張范輝

前段時(shí)間，尤其是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊教學(xué)進(jìn)度要推進(jìn)到“乘法分配律”那幾天，教研組里的各位老師已把乘法分配律作為一個(gè)話題在討論了。有過循環(huán)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的嚴(yán)老師提醒，“乘法分配律”是易錯(cuò)內(nèi)容，但又很重要，試卷命題則往往將此作為常設(shè)內(nèi)容。孩子在中學(xué)的王老師補(bǔ)充道，乘法分配律是孩子到七年級學(xué)習(xí)合并同類項(xiàng)內(nèi)容的基礎(chǔ)。年輕的黃老師則提出，咱們開展一次計(jì)算比賽，讓學(xué)生通過計(jì)算比賽這樣的形式來感悟到乘法分配律的優(yōu)越性……言談之中，老師們的話語昭示了乘法分配律這一素材在數(shù)與代數(shù)以及數(shù)的運(yùn)算中的重要性，同時(shí)也感受到學(xué)生對此的易錯(cuò)性。

但組內(nèi)各位老師在這樣日常性討論的過程中卻沒有就此素材進(jìn)行知識本身方面的挖掘，討論的環(huán)節(jié)給我的感覺就是乘法分配律是一項(xiàng)很重要又很易錯(cuò)的內(nèi)容，但對教師而言，這個(gè)素材的理解與認(rèn)識已是不成問題，沒有必要再在備課、思考上下多少工夫，做好適當(dāng)?shù)乃夭臏?zhǔn)備或者課件準(zhǔn)備工作，就可以進(jìn)入班級執(zhí)教了。我認(rèn)為這樣較為淺表化的討論無助于老師們深入認(rèn)識乘法分配律這一獨(dú)立于乘法交換律、乘法結(jié)合律之外的重要素材。這樣的討論雖能引起老師們主觀上的重視，但對于教學(xué)乘法分配律這個(gè)富有營養(yǎng)價(jià)值的數(shù)學(xué)美食有可能無法起到推進(jìn)作用。鑒于此，我在思考這節(jié)課時(shí)向組內(nèi)的老師們提出這樣一個(gè)問題：如何理解乘法分配律中“分配”一詞？話題一出，各位老師又開始七嘴八舌起來。平日里話語不太多的胡老師先提出，“分配”應(yīng)該這樣來理解，即把括號外的因數(shù)分別分配給括號中的另外兩個(gè)數(shù)，比如（5+8）×9，就是把9分別分配給5與8，得到5×9+8×9。話音未落，顧老師即刻反對，不能這么認(rèn)為，這里的9就是一個(gè)因數(shù)，怎么能夠說成分別分配？應(yīng)該說成把加數(shù)5與8分配給因數(shù)9，得到5×9+8×9；陳老師則認(rèn)為，分配的要義是搭配，即5×9+8×9就是共有9個(gè)5共有9個(gè)8，然后1個(gè)5搭配1個(gè)8得到1個(gè)13，共能搭配9個(gè)13……辦公室里熱鬧一片。

是夜，獨(dú)坐書房，我繼續(xù)回味白天的話題：乘法分配律中的“分配”難道就像老師們在辦公室里所討論的那樣，只從其字面意義理解成把算式中的一個(gè)數(shù)或幾個(gè)數(shù)按規(guī)則分配來去？或者分配也可以理解成像陳老師所說的那樣的搭配，那么既然內(nèi)涵是搭配，那為何其名稱不是乘法搭配律？難道這個(gè)精煉的詞語所凝練出的定律名稱不存有其他更為豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)在意義？難道乘法分配律中的“分配”只能作為一詞理解就不能分而理解成“分”與“配”兩個(gè)不同之義？如果分開理解，那么何謂“分”、又何謂“配”？乘法分配律這個(gè)名稱如何對應(yīng)解釋a×c+b×c=（a+b）×c這條字母表達(dá)式？

由于對“分配”這個(gè)詞存有困惑，因此我決定從詞典入手，看看平日里所熟悉的“分配”一詞到底是什么意義。于百度詞典中輸入“分配”一詞，檢索出如下三種意義：①按一定的標(biāo)準(zhǔn)或規(guī)定分（東西）；②安排、分派；③經(jīng)濟(jì)學(xué)上指把生產(chǎn)資料分給生產(chǎn)單位或把消費(fèi)資料分給消費(fèi)者。這樣的三種意義更多的是解釋“分配”一詞在日常生產(chǎn)生活與經(jīng)濟(jì)學(xué)上的用途與安排，因此不能讓我釋然，無法從中獲得數(shù)學(xué)的啟示。轉(zhuǎn)而目光下移，百度詞典又將分配一詞作分字理解。分：分區(qū)劃開，分開，劃分，分解。配：兩性結(jié)合、配合，用適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)加以調(diào)和。

至此，我眼前一亮。這與我此前獨(dú)自思考時(shí)把分配不作為一個(gè)完整的詞而是分而理解為“分”與“配”有些吻合，再重讀品味——“分”意味著分開，“配”意味著結(jié)合，心中已然有了感悟。隨即翻閱教材，參閱教師用書，慢慢地，就有了今天乘法分配律的備課思路：

