甘志國(guó)

庫(kù)珀教授的數(shù)學(xué)課

一天，美國(guó)斯坦福大學(xué)商學(xué)院的數(shù)學(xué)教授庫(kù)珀讓同學(xué)們把自己的生日寫(xiě)在小紙片上，然后把所有的小紙片都折起來(lái)放在講臺(tái)上。他拿出一張5美元的鈔票放在講臺(tái)上，問(wèn)：“我用5美元打賭，你們中至少有兩個(gè)人同月同日生.有人敢跟我賭嗎？”

“我賭！”三個(gè)男同學(xué)同時(shí)舉起手來(lái).另外還有七八個(gè)同學(xué)也各掏出 5美元放在桌子上。

有的同學(xué)暗想：一年有365天，我們班只有50個(gè)同學(xué)，在同一天過(guò)生日的可能性也太小了，教授這不是白送別人錢(qián)嗎？

教授打開(kāi)第一張紙，讀出上面寫(xiě)的日期，馬上就有三個(gè)同學(xué)舉起手來(lái)表示那是他們的生日。打賭的同學(xué)嘟囔了幾句：“怎么會(huì)這么巧？”周?chē)耐瑢W(xué)都大笑起來(lái)。

接著，教授用他那明晰的語(yǔ)言把同學(xué)們帶入了數(shù)學(xué)的王國(guó)：

“解決這個(gè)問(wèn)題最好用反證法，即證明50個(gè)人中沒(méi)有兩個(gè)人在同一天過(guò)生日的概率非常小。

“為了簡(jiǎn)便，我們可以假設(shè)一年為365天（即不考慮閏年的情形）。把365天看成365間房，現(xiàn)在要給50個(gè)人按照生日安排住房，必須保證沒(méi)有兩個(gè)人住在同一間房（即沒(méi)有兩人的生日在同一天）。對(duì)于第一個(gè)人來(lái)說(shuō)，他正確選擇房間的概率是365/365，因?yàn)樗械姆块g都是空的，他都可以入?。坏谝粋€(gè)人入住后，第二個(gè)人正確選擇房間的概率是364/365，因?yàn)橛幸婚g房已經(jīng)住了人，他只能住另外的364間中的一間；接下來(lái)的第三個(gè)人，正確選擇房間的概率就更小一些，是363/365，因?yàn)橹皇Ｏ?63間房可以住。

說(shuō)完，教授扔下粉筆，得意洋洋地收繳他的戰(zhàn)利品——十幾張5美元的鈔票。

“各位，你們來(lái)商學(xué)院就是為了將來(lái)能夠賺大錢(qián)，概率就是商學(xué)院傳授給你們的一個(gè)制勝法寶。”

同學(xué)們哈哈大笑，這堂課的效果好極了。庫(kù)珀教授下課后，用贏來(lái)的錢(qián)請(qǐng)全班同學(xué)吃了頓快餐。

注1.讀者還可算出，在n（n=1，2，…，365）個(gè)人中至少有兩人在同一天過(guò)生日的概

3.我們?cè)谖鋫b言情小說(shuō)中經(jīng)常見(jiàn)到“兩人生日恰好相同，真是有緣……最終結(jié)為金蘭之好”這樣的描寫(xiě)，其中的“生日相同”應(yīng)不足為奇，“結(jié)為金蘭”的美好結(jié)局也是概率幫的忙。

能打開(kāi)所有門(mén)的鑰匙

我的一個(gè)朋友在一所大學(xué)里當(dāng)宿舍管理員，有一次聊天，她告訴我一件有趣的事情。

她管理的那個(gè)樓住著一群男生，每個(gè)宿舍四個(gè)人，每個(gè)人有一把該宿舍的鑰匙。這些學(xué)生很愛(ài)睡懶覺(jué)，總愛(ài)拖到快上課了才匆匆忙忙地起來(lái)刷牙洗臉，然后直奔教室。等到下課回來(lái)，一摸口袋，壞了，鑰匙忘在宿舍里了，于是只能等其他同學(xué)回來(lái)開(kāi)門(mén)：四個(gè)人中總有一兩個(gè)人帶著鑰匙?？煽傆心敲磶状危膫€(gè)人全忘了帶鑰匙，于是全被堵在宿舍外了.沒(méi)辦法，只能來(lái)找宿舍管理員，也就是我的朋友，她保管著整個(gè)樓所有宿舍的備份鑰匙。

次數(shù)多了，朋友便覺(jué)得麻煩。她定了個(gè)規(guī)矩，每個(gè)宿舍每學(xué)期來(lái)找她要鑰匙的次數(shù)不得超過(guò)三次，超過(guò)三次者，自己找工具把鎖撬開(kāi)，然后再掏錢(qián)買(mǎi)把新的。

