涂 泓 朱炯明

（上海師范大學數(shù)理學院，上海 200234）

在討論與桿相關的問題時，常常容易遺漏一個“隱蔽”的力矩.這個力矩不易發(fā)現(xiàn)，卻是普遍存在、不能忽略的.正是由于這個力矩所具有的特點，我們很可能會由于忽略了這個力矩，從而得出錯誤的、乃至極不合理的結論，卻還沒有發(fā)現(xiàn).其實，通過仔細的受力分析，還是不難從一些簡單的模型中找出這個“隱蔽”的力矩，并且在此基礎上研究這個力矩的物理意義，以及它與哪些物理因素有關.

1 橫梁中的“隱蔽”力矩

圖1

因此橫梁所受合力為0.

2 “隱蔽”力矩的來源

橫梁的右半段除了受到重力和支持力以外，只可能受到來自左半段橫梁的力，因此這就是那個“隱蔽”力矩的唯一來源.左半段橫梁對右半段橫梁所施加的力發(fā)生在中間O點處的橫截面上，可以將其分解為沿截面方向的橫向力T和沿橫梁方向的縱向力N，分別加以分析.

2.1 橫向力T

根據牛頓第三定律，橫截面兩側的橫向力T必定大小相等、方向相反.而橫梁兩側的情況完全相同，若橫截面右側有一個豎直向上的橫向力T提供平衡力矩，那么橫截面左側的橫向力必豎直向下，從而使左半段橫梁的力矩更不平衡而發(fā)生順時針旋轉.這就意味著橫截面兩側的橫向力T必定都為0.

2.2 縱向力N

既然右半段橫梁在O點處的橫向力T為0，那么與重力和支持力的合力矩相平衡的“隱蔽”力矩就只能由縱向力N提供.但是如果以為縱向力N通過轉動軸，所以力臂為0，從而力矩也為0，因此也不能提供所需的平衡力矩，那就錯了.

實際情況是，當橫梁被擱置在兩個支架上時，會在重力的作用下略向下彎曲.圖2中顯示了橫梁中間一段的情況，靠近上邊緣一側發(fā)生壓縮形變，而靠近下邊緣一側發(fā)生拉伸形變，中性層（圖2中用虛線表示）則既不拉伸也不壓縮，只是發(fā)生形狀彎曲.

圖2 橫梁在重力作用下發(fā)生形變

3 “隱蔽”力矩的計算

為了避免不必要的繁復計算，不妨假設橫梁的橫截面為一矩形，其厚度和高度分別為a和b，并設立坐標系，如圖3所示.

圖3 橫截面右側部分橫梁受力情況

設距離中性層z處寬度為dz的狹條（圖3中陰影部分）材料的應變?yōu)棣?，產生的應力為σ.在發(fā)生形變前，dz層與中性層長度相等.形變后的狀況如圖4所示，假設中間層的曲率半徑為R，則dz層的應變?yōu)?/p>

根據胡克定律，在彈性限度內，物體由于形變而產生的應力與其應變成正比，即

其中的系數(shù)E為材料的彈性模量.那么dz層橫截面上的應力對右端支點的力矩為

圖4 橫截面應變計算示意圖

整個橫截面上的總力偶矩大小相當于自上而下各狹條受到的力矩之和，即

4 “隱蔽”力矩如何使橫梁保持平衡

由（1）式可知，沿橫梁方向的縱向力所提供的“隱蔽”力偶矩的大小取決于橫梁材料的彈性模量E、橫梁的厚度a和高度b，以及橫梁的彎曲程度（曲率半徑R）.但不管橫梁是用什么材料制作的，不管橫梁的厚度和高度如何，也不管半段橫梁對支點的重力矩有多大，這個“隱蔽”的力偶矩總能使右半段橫梁保持力矩平衡.其中的奧秘就在于橫梁的彎曲程度的“調節(jié)功能”.常識告訴我們，對于一根材料彈性模量、厚度和高度都確定的橫梁，如果橫梁比較重，重力矩就比較大，這時候，橫梁會彎曲得比較厲害，或者說曲率半徑R比較小，于是力偶矩就會比較大，大到恰好與重力矩平衡.同樣，在重量相同的情況下，如果材料比較“軟”（彈性模量E比較?。蛘弑容^細（厚度a和高度b比較?。绕涫歉叨缺容^小，（1）式中表現(xiàn)為b3，橫梁也一定會彎曲得比較厲害，曲率半徑比較小，使力偶矩保持不變，能與重力矩平衡.

值得指出的是，如果研究的是一根理想化的均勻細桿，橫截面的面積趨于0，是不是那個“隱蔽”力矩就會不存在呢？顯然，答案是否定的.從（1）式不難看出，當a，b趨于無窮小時，只要彈性模量E趨于無窮大，力偶矩的大小還是一個確定的量，恰好與重力矩平衡.由此可見，細桿作為一個理想模型，除了要求無窮細，不會彎曲以外，還必須是無窮“硬”的，即它的彈性模量也一定是無窮大的.

