張志強，苗友忠，李笑蓉，趙煒煒，唐曉駿，袁榮湘（.中國電力科學研究院，北京009；.國網(wǎng)冀北電力有限公司經(jīng)濟技術(shù)研究院，北京00045；.武漢大學電氣工程學院，武漢4007）

電力系統(tǒng)無功補償點的確定及其容量優(yōu)化

張志強1，苗友忠2，李笑蓉2，趙煒煒2，唐曉駿1，袁榮湘3
（1.中國電力科學研究院，北京100192；2.國網(wǎng)冀北電力有限公司經(jīng)濟技術(shù)研究院，北京100045；3.武漢大學電氣工程學院，武漢430072）

電力系統(tǒng)無功優(yōu)化是一個復(fù)雜的非線性組合優(yōu)化問題，針對該問題提出一種基于奇異值分解理論和改進的粒子群優(yōu)化算法的無功優(yōu)化方法。首先對系統(tǒng)潮流計算中雅可比矩陣進行奇異值分解，由奇異值分解理論可以得出矩陣的右奇異向量指標，依據(jù)該指標判斷電壓穩(wěn)定弱節(jié)點，以此作為候選的無功補償點；然后以有功網(wǎng)損最小為目標函數(shù)，構(gòu)建無功優(yōu)化數(shù)學模型，并提出改進的粒子群優(yōu)化算法，在算法中引入二次插值算子，增強了算法的局部搜索能力，避免早熟，提高其尋優(yōu)能力和收斂速度。最后，對IEEE30節(jié)點系統(tǒng)進行仿真計算，驗證了該方法的有效性。

奇異值分解；二次插值；粒子群算法；無功優(yōu)化

電力負荷和電網(wǎng)容量的增加使電網(wǎng)的安全經(jīng)濟問題越來越突出，降低網(wǎng)損、提高供電質(zhì)量成為目前電力部門越來越重視的問題。無功優(yōu)化作為保證電能質(zhì)量的重要手段，一直受到研究人員的廣泛關(guān)注。

電力系統(tǒng)的無功優(yōu)化包括2個子優(yōu)化問題，即無功補償點的確定和無功補償容量的確定，大多研究一般只針對其中一個方面進行優(yōu)化，得到的優(yōu)化結(jié)果往往并非最優(yōu)值。文獻[1]利用無功二次精確矩作為指標來確定無功補償點；文獻[2]提出無功裕度的概念，利用節(jié)點的無功裕度的值大小候選無功補償點；文獻[3]計算各節(jié)點靜態(tài)能量，以能量信息作為選擇無功補償點依據(jù)。以上對無功補償點優(yōu)化的同時往往缺少對補償容量的優(yōu)化考慮。無功容量的優(yōu)化方法目前由非線性規(guī)劃和線性規(guī)劃等經(jīng)典優(yōu)化算法發(fā)展到近年的智能優(yōu)化算法，如模擬退火法、遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法等[4-6]。傳統(tǒng)的優(yōu)化方法存在速度慢，收斂性差和求解精度低的缺點，智能優(yōu)化算法的出現(xiàn)彌補了這些缺點。遺傳算法模擬生命進化機制，以模擬自然選擇和遺傳進化中的繁殖、交配和突變現(xiàn)象為基礎(chǔ)發(fā)展起來的一種隨機搜索技術(shù)，有效克服了傳統(tǒng)方法在解決復(fù)雜問題時的障礙和困難[7]。具有計算時間少、收斂性優(yōu)良和魯棒性高的優(yōu)點。但是遺傳算法在求解大規(guī)模計算量的問題時容易出現(xiàn)“早熟”現(xiàn)象。粒子群優(yōu)化算法利用粒子在群體中的合作與競爭的關(guān)系，采用“速度-位移”的模型，實現(xiàn)種群在搜索空間內(nèi)的全局搜索，由于其模型的簡單性，因此更加容易實現(xiàn)。每代種群中的個體均具有“自我”學習和向“他人”學習的雙重提高優(yōu)點，故其收斂速度更快，具有更好的精度[8-10]。但是常規(guī)的粒子群優(yōu)化算法容易陷入局部最優(yōu)，因此本文將二次插值算子引入標準粒子群算法中，提出改進的優(yōu)化算法。

