楊 偉，孫利民

（同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092）

自20世紀(jì)后期以來，人們對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的安全性、耐久性以及正常使用功能日益重視.為了保證橋梁結(jié)構(gòu)在幾十年、甚至上百年的服役期內(nèi)能夠安全、可靠地運(yùn)營(yíng)，越來越多的橋梁健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)被安裝在已建或新建的橋梁上.橋梁健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的主要功能是通過獲取的激勵(lì)和響應(yīng)信號(hào)，對(duì)結(jié)構(gòu)健康狀況做出診斷和評(píng)估并對(duì)結(jié)構(gòu)的異常反應(yīng)做出預(yù)警，為橋梁的管理養(yǎng)護(hù)決策提供支持[1].近年來，雖然結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)技術(shù)的研究與應(yīng)用正變得逐步成熟，但是目前已建成的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)仍有許多不足之處.由于現(xiàn)有的監(jiān)測(cè)技術(shù)和經(jīng)費(fèi)的限制，要監(jiān)測(cè)與結(jié)構(gòu)性能退化及結(jié)構(gòu)安全性相關(guān)的所有重要部位往往是不可能的.如果監(jiān)測(cè)部位和傳感器布置位置沒有經(jīng)過慎重的選擇，獲取到的信息就不能有效地反映結(jié)構(gòu)的健康狀況.因此，如何以有限的測(cè)點(diǎn)盡量多地獲取與結(jié)構(gòu)性能退化及安全性相關(guān)的信息是健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)研究中的一個(gè)難點(diǎn).

傳感器布置問題在航空航天、機(jī)械、土木以及交通等領(lǐng)域得到廣泛研究，成果十分豐富.其中，以基于Fisher信息矩陣的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)誤差最小為原則進(jìn)行傳感器布置是最為常用的布置方法之一[2－4]，另外，Guyan模型縮減法[5－6]以及基于模態(tài)應(yīng)變能的方法[7]也是常用的傳感器布置方法.以上方法均是以增加系統(tǒng)可觀性或系統(tǒng)可控性為目標(biāo)進(jìn)行傳感器布置，通過這些測(cè)點(diǎn)獲取的結(jié)構(gòu)信息不能很好地反映結(jié)構(gòu)的損傷狀況，因此，一些學(xué)者[8－10]提出了以結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別為目的的傳感器優(yōu)化布置方法.他們希望找到一組測(cè)點(diǎn)，在使用這些測(cè)點(diǎn)輸出的測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行損傷識(shí)別時(shí)，識(shí)別誤差最小.然而，試圖用有限的監(jiān)測(cè)資源提高所有構(gòu)件的損傷識(shí)別精度往往是不明智的，并不是所有構(gòu)件的損傷都會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)性能造成嚴(yán)重的影響并且最終導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效.本文主要研究如何將有限的監(jiān)測(cè)資源配置在更合理的位置，使獲取到的結(jié)構(gòu)信息能最有效地反映結(jié)構(gòu)性能受損傷的影響.

在對(duì)傳感器的布置位置進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，考慮到結(jié)構(gòu)對(duì)不同損傷場(chǎng)景的易損性是不相同的，在對(duì)結(jié)構(gòu)各損傷場(chǎng)景的易損性作定量分析后[11－12]，定義了一個(gè)基于易損性指數(shù)的結(jié)構(gòu)失效指標(biāo).在Kammer[2]和Shi等[9]的研究基礎(chǔ)上，利用該評(píng)價(jià)指標(biāo)，提出了一種以監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)易損場(chǎng)景為目的的傳感器優(yōu)化布置方法.最后以一個(gè)平面桁架結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，利用該方法對(duì)其進(jìn)行傳感器布置，并且與兩種傳統(tǒng)方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了本文方法的可行性及有效性.

1 傳感器優(yōu)化布置方法的理論基礎(chǔ)

1.1 基于結(jié)構(gòu)易損性分析的失效指標(biāo)

對(duì)于一個(gè)結(jié)構(gòu)，如果微小的損傷造成了不成比例的破壞后果，則稱此結(jié)構(gòu)是易損的[11].為了清楚說明結(jié)構(gòu)易損性的量化評(píng)價(jià)方法，首先引入如下基本概念：損傷場(chǎng)景D，指結(jié)構(gòu)在一個(gè)破壞事件中發(fā)生損傷的構(gòu)件集合；易損場(chǎng)景V，指易損性較高的損傷場(chǎng)景，若一個(gè)損傷場(chǎng)景是易損場(chǎng)景，用符號(hào)D∈V表示；結(jié)構(gòu)失效，指損傷造成結(jié)構(gòu)性能下降至結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)性能需求值之下的結(jié)構(gòu)狀態(tài).