5 轉動細桿的“隱蔽”力矩

圖5

為了說明以上分析中所指出的縱向力產生的力矩是普遍存在的，再給出另一個稍復雜些的例子.2013年第30屆全國中學生物理競賽復賽試卷中的第3題所給的模型為：一質量為m、長為L的勻質細桿，可繞過其一端的光滑水平軸O在豎直平面內自由轉動，桿在水平狀態(tài)由靜止開始下擺（圖5）.

由此題第1、2小題的答案得出，細桿在下擺過程中的動能可表示為

題目的第3小題要求桿擺至與水平方向成θ角時，在桿上距O點為r處的橫截面兩側部分的相互作用力.這一小題用質心運動定理和角動量定理來求解，得到的答案是不同的.

解法1：用質心運動定理解答.

以細桿與地球為系統(tǒng)，下擺過程中機械能守恒，當桿擺至與水平方向成θ角時，動能為

由（2）、（3）式得

以在桿上距O點為r處的橫截面外側長為L-r的那一段細桿為研究對象，該段細桿質量為λ（L－r），其質心速度為

設另一段細桿對該段細桿的橫向（即垂直桿方向）力為T（以θ增大的方向為正方向），縱向（即沿桿方向）力為N（以指向O點方向為正向），由質心運動定理得

式中aτ為質心的橫向加速度，大小為

而an為質心的縱向加速度，大小為

由（5）～（8）式解得

解法2：用角動量定理解答.

以橫截面外側長為L＋r的一段細桿為研究對象，以上方轉動軸O為參考點，此時細桿的轉動慣量為

根據角動量定理有

可得

根據（4）式可知

代入（11）式可解得

將（9）式和（13）式相比較可知，兩種方法給出的橫向力是不同的.結合上文對橫梁的分析不難理解，造成這種差異的原因在于，在角動量定理解答的力矩分析過程中，遺漏了細桿中縱向力的“隱蔽”力矩.

為了說明這個縱向力的力矩，先分析一下應力在桿的橫截面上的分布情況.題中所求在桿上距O點為r處的橫截面外側長為L－r那一段受力情況如圖6所示，將此橫截面合理簡化為一個矩形.由于桿在重力和轉軸O處的支持力的共同作用下產生形變，截面上各處的縱向應力大小是不同的，靠近上邊緣的縱向應力較大，向下逐漸減小，并且其大小變化是線性的.

截面中心處的縱向應力為

圖6 細桿橫截面受力情況示意圖

這里σ0就是桿所受縱向合力N在整個橫截面上的平均力密度，截面其余點處的縱向應力為

其中k為應力在桿橫截面上的線性分布系數(shù)，相當于應力沿桿橫截面的分布梯度.可見σ－σ0在中心線兩側大小相等、方向相反，因此縱向力可以等效看成是由一個均勻分布的力N和一對力偶構成，這對力偶是由于桿的形變引起的，它不改變縱向合力的大小，但會產生力矩

而這個力矩的遺漏就導致了用角動量定理計算的橫向力（見（13）式）不正確，因此（13）式與用質心定理計算得到的T的正確值［見（9）式］之間的差值ΔT的力矩為

就應該等于（14）式給出的力偶矩，即

（11）式的角動量定理方程，正是缺失了這個力偶矩，從而導致計算出的T不正確.由圖6不難看出，這個力偶矩的作用是逆時針的，因此（11）式的正確寫法應該是

由（15）式第一個等號可見，桿中的力偶矩M的大小與兩個變量θ和r有關.也就是說，當桿擺動到各種不同角度時，桿上某處的縱向力力矩的大小是不同的；而當桿擺到某一角度時，桿上各不同位置處的縱向力力矩也是不同的.根據（15）式，可以畫出桿中的力偶矩隨θ和r變化的圖像，分別如圖7（a）和（b）所示.圖7（a）是在桿上r＝0.3L處的力偶矩隨θ的變化情況；圖7（b）是當桿擺到θ＝60°處時的力偶矩隨r的分布情況.

圖7

（2）M是r的3次函數(shù)，因此變化情況比較復雜.當桿擺動到某一角度θ時，在桿的兩個端點r＝0和r＝L處力偶矩都等于0，這就意味著在桿上某處必定存在著極值.將（15）式第1個等式對r求導并令其等于0，可得

由本文的分析可見，在研究力矩問題時，由于物體形變而產生的應力力矩是普遍存在的.但是這個力矩比較隱蔽，在計算過程中常常會被遺漏，結果就會造成不易發(fā)現(xiàn)的錯誤.而在使用力學問題中常見的細桿模型時，尤其要注意這個問題，不管桿有多細，這個“隱蔽”的力矩都是客觀存在的.

1 漆安慎，杜嬋英.力學［M］.北京：高等教育出版社，2005：272－274.

2 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程力學［M］.北京：高等教育出版社，2008.

3 賈玉磊，賈瑞皋.剛體角動量的定義和定義狀態(tài)量的原則［J］.物理與工程，2008，18（5）：13－16.