本文采用先確定無功補償點再確定無功補償容量的方法，將潮流計算中雅可比矩陣進行奇異值分解，根據(jù)最小奇異值對應(yīng)的右奇異向量指標候選無功補償點。建立有功網(wǎng)損最小的目標函數(shù)，根據(jù)改進的粒子群優(yōu)化算法，在第個粒子的個體歷史最優(yōu)位置中，任意選擇2個作為二次插值的2個值，并結(jié)合全局最優(yōu)位置，產(chǎn)生一個新的個體，若新的個體優(yōu)于其對應(yīng)的個體歷史最優(yōu)位置，則進行替換，否則保持不變。采用分段調(diào)整加速因子的方法，改變搜索算法不同階段跟隨“自身經(jīng)驗”和“群體經(jīng)驗”的權(quán)重。通過IEEE30節(jié)點系統(tǒng)進行仿真，驗證了該方法的有效性。

1 基于奇異值分解候選無功補償點

奇異值分解法是在電力系統(tǒng)潮流計算時，將其對應(yīng)的潮流雅可比矩陣進行奇異值分解，以其最小奇異值δmin以及左右奇異值向量來衡量靜態(tài)電壓穩(wěn)定性。潮流計算修正方程為

式中，J為雅可比矩陣，是非奇異矩陣，故可將其進行奇異值分解，分解后可得

式中：M和N為n維的正交矩陣；k為矩陣J的維數(shù)；mi和ni分別為左、右奇異值向量，分別對應(yīng)矩陣M和N的第i列；δi為奇異值（δ1≥δ2≥…≥δk≥0）；Σ為δi的對角矩陣。根據(jù)修正方程可得有功功率和無功功率注入的微小變化引起的矢量（ΔδΔU）的變化，即

如果奇異值δi充分小，則其對應(yīng)狀態(tài)變量會變化很大。因此雅克比矩陣的最小奇異值及其左右奇異矢量決定了系統(tǒng)的響應(yīng)，即

式中：mk為M的最后列，提供了節(jié)點功率注入變化的典型模式，根據(jù)正交矢量的性質(zhì)，mTkmk=1；nk為N的最后列，nk中的最大元素對應(yīng)最靈敏的節(jié)點電壓幅值，所以可以通過右奇異矢量來判斷系統(tǒng)的電壓弱節(jié)點[11-12]。當系統(tǒng)功率攝動和最小奇異值相關(guān)的左奇異矢量相等時，（ΔP，ΔQ）T=mk，故有

本文以雅可比矩陣最小奇異值對應(yīng)的右奇異矢量中的幾個最大值的節(jié)點作為無功補償候選點。

2 基于改進粒子群算法的無功優(yōu)化

2.1 無功優(yōu)化數(shù)學模型

本文以交流系統(tǒng)網(wǎng)損值最小作為目標函數(shù)，其函數(shù)表達式為

式中，Ploss為系統(tǒng)有功網(wǎng)損。

由于負荷節(jié)點電壓和發(fā)電機無功功率為狀態(tài)變量，可將其通過罰函數(shù)的形式引入目標函數(shù)，即式中：Ui、Ui，min和Ui，max分別為節(jié)點i的電壓幅值及其對應(yīng)的下限值和上限值；UGi、UGi，min和UGi，max分別為發(fā)電機i的無功出力及其對應(yīng)的下限值和上限值；λV、λQ分別為懲罰系數(shù)。

2.1.1 等式約束

有功和無功潮流的等式約束方程為

式中：PG，i和QG，i為發(fā)電機的有功和無功功率；Pl，i和Ql，i為節(jié)點負荷的有功和無功功率；QC，i為補償節(jié)點的無功補償量；Gij、Bij和θij分別為節(jié)點i、j之間的電導(dǎo)、電納和節(jié)點電壓相角差。

