楊熙宇，暨育雄，張紅軍

（同濟大學 道路與交通工程教育部重點實驗室，上海200092）

改善公共交通服務質(zhì)量是提高公交吸引力的重要措施.目前，我國公共交通運行主要存在運行速度低、負載率高和串車現(xiàn)象嚴重等問題.車速低主要由于城市交通擁擠，機非混行現(xiàn)象較為突出.車輛調(diào)度管理措施缺乏針對性則是造成負載率高的重要原因.根據(jù)客流需求確定公交發(fā)車頻率和車型可提高公交服務的有效性，從而改善公交的服務質(zhì)量，增強公交對城市居民出行的吸引力.同時，公交調(diào)度方案的制訂還必須考慮公交的綜合運營成本，一方面考慮公交自身的運營成本，另一方面還應考慮公交服務成本即乘客對公交提供服務的感知反饋成本.因此建立以公交感知服務水平和運營成本總體最優(yōu)為目標的發(fā)車頻率優(yōu)化模型，獲取合理的發(fā)車頻率和公交車型是優(yōu)化公交調(diào)度方案，實現(xiàn)科學調(diào)度的關(guān)鍵工作之一.

公交發(fā)車頻率優(yōu)化模型的研究最早可追溯到1980年，Jansson等[1]將研究的重點集中在車頭時距，并增加公交車型作為模型重要的輸出參數(shù)之一，并在后續(xù)的研究中，采用不同的方法和模型算法來求解最優(yōu)解[2－6].此外，大量的研究利用雙層模型優(yōu)化發(fā)車 頻 率 和 車 頭 時 距[7－10].2010 年，Yu 等[7]應 用遺傳算法求解公交網(wǎng)路的發(fā)車頻率和車頭時距優(yōu)化模型，Yang等[9]將這種雙層模型的適用性推廣到混合網(wǎng)絡中，并證明了其適用性和有效性.

直到近些年來，研究的熱點才逐漸由公交服務主體導向轉(zhuǎn)變?yōu)楣环湛腕w導向，模型中更加著重考慮公交乘客的成本.2008年，Sergio等[11]通過對集計模型和非集計模型的區(qū)分，對一條公交線路劃分成三種不同模式，并應用線路OD（起訖）點計算出不同模式下的優(yōu)化指標，結(jié)果表明對于乘客在公交上的出行時間成本考慮得越細，對于發(fā)車頻率要求越高.2012年，Olio等[12]利用固定和已知的出行OD，應用模型優(yōu)化求解最優(yōu)發(fā)車頻率和公交車型.

就公交調(diào)度優(yōu)化的方法而言，從國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀來看，主要存在如下問題：首先，考慮乘客感知的研究為數(shù)不多；其次，對于利用OD優(yōu)化發(fā)車頻率的模型缺乏對模型的深入探討；再者，對于乘客的感知研究不足，把乘客出行感知簡單地等同于各段行程的疊加，忽略了乘客對于整條路徑出行的感知才是最終感知形成的重要因素.

基于以上的考慮，本文提出在OD需求條件下基于乘客感知的發(fā)車頻率和車型調(diào)度問題.以實際的公交線路為現(xiàn)實背景，分析乘客感知的特征，解析發(fā)車調(diào)度的機理，建立實用模型和算法.

1 基于感知的公交調(diào)度問題

1.1 問題描述

乘客對公交服務的感知是體現(xiàn)公交運營“以人為本”的重要指標之一.公交服務感知成本量化過程是指乘客對公交出行中的服務憑借個體客觀感受，量化為時間成本的過程.近年來研究標明，乘客出行感知成本函數(shù)并非是線性分段疊加的，而是與整個出行路徑上感知成本成某種函數(shù)關(guān)系[13－14]，并提出路徑最大感知度和最小厭惡度的組合模型，有效地提高了模型計算的精度.

由此定位，本文研究的是如何有效地在公交調(diào)度優(yōu)化模型中融入乘客對公交服務的感知成本.為簡化敘述起見，將乘客上車點定義為出行的起點O點，乘客下車點定義為終點D點，OD出行疊加到公交線路上，每個出行者在出行過程中都形成一個出行路徑.因此，OD出行路徑是能夠反映每個出行者的重要指標之一，本文將研究OD出行路徑上每個出行者的感知函數(shù)對于整個發(fā)車頻率和車型優(yōu)化模型的影響.