期末的時(shí)候，朋友把所有宿舍的情況做了一次統(tǒng)計(jì)，她發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：5樓幾個(gè)連在一起的宿舍，501到506，居然一次也沒(méi)來(lái)麻煩她開(kāi)過(guò)門(mén)！一次記錄也沒(méi)有的宿舍不是沒(méi)有，可現(xiàn)在有六個(gè)宿舍，而且還是連在一起的。這引起了朋友的興趣。

為了解開(kāi)心里的疑團(tuán)，朋友特地敲開(kāi)了504的門(mén)，終于知道了他們的秘密。原來(lái)，他們每個(gè)宿舍都另外配了一把開(kāi)自己宿舍門(mén)的新鑰匙，存放到下一個(gè)宿舍中，這么說(shuō)吧，把六個(gè)宿舍和六把鑰匙分別編上號(hào)，他們的辦法就是：把鑰匙一存放到宿舍二，把鑰匙二存放到宿舍三，依此類(lèi)推，最后把鑰匙六存放到宿舍一。這么一來(lái)，二十四個(gè)人中只要有一個(gè)人帶了鑰匙，那所有人都不會(huì)被堵在宿舍外：因?yàn)橹灰幸话谚€匙，就能先打開(kāi)一道門(mén)，然后取得第二把鑰匙打開(kāi)第二道門(mén)，就這樣，一直到打開(kāi)所有的門(mén)。

聽(tīng)到這里，我忍不住拿出筆來(lái)算了一下，假設(shè)每個(gè)學(xué)生忘記帶鑰匙的幾率是50%（實(shí)際上應(yīng)該小于這個(gè)數(shù)字），那么會(huì)不會(huì)出現(xiàn)二十四個(gè)學(xué)生都不帶鑰匙的情況呢？理論上是可能的，由概率論可以算出，這個(gè)幾率應(yīng)該是1/16777216——幾近于零！

我不禁佩服起這一群聰明的小伙子來(lái)。他們互相信任，彼此合作，一盤(pán)散沙，各自為戰(zhàn)時(shí)，每個(gè)人都有手忙腳亂的時(shí)候；而只有并肩站到一起，共同面對(duì)問(wèn)題，才能挖掘出最大的潛能，這時(shí)候，問(wèn)題往往變得不堪一擊，因?yàn)檫@時(shí)候，每個(gè)人手里都多了一把鑰匙，一把能打開(kāi)所有門(mén)的鑰匙。

閱讀完上面的文字后，我們還可解答下面的三個(gè)小問(wèn)題（假設(shè)每個(gè)學(xué)生忘記帶鑰匙的概率是50%）：

（1）同一宿舍的四個(gè)人都忘記帶鑰匙的概率是多少？

（2）同一宿舍的四個(gè)人都忘記帶鑰匙達(dá)到四次（自己找工具把鎖撬開(kāi)，然后再掏錢(qián)買(mǎi)把新的）的概率是多少？

（3）采取上文中的防范措施后，同一宿舍的四個(gè)人都忘記帶鑰匙達(dá)到四次（自己找工具把鎖撬開(kāi)，然后再掏錢(qián)買(mǎi)把新的鑰匙）的概率是多少？

概率幫了盟軍

1943年，正值第二次世界大戰(zhàn).在此之前，在大西洋上的英、美運(yùn)輸船隊(duì)常常受到德國(guó)潛艇的襲擊.當(dāng)時(shí)，英、美兩國(guó)限于實(shí)力，無(wú)力增派更多的護(hù)航艦，一時(shí)間，德軍的“潛艇戰(zhàn)”搞得盟軍焦頭爛額。為此，有位美國(guó)海軍將領(lǐng)專(zhuān)門(mén)去請(qǐng)教了幾位數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)家們運(yùn)用概率論分析后發(fā)現(xiàn)，艦隊(duì)與德軍潛艇相遇是一個(gè)隨機(jī)事件。按數(shù)學(xué)角度來(lái)看這一問(wèn)題，有一定的規(guī)律，一定數(shù)量的船只（如100艘）編隊(duì)規(guī)模越小，編次就越多（如每次20艘，就要有5個(gè)編次）；編次越多，與敵人相遇的概率就越大。美國(guó)海軍接受了數(shù)學(xué)家的建議，命令船隊(duì)在指定海域集合，再集體通過(guò)危險(xiǎn)海域，然后各自駛向自己預(yù)定的港口，結(jié)果奇跡出現(xiàn)了：盟軍艦隊(duì)遭襲被擊沉的概率由原來(lái)的25%降低為1%，大大減少了損失，保證了物資的及時(shí)供應(yīng)。