2.1.2 系統(tǒng)不等式約束

控制變量約束為

式中：NG、NC和Nt分別為發(fā)電機的節(jié)點數(shù)、無功補償點數(shù)和可調(diào)變壓器數(shù)；QCj為系統(tǒng)補償節(jié)點的無功補償量，QCj，max和QCj，min為其補償容量上下限；Ttk、Ttk，max和Ttk，min分別為可調(diào)變壓器分接頭檔位及其上下限。

狀態(tài)變量約束為

式中：Nd為PQ節(jié)點數(shù)；QGo、QGo，max和QGo，min分別為發(fā)電機的無功功率及其上下限；Ulp、Ulp，max和Ulp，min分別為PQ節(jié)點電壓幅值及其上下限。

2.2 算法研究

2.2.1 標準粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法從鳥群覓食的過程中得到啟示，并成功發(fā)展為一種有效的全局尋優(yōu)算法，其搜索空間中每個優(yōu)化問題的解看作為一個“粒子”。若粒子群在D維搜索空間中搜索，種群規(guī)模為N，第t代粒子i所處的空間位置為=（i2，…，，i=1，2，…，N，速度為=，…），其個體歷史最優(yōu)位置為（，…，第t代的全局最優(yōu)位置為P=（，…），則粒子i的速度和位置更新為

式中：c1和c2為學習因子；r1和r2為[0，1]范圍內(nèi)的隨機數(shù)；ω為慣性權(quán)重值，其大小將隨迭代的不斷進行而改變，由最大值ωmax線性減小到最小值ωmin，即

式中：iter為當前迭代數(shù)；max_iter為種群最大迭代數(shù)。

2.2.2 改進的粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法前期的全局搜索能力強，缺點是后期算法的收斂速度將會變慢，影響算法的求解精度，降低了其尋優(yōu)能力。針對標準粒子群算法的改進，目前已經(jīng)有諸多研究。文獻[13]將混沌優(yōu)化引入粒子群算法中，并建立黃金分割評判標準，使得算法更有效地搜索到全局最優(yōu)解；文獻[14]將禁忌搜索思想融入粒子群算法中形成混合算法；文獻[15]將初始種群隨機劃分N為個子群，在子群中各自進行尋優(yōu)計算并共享信息。本文在標準粒子群算法中增加局部搜索策略，在粒子的個體歷史最優(yōu)位置附近進行局部探索，加強PSO算法的局部搜索能力，提高算法的收斂速度。故本文提出一種改進的粒子群優(yōu)化算法。在D維搜索空間中，其所產(chǎn)生的點為由Pl、Pj和Pg3個點所形成的二次曲面的極小值點，使其具有局部探索能力的功能。本文將二次插值算子引入到粒子群算法中，為了引導(dǎo)個體歷史最優(yōu)位置的局部探索，始終選擇群體中的全局最優(yōu)位置。

學習因子c1和c2用于協(xié)調(diào)粒子群中粒子在迭代過程中粒子跟隨“自身經(jīng)驗”和“群體經(jīng)驗”的傾向。在基本PSO算法中，一般認為，粒子跟隨個體極值和全局極值的權(quán)重相同，忽略了粒子在各個搜索階段的重點的不同。粒子在搜索前期應(yīng)主要跟隨個體歷史極值的運動，在自己的周圍空間內(nèi)進行充分探索，保持自身的快速開發(fā)能力，并維持群體的多樣性和良好的全局搜索能力。在搜索后期應(yīng)主要跟隨種群歷史極值，集中搜索，加快收斂速度，保持全局的搜索精度。故本文采用分段調(diào)整加速因子的方法，當t＜Genmax/2時，c1=2，c2=1，粒子主要跟隨“自身經(jīng)驗”；當t≥Genmax/2時，c1=1，c2=2，粒子主要跟隨“群體經(jīng)驗”。其中，t為當前迭代次數(shù)，Genmax為最大迭代次數(shù)。c1、c2的具體取值以及分界代數(shù)Genmax/2均為定性確定的，在迭代前期，粒子跟隨個體極值的權(quán)重比較大；在迭代后期，粒子跟隨全局極值的權(quán)重比較大。