結(jié)構(gòu)損傷可以用受損傷的單元?jiǎng)偠染仃嚦艘該p傷系數(shù)α來表示.αi∈ [0，1]代表i號(hào)單元的損傷系數(shù)，0表示無(wú)損傷，1表示單元?jiǎng)偠韧嘶癁榱?，單元完全失效；αDi稱為損傷場(chǎng)景Di的損傷系數(shù)，為了便于易損性的定量計(jì)算，假設(shè)損傷場(chǎng)景所包含的所有單元的損傷系數(shù)都為αDi.用表示損傷場(chǎng)景的容許損傷系數(shù)，P表示結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)性能表示結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)性能需求值，則損傷場(chǎng)景Di的容許損傷系數(shù)可表示為

在給定的下，結(jié)構(gòu)容許損傷系數(shù)αˉ將會(huì)隨著不同的損傷場(chǎng)景而變化.當(dāng)αˉ＝1時(shí)，該損傷場(chǎng)景不會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效；當(dāng)＜1時(shí)，表示該損傷場(chǎng)景發(fā)生后，隨著損傷程度的加深，結(jié)構(gòu)性能將逐漸下降至性能需求值以下，結(jié)構(gòu)體系最終將失效.

易損性指數(shù)I是用來定量衡量結(jié)構(gòu)易損程度的指標(biāo)，它表示結(jié)構(gòu)的破壞后果與破壞需求之比[13].結(jié)構(gòu)破壞后果指損傷場(chǎng)景發(fā)生所造成的結(jié)構(gòu)性能下降；破壞需求是使結(jié)構(gòu)損傷發(fā)生所需作用的測(cè)度，可以用受損構(gòu)件的彈性模量折減來表示.從該定義可以看出，易損性指數(shù)越高，結(jié)構(gòu)破壞后果與初始損傷越不成比例，結(jié)構(gòu)越易損.由于易損場(chǎng)景是易損性較高的損傷場(chǎng)景，本文將可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效的損傷場(chǎng)景稱為易損場(chǎng)景，即＜1的損傷場(chǎng)景為易損場(chǎng)景.損傷場(chǎng)景Di的易損性指數(shù)可表示為

式中：αDi為損傷場(chǎng)景Di的損傷系數(shù)；EDi為損傷場(chǎng)景包含的構(gòu)件彈性模量之和；αDiEDi為損傷造成的彈性模量折減，用來表示破壞需求；ΔP為損傷造成結(jié)構(gòu)性能的下降值，用來表示結(jié)構(gòu)破壞后果.對(duì)于所有的易損場(chǎng)景，若損傷系數(shù)為容許損傷系數(shù)Di，則結(jié)構(gòu)性能的下降值都為ΔP＝P－.因此可使用相對(duì)易損性指數(shù)IV＝1／DiEDi）作為判斷易損場(chǎng)景易損性大小的指標(biāo).

借助損傷場(chǎng)景的易損性指數(shù)以及損傷系數(shù)的概念，定義一個(gè)判斷損傷場(chǎng)景D發(fā)生后，結(jié)構(gòu)是否失效的評(píng)價(jià)指標(biāo)S.

式中：向量V＝（V1，V2，…，VN）T包含該結(jié)構(gòu)所有可能出現(xiàn)的易損場(chǎng)景.

結(jié)構(gòu)失效指標(biāo)S∈ [0，＋∞）是一個(gè)量綱為一的常數(shù)，當(dāng)S＝0時(shí)，表示該損傷場(chǎng)景不會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效；當(dāng)0＜S＜1時(shí)，表示結(jié)構(gòu)還未失效，但損傷系數(shù)αD繼續(xù)增大將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效；當(dāng)S≥1時(shí)，表示該結(jié)構(gòu)已經(jīng)失效.該指標(biāo)與結(jié)構(gòu)安全性密切相關(guān)，健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)可以根據(jù)該指標(biāo)對(duì)受損結(jié)構(gòu)的失效狀態(tài)作出有效評(píng)估并根據(jù)評(píng)估結(jié)果及時(shí)作出預(yù)警.

