為點到射線、線段的距離是指這一點到射線、線段所在直線的垂線段的長度.基于此認為，案例中反例所舉的點應在∠AOB角平分線的反向延長線上.如果Y老師對點到射線的距離的理解是正確的，那就意味著我們一線數(shù)學教師對這個概念產生了大面積的認識封閉呀！

遺憾的是由于各種原因，本人沒有得到與Y老師面對面交流的機會，當然這個問題也就沒有形成定論.回到本地后，我把這個問題放在了蚌埠市初中數(shù)學教師群中，竟然沒有一位教師支持Y老師的觀點.可仔細一想，上海作為中國教育的先進地區(qū)，此次教研活動又是上海的一次市級教研活動，課例肯定經過市、區(qū)兩級教研員的指點且經過多輪打磨，按理說不可能出現(xiàn)這樣的低級“失誤”呀，這里一定另有“隱情”.

通過查閱工具書發(fā)現(xiàn)：我們常說的“距離”是歐幾里德體系的距離.泛函分析中對“距離”是這樣定義的：

設X是任意非空集合，對X中任意兩點x和y，有一實數(shù)d（x，y）與之對應且滿足：①d（x，y）≥0，且（x，y）=0，當且僅當x=y；②d（x，y）= d（y，x）；③d（x，y）≤ d（x，z）+d（y，z）.

則稱d（x，y）為X上的一個距離.

這種“距離”既包含幾何意義上的“距離”，也包含非幾何意義上的“距離”.

（1）幾何意義距離

在幾何中，點與線、線與線、圖形與圖形間的距離，都是基于“點與點之間的距離”而定義的.①點與線的距離就是該點到線上所有點的連線段中最短的那條線段的長，既包含點到線段、射線、直線的距離，也包含點到曲線（如點與圓）的距離，點與線段、射線的距離既包含點到線的“垂直”的特殊情形，也包含點到線非垂直情形.②任意兩個圖形（包括空間圖形）之間的“距離”是指兩個圖形中所有點之間線段長度的最小值.如，曲線C1、C2之間的距離，即指連接C1、C2上任意兩點的所有線段中最短的那條線段的長.又如，兩條相交直線的距離為0.

（2）非幾何意義距離

例如：兩個集合A={3，2，-1，-3}，B={4，-2}，分別求集合A中各元素與B中各元素的差的絕對值（不計重復分別為1、2、4、5、7），其中最小的1就是這兩個集合間的“距離”.

在初中幾何中，距離一般指幾何意義上的距離，如點到直線的距離，垂線段是直線外一點與直線上所有點連線所成的線段中長度最短的，所以用這個最短的長度定義距離；又如兩條平行線間的距離：一條直線上任一點到另一條直線垂線段的長度，這個垂線段也是兩個圖形間所有點之間的最短線段.

查閱滬教版教材發(fā)現(xiàn)：在2011版（如）、2012版（如）的滬教版《數(shù)學》八年級（上）第106頁旁批中分別有這樣的表述：

教材的這一細微變化說明滬教版教材編寫組首先發(fā)現(xiàn)了部分老師對這一概念的認識封閉，從嚴謹?shù)慕嵌葘Ω拍钸M行了修正，也說明了Y老師對“點到射線的距離”理解是沒有問題的，上海部分老師不認同Y老師的觀點，可能是還沒有注意到教材的變化.

再回過頭來看一看大部分初中教師對點到線段、射線距離的理解：如，垂線段PQ是點P與射線OA上所有點連線所成的線段中最短的，故線段PQ的長表示點P到射線OA的距離；如、8，垂線段PQ雖是最短的線段，但垂足顯然不是射線OA、線段AB上的點，與幾何意義上的距離概念不符.基于以上分析，可以得到如下結論：

（1）當垂足在射線、線段上時，垂線段的長即為點到射線、線段的距離；

（2）當垂足不在射線、線段上時，就是離點較近的端點到該點的線段的長度.

當明確了以上結論后，平面上的點到線（包括直線、射線、線段、曲線）的距離就可統(tǒng)一定義為：這點與線（包括直線、射線、線段、曲線）上各點的距離中最短的距離.2兩點感悟

2.1不識“廬山”真面目，只緣身在“此山”中

李邦河院士曾指出：“數(shù)學根本上是玩概念的，技巧不足道也！”概念是思維的細胞，教好概念是教好數(shù)學的內在要求.可在現(xiàn)行教材中，有些概念受限于學生的知識結構與認知能力，在初中階段不好表述，教材雖采用了描述性的方法，但作為受過專業(yè)教育的教師必須理解、掌握，有清晰的思考.要居高臨下，從高中、大學等高度來理解概念，抓住概念的本質內涵，清楚概念的外延.只有這樣，教學中才不至于把問題說“死”、說“過頭”，讓學生在后續(xù)的學習中有“原來老師教錯了”的感覺.經常聽到很多老師討論“y=1是函數(shù)嗎？4是二次根式嗎？線段本身所在的直線是它的對稱軸嗎……”等問題，我們若是走出“此山”來看待這些問題，是不是會有不一樣的收獲呢？

2.2教學研究抓“大”也不能放“小”

有人曾對我說，你說的這些問題有研究的必要嗎？對于初中生來說并沒有太大的意義呀？很多老師都搞不清楚的問題，會用來考查學生嗎？是呀，這些問題可能不會用來考查學生，現(xiàn)行很多版本的數(shù)學教材也刻意回避此類問題，但這些能作為一線老師對概念產生認識封閉的理由嗎？經常聽到部分老師對此類問題采用所謂的“模糊處理”的高見，避而不談，但不知當孩子向你提出此類問題時，你該如何作答，總不能顧左右而言他吧！只有研究透了這些“小問題”，在教學時，采用張奠宙教授提出“混而不錯”的方式，才能有效避免教學中此種尷尬.正所謂不積細流無以成江海，不積跬步無以至千里，教學研究需要從大處著眼，突出重點，但是像從宏觀上研究教學、寫大塊論文、著書立說等卻不是我們一線教師能輕易完成的.作為一線教師從事研究還是應該從小處著手，關注自己的“教”，關注學生的“學”，切不可忽視點滴的教學研究，也許正是這些點滴的研究引領著自己走向浩瀚的知識海洋.

作者簡介高厚良，男，1979年生，中學一級教師，安徽省數(shù)學優(yōu)質課一等獎，蚌埠市骨干教師.近兩年在省級以上雜志發(fā)表文章10余篇.