2.3 改進粒子群算法無功優(yōu)化步驟

改進粒子群算法無功優(yōu)化步驟如下。

步驟2根據(jù)式（17）和式（18）對粒子的個體歷史最優(yōu)位置Pi進行更新，并確定全局最優(yōu)位置Pg。

步驟3由迭代次數(shù)確定加速因子的值，根據(jù)式（13）和式（14）更新粒子的速度和位置。

步驟4根據(jù)更新后的粒子位置計算粒子的適應(yīng)度值，確定每個粒子的個體歷史最優(yōu)位置Pi以及種群的當前全局最優(yōu)位置Pg。

步驟5如果算法達到終止條件，則停止；否則，令t=t+1，轉(zhuǎn)至步驟2。

3 算例仿真

本文選擇IEEE30節(jié)點系統(tǒng)進行仿真分析，該系統(tǒng)共有6個發(fā)電機節(jié)點、22個負荷節(jié)點和41條支路。系統(tǒng)中發(fā)電機節(jié)點的編號為1、2、5、8、11、13；可調(diào)變壓器支路為6-9、6-10、4-12、27-28；發(fā)電機節(jié)點參數(shù)見表1；各節(jié)點電壓和變壓器變比上下限值見表2。由于可調(diào)變壓器變比為離散變量，粒子群算法是在連續(xù)的向量空間中求解，故在進行適應(yīng)度計算之前要將可調(diào)變壓器變比向量進行離散化，本文選擇其對應(yīng)距離最近的值。

表1 發(fā)電機節(jié)點參數(shù)Tab.1 Parameters of generator

表2 節(jié)點電壓和變壓器變比上下限Tab.2 Limitations ofbus voltages and transformer taps

將系統(tǒng)潮流雅可比矩陣進行奇異值分解，分解后可得最小奇異值對應(yīng)的右奇異向量指標從大到小的排序如表3所示。

表3 系統(tǒng)節(jié)點右奇異指標排序Tab.3 Ranking ofthe rightsingular vector index

由表3可知，節(jié)點26和節(jié)點30的右奇異指標值最大，應(yīng)選為無功補償點。為驗證方法的正確性，分別選擇系統(tǒng)原有補償節(jié)點10、節(jié)點24和節(jié)點26、節(jié)點30作為補償點，進行仿真驗證。仿真均采用本文所提出的算法。計算結(jié)果如表4所示。

表4 系統(tǒng)無功優(yōu)化對比結(jié)果Tab.4 Comparison ofreactive power optimization

由表4可以看出，方案2的有功網(wǎng)損比方案1的有功網(wǎng)損略高了0.005 9 MW，但其節(jié)點的無功補償量大大低于方案1中的節(jié)點無功補償量。說明本文方法候選的無功補償弱節(jié)點更有效。

為進一步證明改進的粒子群算法的有效性，本文就方案2選擇標準粒子群算法和本文算法進行比較；同時為說明改變學習因子的有效性，對c1、c2改進前后進行比較。分別進行20次仿真，結(jié)果如表5、表6所示，不同算法的系統(tǒng)網(wǎng)損收斂曲線如圖1、圖2所示。

表5 算法對比結(jié)果Tab.5 Comparison of different algorithms performan M c W e

表6 學習因子調(diào)整前后結(jié)果對比Tab.6 Comparision of different acceleration coefficient MW

圖1 不同算法系統(tǒng)網(wǎng)損收斂曲線Fig.1 Network losses convergence curves via different algorithms

圖2 改進學習因子前后系統(tǒng)網(wǎng)損收斂曲線Fig.2 Network losses convergence curves ofdifferentacceleration coefficient