1.2 傳感器優(yōu)化布置模型

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)獲取到的模態(tài)參數(shù)往往具有不確定性，這種不確定性通常來源于有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)的誤差、監(jiān)測(cè)環(huán)境的不確定性以及監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中的噪聲輸入這三方面.對(duì)模態(tài)參數(shù)不確定性的研究表明[14]，模態(tài)參數(shù)的概率分布可以很好地近似為高斯分布模型.由于健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)根據(jù)模態(tài)參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行識(shí)別，模態(tài)參數(shù)的不確定性將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效指標(biāo)S的計(jì)算值與真實(shí)值之間存在誤差，影響健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)安全狀況評(píng)估的可靠性.因此，本文希望通過傳感器的優(yōu)化布置，在模態(tài)參數(shù)不確定性無(wú)法避免的情況下，盡量減小結(jié)構(gòu)失效指標(biāo)S的估計(jì)誤差，提高對(duì)結(jié)構(gòu)健康狀況評(píng)估的可靠性.

對(duì)于一個(gè)n自由度的受損結(jié)構(gòu)，假設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼可以忽略并且損傷只引起結(jié)構(gòu)的剛度變化，而不影響結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布.結(jié)構(gòu)的測(cè)試模態(tài)振型向量為｛｝∈Rkn×1，k為模態(tài)階數(shù)，A為結(jié)構(gòu)體系的損傷系數(shù)，?。剑?，α2，…，αL｝T，其中，L為可能會(huì)發(fā)生損傷的單元總數(shù).它們之間的函數(shù)關(guān)系可以簡(jiǎn)單表示為

如果考慮模態(tài)參數(shù)的不確定性，則式（4）變?yōu)?/p>

式中：｛e｝表示獲取到的測(cè)試模態(tài)振型與真實(shí)模態(tài)振型之間的誤差，服從均值為0，方差為σ2的高斯分布，并且假設(shè)各自由度的誤差相互獨(dú)立.

測(cè)試模態(tài)振型向量與結(jié)構(gòu)損傷系數(shù)之間是復(fù)雜的非線性關(guān)系，無(wú)法直接對(duì)損傷系數(shù)進(jìn)行求解.在實(shí)際損傷識(shí)別過程中，通常先將式（5）展開為泰勒級(jí)數(shù)表示的線性關(guān)系式，再迭代求解出損傷系數(shù).式（5）可以線性近似表示為

當(dāng)用測(cè)試模態(tài)振型向量對(duì)結(jié)構(gòu)損傷系數(shù)Α做無(wú)偏估計(jì)時(shí)，其估計(jì)量的協(xié)方差矩陣滿足以下不等式：

方差達(dá)到Cramer－Rao下界的無(wú)偏估計(jì)稱為有效無(wú)偏估計(jì)，已知最小二乘估計(jì)LS是一種有效無(wú)偏估計(jì)[16].因此Α的最小二乘估計(jì)量的協(xié)方差矩陣等于Cramer－Rao下界.Α的最小二乘估計(jì)量為

式中：Q－1∈RL×L，其對(duì)角線上每一個(gè)元素Q－1（i，i）分別為L(zhǎng)S中每一個(gè)元素LS（i）的方差.

由線性參數(shù)估計(jì)理論[16]可知，最小二乘估計(jì)量LS是測(cè)試模態(tài)振型向量｛｝的線性組合，在｛e｝服從高斯分布的假設(shè)下，｛｝服從高斯分布，則LS也服從高斯分布，因此

假設(shè)某一易損場(chǎng)景包含M個(gè)受損構(gòu)件，并且所有受損構(gòu)件的損傷系數(shù)都為αV，則該易損場(chǎng)景結(jié)構(gòu)損傷系數(shù)的估計(jì)值可表示為

將公式（11）帶入公式（3），得到某一易損場(chǎng)景發(fā)生后結(jié)構(gòu)失效指標(biāo)S的估計(jì)值為

由于為L(zhǎng)S的線性組合，因此也服從高斯分布，并且由公式（10）中LS（i）的分布可以推導(dǎo)得到S＾的分布為

式中：j，k為易損場(chǎng)景V 所包含構(gòu)件的編號(hào)，j，k∈V.

為了減小模態(tài)參數(shù)的不確定性對(duì)結(jié)構(gòu)失效指標(biāo)S計(jì)算精度的影響，需減小估計(jì)值的方差D（）.考慮所有可能發(fā)生的N個(gè)易損場(chǎng)景，需使方差和盡量減小.因此，本文傳感器優(yōu)化布置的本質(zhì)是如何對(duì)模態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行選取，使方差和最小.

