左林昌，尹志宏

(昆明理工大學 機電工程學院，云南 昆明 650500)

三自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的建模及性能分析

左林昌，尹志宏

(昆明理工大學 機電工程學院，云南 昆明 650500)

基于現(xiàn)代控制理論、機械振動與結構振動相關理論，以無阻尼三自由度質(zhì)量彈簧系統(tǒng)為對象。以第一牛頓定律為理論基礎分析了物體的受力，從控制的角度繪制了系統(tǒng)的模擬結構圖，反應了系統(tǒng)全部獨立變量的變化及其相互間的關系，揭示了系統(tǒng)的內(nèi)部特征，并分析判斷了系統(tǒng)既能控又能觀，進一步認識了系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì)。采用主振型法研究了系統(tǒng)的動態(tài)特性，計算了系統(tǒng)的固有頻率，主振型及位移響應。

受力分析；能控能觀性；狀態(tài)空間；位移響應

對于一個給定的機械系統(tǒng)，分析其性能及其響應并進行控制是控制理論研究和動力學研究的重要內(nèi)容?？刂评碚摰哪繕耸橇私饣究刂圃聿⒁詳?shù)學表達它們，使其最終能用于計算進入系統(tǒng)的控制輸入，或用于設計自動控制系統(tǒng)[1]。研究動態(tài)系統(tǒng)的方法有很多種，但這些方法都是單一的從控制理論或動力學研究，很少有結合控制理論與動力學進行綜合研究的，因此存在對系統(tǒng)認識的不全面性。

本文綜合應用現(xiàn)代控制理論和動力學的相關知識，建立了系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，繪制了狀態(tài)空間模擬圖，并以狀態(tài)空間模型為基礎判定了系統(tǒng)的能控性及能觀性即系統(tǒng)的內(nèi)部特性。此外，還研究了系統(tǒng)的動態(tài)特性即計算了系統(tǒng)的固有頻率及主振型，并求出了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應[2-3]。

1 系統(tǒng)及其數(shù)學模型

1.1 研究對象

三自由度無阻尼質(zhì)量彈簧鏈狀系統(tǒng)如圖1所示。圖1中mi為質(zhì)量塊同時也為其質(zhì)量，ki為彈簧同時也為其彈性系數(shù)，fi為對應mi質(zhì)量塊受到的力。很明顯，這是一個三自由度無阻尼質(zhì)量彈簧鏈狀系統(tǒng)。

圖1 機械運動模型圖

1.2 系統(tǒng)的數(shù)學模型

對系統(tǒng)進行進一步研究的首要前提是建立其數(shù)學模型。線性系統(tǒng)的描述可以用微分方程、傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間法等，其中微分方程和傳遞函數(shù)不能完全揭示系統(tǒng)的全部運動狀態(tài)，因此，本文選用狀態(tài)空間法。這種方法可以反映系統(tǒng)的所有獨立變量的變化，確定系統(tǒng)內(nèi)部的運動狀態(tài)。

狀態(tài)空間法從“輸入→狀態(tài)→輸出”的過程揭示了系統(tǒng)的本質(zhì)。對結構和系統(tǒng)，根據(jù)物理或其他機理、規(guī)律寫出微分方程，最后把寫出的方程寫成矩陣形式，即狀態(tài)空間描述：

(1)

式中，X是狀態(tài)矢量；Y是輸出矢量；u是輸入(控制)矢量；A是系統(tǒng)矩陣；B是輸入矩陣；C是輸出矩陣；D為直接傳遞矩陣。

對分離體m1、m2、m3分別進行受力分析，受力圖如圖2 所示。

圖2 分離體受力圖

對每一個分離體應用牛頓第一定律，可得運動方程：

代入狀態(tài)變量和f1、f2、f3，整理得：

將此方程組寫成向量矩陣形式，即為系統(tǒng)狀態(tài)方程，得：

(2)

這里指定x1、x2、x3為輸出，則輸出方程為：

(3)

由以上可知，式2和式3是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。

1.3 系統(tǒng)的模擬結構圖

狀態(tài)空間表達式和系統(tǒng)框圖都能清楚地說明，它們既表征了輸入對于系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的因果關系，又反映了內(nèi)部狀態(tài)對于外部輸出的影響，所以狀態(tài)空間表達式是對系統(tǒng)的一種完全的描述。系統(tǒng)的模擬結構圖如圖3所示，由圖3可以看出內(nèi)部變量的變化及其相互關系。

圖3 系統(tǒng)模擬結構圖

2 系統(tǒng)的能控性和能觀性判定

2.1 系統(tǒng)能控性判定

用A陣與B陣判定系統(tǒng)的能控性，能控的充分必要條件是由A、B構成的能控性矩陣M=(B,AB,A2B,…,An-1B)滿秩，即rankM=n，式中，n為系統(tǒng)的階次，否則系統(tǒng)為不能控的。系統(tǒng)的能控性矩陣的秩為：