1.2 建模環(huán)境

為了更好地研究問題，用數(shù)學語言對該問題進行描述：設公交車發(fā)車頻率為f（班次·h－1）；每輛公交車的座位數(shù)（車型）為s；運營成本轉(zhuǎn)換為總成本系數(shù)為δ1；運營成本參數(shù)為a和b；公交線路長度為l；等候成本轉(zhuǎn)換為總成本系數(shù)為δ2；等候成本參數(shù)為c；起點為i終點為j的OD對為xij；車內(nèi)時間成本轉(zhuǎn)換為總成本系數(shù)為δ3；擁擠度參數(shù)為α和β；完全不擁擠情況下的效用值為γtot；路徑最大時間加權(quán)載客人數(shù)為Yma；路徑平均時間加權(quán)載客人數(shù)為Yav；公交站點i上客人數(shù)為λi＋；公交站點i下客人數(shù)為λi－；公交站點i和公交站點i＋1之間路段公交車內(nèi)乘客數(shù)量yi，i＋1等于yi－1，i＋λi＋－λi－.公交線路示意圖見圖1.

圖1 公交線路示意圖Fig.1 Schematic diagram of bus line

1.3 目標的選取

本次研究目標采用公交車輛本線調(diào)度運行模式，本線調(diào)度模式采用獨立調(diào)度策略，車輛資源調(diào)度僅面向指定線路的客運運輸任務，在線路客流需求確定的情況下，其總成本的控制主要通過優(yōu)化發(fā)車頻率和車型來調(diào)整.

以往在關(guān)于獨立調(diào)度的研究中[6－11]，大多以總成本最小為優(yōu)化目標建立調(diào)度模型.本文在以往研究的基礎上考慮出行路徑對公交感知的影響，建立以最小總成本為優(yōu)化目標的公交發(fā)車頻率和車型調(diào)度優(yōu)化模型.本文對于建模做如下的假設：

（1）線路運營完全獨立，不受相鄰線路的影響.

（2）服務需求獨立于發(fā)車頻率和車型.

（3）乘客服務服從“先到先服務”的原則，即先到達車站的乘客先上車.

（4）站間區(qū)間內(nèi)車輛運行速度為恒定值，且途中無特殊事件發(fā)生.

（5）研究時段內(nèi)車輛發(fā)車間隔不變，各公交站點均相同.

（6）乘客對公交服務的感知受乘客所處狀態(tài)（座位、站立或擁擠程度）和乘坐公交的時長有關(guān).

2 模型建立

2.1 目標函數(shù)

模型的建立兼顧公交運營成本和公交服務（包括候車等候和車內(nèi)感知），規(guī)劃目標為公交自身的運營成本、乘客候車時間成本和車內(nèi)感知時間成本總和最小.

（1）單位時間內(nèi)的公交運營成本T1與車型大小、公交線路長度和發(fā)車頻率等成如下函數(shù)關(guān)系[1]：

式中：s＝1，…，n.

（2）單位時間乘客候車成本T2.假設公交車輛到達公交站點服從泊松分布，候車成本與發(fā)車頻率成反比，和站點上車人數(shù)成正比.

式中：c∈（0，1]

（3）單位時間車內(nèi)感知成本T3為

式中：F（x）為公交感知函數(shù)，x為某一時刻車內(nèi)的乘客數(shù)量，x＝1，…，n.

公交車內(nèi)擁擠度（車內(nèi)乘客數(shù)量與公交車容量的比值）是評價乘客對于公交服務感知的重要指標，文獻[13]通過相關(guān)數(shù)據(jù)回歸分析，指出公交感知值與車內(nèi)擁擠度成冪函數(shù)關(guān)聯(lián)形式，基于此將公交感知函數(shù)定義為

式中：ρ為公交車容量，ρ＝1，…，n；α和β為擁擠度參數(shù).

對于不同的擁擠度參數(shù)α（α∈（0，1]）和β（β∈[1，∞）），F(xiàn)（x）的變化如圖2所示.通過對比可以看出，α越大在區(qū)間（0，0.5）時，函數(shù)值上升較快，β越大在區(qū)間（0.5，1）時，函數(shù)值上升較快.

圖2 不同α和β組合下的F（x）Fig.2 F（x）at differentαandβcombinations

本文假設公交服務感知可能存在以下3種模式：① 出行感知可以分段疊加，與出行路徑無關(guān)；②出行感知與路徑中最大感知有關(guān)；③ 出行感知與出行中平均感知有關(guān).由此獲得3種公交線路發(fā)車頻率和車型優(yōu)化模型如下.

模型1：不考慮出行路徑對感知影響的模型為

式中：ε1，ε2分別為公交車容量系數(shù).

模型2：考慮OD路徑中最大感知的影響，優(yōu)化頻率模型為

模型3：考慮OD路徑中平均感知的影響，優(yōu)化頻率模型描述為

2.2 約束條件

上述3個模型中變量存在如下的約束條件

2.3 優(yōu)化算法

本文通過考慮公交服務感知，建立了不同情況下式（5），（6）和（8）這3種模型，經(jīng)檢驗，這3個模型均為凸函數(shù).因此，模型的求解變得相對容易，僅需求出各極值點位置，比較各極值點函數(shù)值大小，函數(shù)最小值對應的f和s即為所求.分別對式（5），（6）和（8）應用拉格朗日方程求極值點，逐次對f和s求一階偏導，可以得到方程（11）和（12）.方程（11）和（12）構(gòu)成二元三次方程組，通過編程計算，易求解得到f和s.