對(duì)于一個(gè)n自由度的結(jié)構(gòu)，假設(shè)只可以在其中m個(gè)位置布設(shè)傳感器，則對(duì)每一階模態(tài)振型，這個(gè)選擇的過程可以表達(dá)為

式中：C∈Rm×n是一個(gè)上三角的自由度選擇矩陣，每一行只有一個(gè)元素不為0，且等于1，這個(gè)等于1的元素所在的列數(shù)即為選擇出來的自由度，并且C中每一行等于1的元素所在的列數(shù)要大于前一行中這個(gè)元素所在的列數(shù).將公式（14）帶入公式（9），LS的協(xié)方差矩陣在自由度經(jīng)過篩選后變?yōu)?/p>

式中：Z＝CTC，是一個(gè)n階的對(duì)角陣，對(duì)角線上只有被選中的自由度所對(duì)應(yīng)的元素為1，其余都等于0.并且，對(duì)角線上所有元素之和為布置的傳感器數(shù)量m.

因此，與本文傳感器優(yōu)化布置問題等價(jià)的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型可寫為

1.3 優(yōu)化模型的求解

求解公式（16）所示的最優(yōu)化模型最簡(jiǎn)單的方法就是嘗試所有的個(gè)可選擇的測(cè)點(diǎn)組合，然而這種遍歷算法只有在結(jié)構(gòu)自由度n較小時(shí)可行，結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目超過一定規(guī)模，計(jì)算量會(huì)非常龐大，使求解變得非常困難.本文基于凸規(guī)劃方法選取了一種對(duì)該優(yōu)化模型的近似求解方法[17]，可有效地求解此模型.

對(duì)目標(biāo)函數(shù)f（Z）二次求導(dǎo)，可得到如下形式：

對(duì)于式中向量VVi∈RL×1中各元素，易損場(chǎng)景Vi包含的構(gòu)件所對(duì)應(yīng)的元素值為，其余均為0.

由公式（17）可見，目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為正定矩陣，則目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)凸函數(shù)，并且目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)大于0，因此該優(yōu)化問題必定有最優(yōu)解.然而由于該優(yōu)化模型中的一個(gè)約束zi∈｛0，1｝是非線性的，使該優(yōu)化問題難以直接采用基于凸規(guī)劃的方法求解.將約束zi∈｛0，1｝松弛為zi∈ [0 ，1]后，得到了一個(gè)新的優(yōu)化模型：

這個(gè)松弛后的優(yōu)化模型是典型的凸優(yōu)化問題，采用內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法[18]可以對(duì)其快速、有效地求解.

求得松弛解Z＊之后，對(duì)Z＊內(nèi)各元素按從大到小的順序重新排列得到則初步選出的自由度為前m個(gè)自由度

對(duì)該初步解進(jìn)行局部?jī)?yōu)化可以得到更精確的結(jié)果.局部?jī)?yōu)化算法是從m個(gè)選中的自由度中依次選出一個(gè)自由度與n－m個(gè)未被選中的自由度交換，并且計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值，一旦得到更小的目標(biāo)函數(shù)值，則交換后的m個(gè)自由度成為新的優(yōu)化解CZ＊，并且重新開始局部?jī)?yōu)化.當(dāng)m（n－m）次交換全部完成，并且沒有出現(xiàn)更小的目標(biāo)函數(shù)值時(shí)，算法結(jié)束.此時(shí)的優(yōu)化解CZ即為最終選定的m個(gè)布置傳感器的自由度.

圖1為本文提出的針對(duì)結(jié)構(gòu)易損場(chǎng)景監(jiān)測(cè)的傳感器優(yōu)化布置方法流程圖.

圖1 傳感器優(yōu)化布置流程圖Fig.1 Flowchart for optimal sensor placement

2 算例

算例采用文獻(xiàn)[12]中的一個(gè)平面桁架結(jié)構(gòu)，其幾何模型及構(gòu)件編號(hào)如圖2所示.該結(jié)構(gòu)的有限元模型由29個(gè)二維桿單元組成，構(gòu)件編號(hào)為①～○29，節(jié)點(diǎn)數(shù)為15，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有x和y方向兩個(gè)自由度，除去被約束的4個(gè)自由度，可布置傳感器的自由度數(shù)為26.

