邢晨++王潤(rùn)濤

摘要：本文介紹了慣性導(dǎo)航系統(tǒng)基本原理，分析了慣性導(dǎo)航與其他導(dǎo)航方式的不同之處。分別闡述了平臺(tái)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)與捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)原理，并分析了各自特點(diǎn)。之后推導(dǎo)了捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中姿態(tài)、速度與位置的計(jì)算公式，描述了捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)基本的數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)方法。

關(guān)鍵字：導(dǎo)航；捷聯(lián)慣導(dǎo)；四元數(shù)；姿態(tài)矩陣；

中圖分類(lèi)號(hào)：U463 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）06（b）-0000-00

1. 引言

導(dǎo)航就是通過(guò)一定的手段或措施指引運(yùn)載體從某位置出發(fā)，延預(yù)定航線(xiàn)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)到達(dá)目的地，其中最關(guān)鍵的就是實(shí)時(shí)的獲取載體的姿態(tài)、速度和位置等運(yùn)動(dòng)參數(shù)。測(cè)定載體運(yùn)動(dòng)參數(shù)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的方法有多種，例如光電碼盤(pán)測(cè)角度；測(cè)速電機(jī)測(cè)角速度；測(cè)速計(jì)測(cè)量相對(duì)速度；雷達(dá)、衛(wèi)星和天文定位等技術(shù)用來(lái)測(cè)量載體位置。但上述技術(shù)都不能單獨(dú)的測(cè)量出載體的速度，角速度等信息。另外，慣性導(dǎo)航技術(shù)的最大特點(diǎn)是完全自主，在使用過(guò)程中慣導(dǎo)器件不需要接收任何外部信息源提供的信息，也不需要對(duì)外發(fā)射任何信息，因而慣性導(dǎo)航的工作不受任何外界干擾。慣性導(dǎo)航的這個(gè)特點(diǎn)使慣導(dǎo)技術(shù)在高度安全性（戰(zhàn)爭(zhēng)）和強(qiáng)烈干擾（惡劣氣候、深海環(huán)境）的場(chǎng)合具有任何其他導(dǎo)航技術(shù)都無(wú)法替代的重要作用。

2. 捷聯(lián)慣導(dǎo)基本原理

慣性導(dǎo)航是建立在牛頓力學(xué)定律基礎(chǔ)上的，在運(yùn)載體內(nèi)用加速度計(jì)測(cè)量運(yùn)載體運(yùn)動(dòng)的加速度，對(duì)加速度進(jìn)行積分，獲得運(yùn)載體的速度和位置信息。圖1為慣性導(dǎo)航系統(tǒng)基本概念圖。

圖1

在慣導(dǎo)系統(tǒng)中放置一個(gè)穩(wěn)定的平臺(tái)，將加速度計(jì)等慣性測(cè)量器件安裝在其中，用該平臺(tái)模擬當(dāng)?shù)厮矫娼⒖臻g直角坐標(biāo)系，通常三個(gè)坐標(biāo)軸分別指向東向、北向、天向，坐標(biāo)系稱(chēng)為東北天坐標(biāo)系。在載體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，利用陀螺儀測(cè)量相對(duì)旋轉(zhuǎn)角度，控制平臺(tái)始終跟蹤當(dāng)?shù)厮矫?，三個(gè)軸始終指向東北天方向，在這三個(gè)軸上安裝三個(gè)加速度計(jì)即可測(cè)出運(yùn)載體沿東西方向的加速度、沿南北方向的加速度、沿天頂方向的加速度。由慣導(dǎo)基本方程算出運(yùn)載體在東北天三個(gè)方向上的速度和相對(duì)位置。

慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的另一種實(shí)現(xiàn)方式是捷聯(lián)式慣導(dǎo)系統(tǒng)，捷聯(lián)式慣導(dǎo)系統(tǒng)取消了固定平臺(tái)，系統(tǒng)中的慣性器件直接安裝在運(yùn)載體（如飛行器、陸地機(jī)動(dòng)車(chē)輛、水面艦船或水下潛艇）上，由數(shù)學(xué)算法取代了固定平臺(tái)，為實(shí)現(xiàn)與平臺(tái)上慣導(dǎo)系統(tǒng)相同的功能，導(dǎo)航計(jì)算機(jī)通過(guò)陀螺儀測(cè)量出的角速度與加速度計(jì)測(cè)量出的加速度計(jì)算出運(yùn)載體的角度、速度及相對(duì)位置。因此捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)不需要安裝復(fù)雜的高速回轉(zhuǎn)裝置，進(jìn)而節(jié)約了安裝步驟及成本。

捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中比力加速度矢量首先在一個(gè)“捷聯(lián)式傳感器坐標(biāo)系”下通過(guò)捷聯(lián)加速度計(jì)測(cè)量出來(lái)，然后使用導(dǎo)航計(jì)算機(jī)軟件將其轉(zhuǎn)換到慣性坐標(biāo)系，以便積分為載體的速度和位置。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)矢量轉(zhuǎn)換，導(dǎo)航計(jì)算機(jī)需要知道捷聯(lián)傳感器和慣性坐標(biāo)系之間的角度方位，這一信息的獲取通過(guò)軟件積分陀螺儀測(cè)量出來(lái)的角速度和導(dǎo)航系統(tǒng)軟件給出的慣性坐標(biāo)系角速度來(lái)實(shí)現(xiàn)。如圖二為捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)框圖。

圖二

3. 捷聯(lián)慣導(dǎo)算法

捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的導(dǎo)航解算主要包括三部分：利用陀螺儀輸出的角度計(jì)算姿態(tài)矩陣，同時(shí)通過(guò)姿態(tài)矩陣中的元素提取姿態(tài)信息（即姿態(tài)解算）；利用姿態(tài)矩陣將加速度計(jì)輸出的加速度變換到導(dǎo)航坐標(biāo)系下，通過(guò)計(jì)算得出速度信息（即速度解算）；利用得到的速度通過(guò)導(dǎo)航計(jì)算的出位置信息（即位置解算）

3.1姿態(tài)更新

捷聯(lián)慣導(dǎo)算法流程如圖三所示：

圖三

根據(jù)四元數(shù)的乘積鏈規(guī)則得四元數(shù)更新算法如下：

其中 表示 時(shí)刻機(jī)體坐標(biāo)系到 時(shí)刻當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系的四元數(shù)。 表示 時(shí)刻機(jī)體系到 時(shí)刻當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系下的四元數(shù)。 表示 時(shí)刻機(jī)體系到 時(shí)刻機(jī)體系的四元數(shù)。 表示 時(shí)刻到當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系到 時(shí)刻當(dāng)?shù)叵档淖藨B(tài)變化四元數(shù)。

根據(jù)式子 可完成姿態(tài)四元數(shù)到姿態(tài)矩陣的轉(zhuǎn)換。

3.2速度更新

通常捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中計(jì)算的速度是載體相對(duì)于地心坐標(biāo)系的速度。由與速度微分方程在導(dǎo)航坐標(biāo)系表示為 。其中 表示載體對(duì)于地球的速度在導(dǎo)航坐標(biāo)系中的投影， 表示比力加速度， 表示載體所在位置的重力加速度在導(dǎo)航坐標(biāo)系的投影， 表示平移角速度， 表示地球自轉(zhuǎn)角速率。

在速度的一個(gè)更新周期內(nèi)，對(duì)上式進(jìn)行積分可得當(dāng)前時(shí)刻載體在導(dǎo)航坐標(biāo)系下的速度 。

3.3位置更新

由于慣性器件的測(cè)量結(jié)果輸出是增量式的，所以速度和姿態(tài)只在其更新時(shí)間點(diǎn)上是有效的，所以位置解也只能是根據(jù)離散的速度、角速度、加速度求取。

導(dǎo)航坐標(biāo)系選為地理坐標(biāo)系后，相應(yīng)的位置速率為

其中 、 、 分別為載體在東、北、天方向的速度分量； 、 分別為載體所在子午圈和卯酉圈曲率半徑； 、 為載體所在緯度和高度。

設(shè)位置跟新周期內(nèi)位置速率 足夠小，即此時(shí)間段內(nèi)載體速率近似不變，所以上一時(shí)刻至此時(shí)刻坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)矢量為 。若得 則

又因?yàn)?時(shí)刻位置矩陣可由 得，式中 為上一時(shí)刻位置矩陣。可求得此時(shí)刻載體位置矩陣。由位置矩陣與載體所在經(jīng)緯度關(guān)系即可得在地球上的相對(duì)位置。

4. 小結(jié)

本文分析介紹了捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的基本原理，并推導(dǎo)了捷聯(lián)慣導(dǎo)中姿態(tài)更新、速度更新、位置更新的計(jì)算步驟。但是導(dǎo)航系統(tǒng)的導(dǎo)航參數(shù)在實(shí)時(shí)更新過(guò)程中存在著不可避免的誤差，對(duì)于姿態(tài)計(jì)算的圓錐誤差，對(duì)于速度計(jì)算的劃船誤差，對(duì)于位置計(jì)算的渦卷誤差，如何避免這些誤差，從中提出真實(shí)數(shù)據(jù)才是導(dǎo)航算法研究的重點(diǎn)。本文只是明確捷聯(lián)慣導(dǎo)的基本計(jì)算流程，為誤差分析做好鋪墊。

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