即該系統(tǒng)的能控性矩陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能控的。此處需要說明的是，在判定時，不一定要算到n階的矩陣An-1B，只需算出滿秩就可以得出結論，本例中B不滿秩，而(BAB)是滿秩的。

2.2 系統(tǒng)能觀性判定

rankNT=rank(CTATCT)=

即該系統(tǒng)的能觀性矩陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能觀測的。

3 系統(tǒng)動態(tài)性能分析

所謂系統(tǒng)的動態(tài)特性，指的是系統(tǒng)本身的固有頻率、阻尼特性以及對應各階固有頻率的振型和系統(tǒng)在外部載荷下的響應[4]。系統(tǒng)動態(tài)特性研究主要研究固有頻率和動態(tài)響應。計算固有頻率主要是為了避免共振的發(fā)生，動態(tài)響應則是由外部激勵引起的系統(tǒng)響應。

3.1 固有頻率和主振型

對圖1的系統(tǒng)振動模型，取平衡位置為坐標原點，用三質(zhì)量塊的位移描述系統(tǒng)的運動。將運動微分方程用矩陣形式表示為：

(4)

物體的固有頻率是物體的一種物理特征，由它的結構、大小和形狀等因素決定。這種物理特征不以其是否處于振動狀態(tài)而轉移。

式4所示系統(tǒng)的特征矩陣為：

B=K-p2M=

由頻率方程|K-p2M|=0得到p2的一元三次方程，它的根即為系統(tǒng)的特征值，即系統(tǒng)的固有頻率。應用盛金公式[5]或者應用郭志勇[6]的方法，可以求得系統(tǒng)的3個固有頻率，它們由系統(tǒng)本身的物理參數(shù)決定。將求得的固有頻率代入(K-p2M)A=0，雖然不能求得A的具體值，但是可以求得3個固有頻率對應的振幅比值，而振幅比確定了系統(tǒng)的振型。

3.2 系統(tǒng)的位移響應分析

(5)

這是以正則坐標描述的3個獨立的單自由度無阻尼系統(tǒng)強迫振動的微分方程。

返回原物理坐標，則有：

得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為：

4 算例驗證

即：

并求得：

將數(shù)據(jù)代入式5，得正則坐標表示的響應為：

利用x=ANxN將正則坐標還原到原坐標，得系統(tǒng)響應為：

5 結語

對于由質(zhì)量塊、彈簧組成的機械系統(tǒng)，可用現(xiàn)代控制的狀態(tài)空間法進行系統(tǒng)內(nèi)部各變量之間相互關系的分析，可用機械振動理論的主振型法研究系統(tǒng)的動態(tài)特性。運用上述2種方法可以全面的對系統(tǒng)進行分析[7]，為系統(tǒng)的設計和優(yōu)化提供有用的方法。

[1] 劉豹,唐萬生. 現(xiàn)代控制理論[M]. 3版. 北京:機械工業(yè)出版社,2006.

[2] 曲維德,唐恒齡. 機械振動手冊[M].2版.北京:機械工業(yè)出版社,2005.

[3] 賈啟芬,劉習軍. 機械與結構振動[M]. 天津:天津大學出版社,2007.

[4] 韓致信,李鈁,楊莉玲，等. 鉆柱縱向自由振動研究[J].甘肅工業(yè)大學學報,2002,28(2):50-53.

[5] 范盛金. 一元三次方程的新求根公式與新判別法[J]. 西南師范學院學報,1989,2(2):91-98.

[6] 郭志勇. 計算n階固有頻率的一個簡便公式[J]. 西安科技學院學報,2003,23(3):354-356.

[7] 何成浩. 有阻尼雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的理論建模及性能分析[J]. 機械科學與技術,2013,32(8):1144-1148.

責任編輯彭光宇

TheModelingandPerformanceAnalysisoftheThreeDegreesSpring-massSystem

ZUO Linchang，YIN Zhihong

(Faculty of Mechanical and Electrical Engineering，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500，China)

Use modern control theory, machine dynamics and structural vibration theory to study a mass-spring system of three degrees. Use Newton's first law of the theoretical to analyze the object by force, drawn the simulation system chart from the control perspective reflecting the independent variables and their inter reveals the internal relationship between the change in the system and reveal the characteristics of the system. We also analyze and prove that the system can not only be controlled but also be observed, then understand the inherent nature of the system further. To the dynamic characteristic of the system, we use the main formation method to calculate the natural frequency, the main formation and displacement response of the system.

stress analysis，controllability and observability，state space，displacement response

TH 13

:A

左林昌(1989-)，男，碩士研究生，主要從事機電系統(tǒng)設計理論與方法等方面的研究。

2015-02-02