圖2 平面桁架結(jié)構(gòu)模型Fig.2 Structural model of a plane truss

結(jié)構(gòu)承受的荷載形式不同，則構(gòu)件承載能力的發(fā)揮程度不同，通常結(jié)構(gòu)易損性分析結(jié)果受荷載形式影響很大.在對(duì)該算例結(jié)構(gòu)進(jìn)行易損性分析時(shí)，僅考慮結(jié)構(gòu)受恒載情況，用圖3所示的節(jié)點(diǎn)集中力模擬結(jié)構(gòu)恒載.構(gòu)件的材料和截面信息參考文獻(xiàn)[12].

圖3 結(jié)構(gòu)荷載（單位：k N）Fig.3 Load condition（unit：k N）

文獻(xiàn)[12]以圖2所示的桁架結(jié)構(gòu)為分析對(duì)象，在承受如圖3所示的結(jié)構(gòu)荷載情況下，將結(jié)構(gòu)的極限荷載乘子作為結(jié)構(gòu)的性能參數(shù)，利用機(jī)構(gòu)生成法計(jì)算結(jié)構(gòu)體系的極限荷載乘子以及相應(yīng)的失效模式.分析根據(jù)極限荷載乘子隨不同損傷場(chǎng)景的損傷系數(shù)的變化，得到結(jié)構(gòu)在指定結(jié)構(gòu)性能需求下不同損傷場(chǎng)景的容許損傷系數(shù).最后根據(jù)容許損傷系數(shù)確定了結(jié)構(gòu)可能出現(xiàn)的所有易損場(chǎng)景及相應(yīng)的易損性指數(shù)，結(jié)果如表1所示.

該結(jié)構(gòu)為左右對(duì)稱結(jié)構(gòu)，所考察的易損場(chǎng)景僅包括左半結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件.由表1可見，對(duì)于所列出的各易損場(chǎng)景，按易損性大小由高到低依次為：①，?，?，?，?，?，?，?，?.

將易損性分析結(jié)果帶入公式（18）所示的優(yōu)化模型中進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)隨著布置的傳感器數(shù)量逐漸增多，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值不斷減小.如圖4所示，當(dāng)傳感器的數(shù)目超過10之后，最優(yōu)值減小的速率變緩.因此，本文考慮從結(jié)構(gòu)26個(gè)可選自由度中選出10個(gè)自由度進(jìn)行傳感器布置，并且在優(yōu)化計(jì)算中考慮結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)，得到針對(duì)結(jié)構(gòu)易損場(chǎng)景監(jiān)測(cè)的傳感器布置方案如表2中方案1所示.

表1 結(jié)構(gòu)易損性分析結(jié)果Tab.1 Results of structural vulnerability analysis

圖4 隨傳感器布置數(shù)量變化的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值Fig.4 Optimal objective value as a function of sensor count

另外，為了與本文所提出的傳感器優(yōu)化布置方法作比較，表2還給出了兩種傳統(tǒng)方法確定的傳感器布置方案.表2中方案2根據(jù)Kammer[2]所提出的基于提高模態(tài)可觀測(cè)性的有效獨(dú)立法（EI法）確定；方案3根據(jù)Shi等[9]提出基于結(jié)構(gòu)損傷可識(shí)別的傳感器優(yōu)化布置方法確定.

表2 3種傳感器布置優(yōu)化方案（節(jié)點(diǎn)－方向）Tab.2 Sensor locations for three different displacement methods

圖5為3種傳感器布置方案示意圖.圖中黑色三角的指向?yàn)樗诠?jié)點(diǎn)需要布置傳感器的自由度方向.

圖5 3種傳感器布置方案示意圖Fig.5 Sensor locations for three different displacement methods

理論分析表明，針對(duì)結(jié)構(gòu)易損場(chǎng)景監(jiān)測(cè)的傳感器布置方案相比傳統(tǒng)的布置方案可以對(duì)結(jié)構(gòu)失效狀態(tài)作出更準(zhǔn)確的評(píng)估.為了驗(yàn)證這一點(diǎn)，假設(shè)結(jié)構(gòu)發(fā)生如表3所示的7種易損場(chǎng)景，分別使用3種傳感器布置方案獲取的模態(tài)信息計(jì)算在模態(tài)參數(shù)不確定性影響下的結(jié)構(gòu)失效指標(biāo)，通過比較指標(biāo)的均值和方差來考察本文方法的有效性.