由表5和圖1中可以看出，本文改進的粒子群優(yōu)化算法可以有效減少系統(tǒng)網(wǎng)損，并且具有更好的尋優(yōu)能力和快速收斂性；表6和圖2顯示了改進的學習因子對算法性能的提高。

傳統(tǒng)的無功優(yōu)化通常只針對無功優(yōu)化的2個子問題之一（無功補償點的選擇或者無功容量的確定）進行。無功補償點確定以后，缺乏對無功容量的優(yōu)化；或者對無功容量進行了優(yōu)化，卻沒有考慮無功補償點的影響，得到的優(yōu)化結(jié)果往往并非最優(yōu)。本文同時考慮無功補償點和無功補償容量兩個方面。從仿真結(jié)果可以看出，節(jié)點26和節(jié)點30為系統(tǒng)弱節(jié)點，以此為補償點可以大大減少節(jié)點的無功補償容量，而對系統(tǒng)網(wǎng)損的增加很小；同時引入二次插值的粒子群優(yōu)化算法比標準粒子群優(yōu)化算法收斂速度更快，尋優(yōu)能力更強。

4 結(jié)語

本文首先進行無功補償點的優(yōu)化，然后進行無功補償容量的優(yōu)化。基于奇異值分解理論，以最小奇異值右向量指標作為選擇標準，建立以有功網(wǎng)損最小為目標函數(shù)的無功優(yōu)化模型，改進粒子群優(yōu)化算法，并將二次插值算子引入優(yōu)化算法當中，隨機選取2個個體歷史最優(yōu)解與全局最優(yōu)解一起產(chǎn)生新的個體，增強了算法的局部收斂能力。在搜索前期和后期分別選擇不同的學習因子，提高了算法的搜索性能。算例仿真結(jié)果表明，該方法能夠有效減少無功補償量，改進的粒子群優(yōu)化算法提高了算法的尋優(yōu)能力和收斂速度，有效減少了系統(tǒng)的有功網(wǎng)損，提高了電壓質(zhì)量。

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Location Selection of Reactive Power Compensation and Compensation Capacity Optimization

ZHANG Zhiqiang1，MIAO Youzhong2，LIXiaorong2，ZHAO Weiwei2，TANG Xiaojun1，YUAN Rongxiang3
（1.China Electric Power Research Institute，Beijing 100192，China；2.State Grid JibeiElectric Research Institute，Beijing 100045，China；3.SchoolofElectricalEngineering，Wuhan University，Wuhan 430072，China）

Reactive power optimization is a complicated nonlinear combinatorialoptimization problem in power system. Based on singular value decomposition and improved particle swarm optimization，a novelmethod is proposed to optimizing reactive powerofthe powersystem.Initially，singularvalue decomposition is applied to the Jacobimatrix in the power flow calculation.The rightsingular vector index obtained by singular value decomposition is utilized to identify weak bus as candidate nodes for reactive power compensation.Then，taking minimum active power loss as objective function，a mathematicalmodelfor reactive power optimization is built up，and an improved particle swarm optimization thatintegrates quadratic interpolation is proposed to solve the builtmodel.The new algorithm overcomes the problems of premature convergence frequently in particle swarm optimization，and greatly boosts the searching efficiency and the convergence rate of PSO.Atlast，the simulation resulton IEEE30-bus system indicates thatthe method is feasible and effective.

singular value decomposition；quadratic interpolation；particle swarm optimization；reactive power optimization

TM744

A

1003-8930（2015）03-0092-06

10.3969/j.issn.1003-8930.2015.03.17

張志強（1978—），男，碩士，高級工程師，研究方向為電力系統(tǒng)分析與仿真。Email：zhangzhq@epri.sgcc.com.cn

2014-08-05；

2014-10-20

苗友忠（1976—），男，博士，高級工程師，研究方向為電力系統(tǒng)規(guī)劃技術(shù)。Email：miaoyouzhong@139.com

李笑蓉（1977—），女，碩士，高級工程師，研究方向為電力系統(tǒng)規(guī)劃技術(shù)。Email：lxr_xr@163.com