蔣孝國

題記

合抱之木，生于毫末；

九層之臺，起于壘土；

千里之行，始于足下。

——老子

解答一個數學問題，都有一個起始，并繼續(xù)，最終結束于簡單、合乎邏輯的步驟，只要有敏銳的目光，并以穩(wěn)健的步伐朝著明確的方向前進，那么千里之行就將不需要走千千萬萬步，那么如何開始，需要你的探索，“敢問路在何方，路在腳下”，又如何繼續(xù)，需要你堅持不懈，“路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索”，最后你需要將想法凝練、概括地表述出來。本文記述解決一道數學競賽試題的開始、繼續(xù)及完成過程，我們可感受到復雜、艱難的問題，通過不斷探索，可獲得優(yōu)美的解答。

一、“冰美人”出場

拿到本題，可能很多同學完全看不懂，或者不知道如何下手解決，該問題有一定難度，出題人的意思可能一時看不出來，這真是一位“冷美人——理性美”，欣賞起來，要費一番功夫。題目中指出{1，2，3，…，n}有2ⁿ個子集，同學們，你知道嗎？會證明嗎？我們先從有限集合子集的個數來開始這次“千里之行”吧。

二、從有限集的子集個數談起

我們從最簡單的情況開始考慮，找出其一般的規(guī)律。

方法一：從特殊到一般

上述方法采用的是從特殊到一般，從特殊開始，希望能找到一般性的“東西”，也就是將題日的本質“暴露”出來，利用一般的規(guī)律再將問題解決。希望同學們在做競賽題時，多從特殊性人手，試著找到自己的“解題道路”。

另外，我們也可以從元素的歸屬（是否在子集中）來考慮。

方法二：利用乘法原理

方法三：利用組合數

為加深對上述結論及過程的理解，“磨刀不誤砍柴工”，不急于去解救“冷美人”，先來試試手吧。例題后的變式，希望同學們能獨立給出解答，不要以為簡單，“萬丈高樓平地起”哦。

三、初試身手

解由題意知，集合P中必含有元素a，b，則P的個數就是集合{c，d，e}子集的個數，共8個。

四、搏擊長空

初試身手后，我們對有限集合的子集個數，以及推導過程有所掌握，我們希望在下面的解題中能用到結論或者推導方法，或者上面的推導能給我們一些啟示、一點想法。下面我們來搏擊長空，試著揭開“冰美人”的面紗，欣賞“冰美人”的嚴肅美。

至此，我們完全揭開“冰冷女王”的面紗，回味探究過程，總有一些東西讓我們激動不已，無法釋懷。

五、意猶未盡

同學們，如果你希望解題能力有所提高，你必須具備堅實的基礎，充分多的解題，及時總結解題經驗，切記“千里之行始于足下”，“不積跬步無以至千里”。數學的美是理性美，只有不停地思索才能欣賞其美，只有腳踏實地、永不言敗，你才能用智慧的火花溫暖“冰美人”的心，最終欣賞到“大美”。同學們，路就在腳下，邁開你的腳步吧！