此外，車隊數(shù)量Fvel（Fvel＝1，…，n）也是衡量公交調(diào)度的重要指標之一.

式中：Ψ（Ψ＝0，1，…，n）為保證車隊正常運轉(zhuǎn)的備用車輛數(shù).

3 實例應用

以江蘇省江陰市K1路公交車途經(jīng)的10個公交站為觀測對象，選擇早高峰時刻對該線路各公交站點上下客人數(shù)進行統(tǒng)計（圖3），通過已有的公交OD反推模型得到各站點的OD數(shù)據(jù)[15]，見表1.

應用本文構(gòu)建的感知模型，參考文獻[11]對模型參數(shù)取值：a＝11，b＝0.14，l＝3.7 km，δ1＝0.75，δ2＝ 1.05，δ3＝1.15，c＝1，γtot＝1，α＝0.15，β＝2.優(yōu)化后數(shù)據(jù)見表2.

圖3 公交站點間公交客流示意圖Fig.3 Passenger flow between bus stations

表1 公交客流OD矩陣Tab.1 OD matrix of bus passenger

表2 優(yōu)化模型得到的各種數(shù)據(jù)Tab.2 Various data obtained from the optimization model

案例結(jié)果表明，單位時間內(nèi)車內(nèi)感知成本越大，優(yōu)化后的發(fā)車頻率越高，所需車隊數(shù)量越小，車型要求越小.

從圖4和圖5可以看出，外在輸入條件不變，α，β取值區(qū)間分別為[0.15，0.25]和[1.5，2.5]時，發(fā)車頻率趨于最大化，車型趨于最小化.

圖4 α，β與發(fā)車頻率敏感性分析示意圖Fig.4 Relationship bet weenα，βand sensitive analysis of bus frequency

圖5 α，β與公交車型敏感性分析示意圖Fig.5 Relationship betweenα，βand sensitive analysis of bus type

客流需求逐漸變化下，4種公交車型的發(fā)車頻率曲線如圖6所示.如圖6可知，車型越大，發(fā)車頻率變化越緩慢；車型越小，發(fā)車頻率變化越快，公交調(diào)度相對較靈活.當需求小于800 pax·h－1時，不同座位的發(fā)車頻率基本沒差別，這也和現(xiàn)實情況相符.同樣當需求大于800 pax·h－1時，車型較大的車，單次公交周轉(zhuǎn)量較大，發(fā)車頻率的增加幅度相對車型小的公交車偏小.

圖6 不同公交需求條件下不同車型的發(fā)車頻率曲線Fig.6 Comparision of bus frequencies based on change of demand

最后將3種不同的模型放進需求不斷變化的條件下進行測試.由圖7可知，當需求較小時，3種模型計算的結(jié)果很相近，但當需求超過250人次·h－1時，結(jié)果相差較大.此時考慮路徑對感知的影響模型對于發(fā)車頻率的要求比不考慮路徑影響的模型明顯偏高，尤其考慮最大感知的影響最高.

圖7 不同公交需求條件下3種模型的發(fā)車頻率曲線Fig.7 Com parision of three bus frequencies based on change of demand

通過上述案例分析發(fā)現(xiàn)，在客流較小、公交車基本不擁堵的狀況下，3種模型計算結(jié)果相同，此時模型1基本適用.在客流需求較大的情況下，考慮對公交感知服務水平有較高的要求，在整段出行路徑中避免局部出現(xiàn)較差的服務水平（如英國倫敦），此時模型2適用.此外在客流較大情況下，公交感知服務水平的要求不算很高，但需一定程度上考慮（如發(fā)展中國家的城市），此時模型3適用.

4 結(jié)論

本文基于實際公交站點OD出行數(shù)據(jù)，考慮乘客對公交服務感知影響，構(gòu)建公交發(fā)車頻率和車型優(yōu)化模型.該方法不僅能更真實地反映乘客的出行成本，同時能夠優(yōu)化公交運營調(diào)度系統(tǒng)，對發(fā)車頻率、車隊數(shù)量和車型大小提出了新的要求.

本文提出的基于感知的公交發(fā)車頻率和車型優(yōu)化模型，從理論上可以推廣到跨線調(diào)度的優(yōu)化，但實際上由于跨線調(diào)度屬于集中調(diào)度問題，有一定的復雜性，可能會導致計算結(jié)果收斂于指定線路的最優(yōu)值而非整個系統(tǒng)的最優(yōu)值.同時本文提出的考慮感知函數(shù)中沒有對在車內(nèi)有座位和無座位的人群進行區(qū)分，尤其是在考慮先站立到有座的情況下，模型變得相對復雜，進一步的研究工作可以考慮在模型中加入新變量來完善.

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