表3 結(jié)構(gòu)易損場(chǎng)景Tab.3 Structural vulnerable scenarios

本文通過對(duì)模態(tài)振型人為添加高斯分布的隨機(jī)誤差來模擬模態(tài)參數(shù)的不確定性.隨機(jī)誤差可以表示為

式中：｛Φ｝為有限元計(jì)算得到的模態(tài)振型向量；向量｛RΦ｝為誤差比例系數(shù)，是一組相互獨(dú)立均值為0的高斯分布隨機(jī)數(shù)；符號(hào)⊙表示元素對(duì)應(yīng)元素相乘.考慮數(shù)據(jù)不確定性的模態(tài)振型為

蒙特卡洛方法是一種非常強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)分析方法，經(jīng)常被用來分析模態(tài)參數(shù)的不確定性對(duì)損傷識(shí)別結(jié)果的影響[19].這種方法的本質(zhì)是使用大量添加過隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)樣本來模擬高斯分布的真實(shí)模態(tài)參數(shù).本文利用蒙特卡洛方法，模擬得到5 000組標(biāo)準(zhǔn)差為1%的誤差比例系數(shù)向量，并帶入公式（21），得到模擬的模態(tài)振型樣本，并使用這些樣本對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識(shí)別.

各組樣本的損傷系數(shù)通過模型修正方法[20]識(shí)別，模型修正以樣本與完好結(jié)構(gòu)振型差值的平方和最小為目標(biāo)函數(shù)迭代計(jì)算損傷系數(shù).再根據(jù)識(shí)別的結(jié)果計(jì)算結(jié)構(gòu)失效指標(biāo)的均值E（）和方差D）.以易損場(chǎng)景7為例，蒙特卡洛方法模擬識(shí)別計(jì)算的過程如圖6所示，可以看出，5 000組樣本可以計(jì)算得到穩(wěn)定的均值和方差.

圖6 蒙特卡洛方法模擬計(jì)算結(jié)構(gòu)失效指標(biāo)（易損場(chǎng)景7）Fig.6 Computation of structural failure index using Monte Carlo simulation

圖7為所有易損場(chǎng)景的結(jié)構(gòu)失效指標(biāo)均值及方差的計(jì)算結(jié)果.由圖7可以看出，對(duì)于該桁架結(jié)構(gòu)可能出現(xiàn)的7種易損場(chǎng)景，3種傳感器布置方案得到的結(jié)構(gòu)失效指標(biāo)的均值與真實(shí)值都非常接近；但本文方案得到的指標(biāo)方差明顯小于其他兩種傳統(tǒng)方案得到的方差.算例的結(jié)果可以驗(yàn)證理論分析所表明的，在模態(tài)參數(shù)不確定性的影響下，針對(duì)結(jié)構(gòu)易損場(chǎng)景監(jiān)測(cè)的傳感器布置方案相比傳統(tǒng)的傳感器布置方案在對(duì)結(jié)構(gòu)失效狀態(tài)進(jìn)行評(píng)估時(shí)可以得到更精確的結(jié)果.

圖7 3種布置方案的結(jié)構(gòu)失效指標(biāo)均值及方差計(jì)算結(jié)果Fig.7 Mean and variance results for three different sensor displacement methods

3 結(jié)論

（1）結(jié)構(gòu)易損性建立了結(jié)構(gòu)失效狀態(tài)與結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別之間的關(guān)系.文中基于易損性指數(shù)和損傷系數(shù)定義的結(jié)構(gòu)失效指標(biāo)可以有效反應(yīng)易損場(chǎng)景發(fā)生后結(jié)構(gòu)的失效狀態(tài)，健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)可以根據(jù)該指標(biāo)對(duì)結(jié)構(gòu)安全狀況作出有效評(píng)估以及針對(duì)異常情況及時(shí)作出預(yù)警.

（2）在傳統(tǒng)傳感器優(yōu)化布置理論基礎(chǔ)上，以所有易損場(chǎng)景下結(jié)構(gòu)失效指標(biāo)估計(jì)方差和最小為優(yōu)化目標(biāo)，提出了針對(duì)結(jié)構(gòu)易損場(chǎng)景監(jiān)測(cè)的傳感器優(yōu)化布置方法及相應(yīng)的求解算法，算例驗(yàn)證了方法的可行性與有效性.結(jié)果表明，利用3種不同的優(yōu)化方法布置傳感器，計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)失效指標(biāo)均值與真實(shí)值都非常接近，而本文方法得到的方差比兩種傳統(tǒng)方法得到的方差更小.

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