如果有兩個(gè)同樣行數(shù)的長方形團(tuán)體操隊(duì)形，通過乘法運(yùn)算，可以采用分開計(jì)算的辦法求出各個(gè)隊(duì)形的人數(shù)，從而得出總?cè)藬?shù)，也可以將兩個(gè)隊(duì)形合并為一個(gè)完整的隊(duì)形，從而直接算出總?cè)藬?shù)；如果有兩個(gè)同寬的長方形，可以通過分開計(jì)算的辦法求出各自的面積，從而得出總面積，也可以將這兩個(gè)長方形合并為一個(gè)完整的長方形，從而直接算出總面積；如果有幾套共同的上裝和褲子，可以通過分開計(jì)算的辦法分別求出幾件上裝的價(jià)錢與幾條褲子的價(jià)錢，從而得出總價(jià)錢，也可以將一件上裝和一條褲子合并為一套衣服，求出一套衣服的價(jià)錢后再求出總價(jià)錢……而在這過程中，通過分開計(jì)算部分量再算總量的方法即是“分”，通過合并為一個(gè)整體計(jì)算總量的方法即是“配”，而“分”與“配”之間的關(guān)聯(lián)即是長方形隊(duì)形上相同的行數(shù)，是兩個(gè)長方形上相同的寬，即是上裝與褲子相同的件數(shù)……如此，字母表達(dá)式中的“a×c+b×c”即應(yīng)該是乘法分配律“分”而求的方法，即是分開計(jì)算；“（a+b）×c”對應(yīng)著的“配”而求的方法，即是合并計(jì)算。而此前陳老師所認(rèn)為的搭配，其數(shù)學(xué)內(nèi)涵也是合并，即a×c+b×c中，c個(gè)a與c個(gè)b相加，其中1個(gè)a與1個(gè)b合并得到1個(gè)（a+b）。

有了這樣的思考與解讀，即有了以下的教學(xué)組織實(shí)施。

【課前談話】

師：孩子們，今天咱們研究的課題是——

生：乘法分配律。

師：課題中的“乘法”同學(xué)們都很熟悉，“分”，大家認(rèn)為它的意思是？

生1：平均分。

生2：分離。

師：是的，“分”的意思很簡單，就是分開的意思。那么，“配”又是什么意思呢？

生：我認(rèn)為和“分”正好相反，可以理解成合并的意思。

師：張老師課前查閱了百度詞典，大家看。

這個(gè)解釋能否給今天的研究帶來啟示呢？咱們一起來看學(xué)習(xí)素材。

一、出示情景

師：同學(xué)們看到了怎樣的信息？

生：黃衣服同學(xué)隊(duì)形，每行13人，有8行。紅衣服同學(xué)隊(duì)形，每行11人，有8行。

師：圍繞這樣的信息，誰能提出相應(yīng)的問題？

生1：黃衣服同學(xué)隊(duì)形有多少人？紅衣服同學(xué)隊(duì)形有多少人？

師：可以一句話概括成兩個(gè)隊(duì)形各有多少人？

生2：兩個(gè)隊(duì)形一共有多少人？

生3：黃衣服隊(duì)形比紅衣服隊(duì)形多多少人？

師：好的。同學(xué)們都提出了很好的數(shù)學(xué)問題，為了研究的方便，咱們確定解決這個(gè)問題：出示：參加團(tuán)體操表演的學(xué)生一共有多少人？誰有解決辦法？

生：我的方法是：13×8+11×8。

師（板書算式）：哎，別急著坐，你能對照情境圖，說說算式是什么意思嗎？

生：13×8求到的是黃衣服同學(xué)隊(duì)形的人數(shù)，11×8求到的是紅衣服同學(xué)隊(duì)形的人數(shù)，再加起來就求到團(tuán)體操隊(duì)形的總?cè)藬?shù)。

師：好的。老師聽出來了，你是把主題圖中的兩個(gè)隊(duì)形分開思考求出人數(shù)后再求出總?cè)藬?shù)的。（板書：分）

許多學(xué)生踴躍舉手。

師：這么多孩子高高舉手，還有別的方法么？

生：（13+11）×8。

師（板書算式）：哎，別急著坐，也來對照情境圖，說說算式是什么意思。

生：13+11求出的一行總共有多少人，再乘8就求到總?cè)藬?shù)了。

師：嗯？這兩個(gè)隊(duì)形不是分開著么？怎么想到“13+11”？

生：我是把這兩個(gè)隊(duì)形結(jié)合起來了。

師：那這兩個(gè)隊(duì)形能否順利地合并呢？（板書：合）

生（齊）：能！

師：那為什么能順利地合起來？

生：因?yàn)檫@兩個(gè)隊(duì)形的行數(shù)相等，所以能夠合并起來。

師：在這里，正因?yàn)樾袛?shù)相等，所以我們可以說兩個(gè)隊(duì)形能一行一行匹配，合并成一個(gè)完整的隊(duì)形。[板書：配（合）]

師：那這兩個(gè)算式結(jié)果相等么？

生（齊）：相等。

師：猜的。誰有辦法來說明或驗(yàn)證為什么相等？

生1：因?yàn)榉珠_求與合并求，求出的都是團(tuán)體操的總?cè)藬?shù)，所以結(jié)果是相等的。

師：好的，你是結(jié)合主題圖，兩種方法求出的都是總?cè)藬?shù)，所以相等。

生2：我認(rèn)為看兩個(gè)算式是否相等，得要計(jì)算。

師：嗯，好的，那同學(xué)們都可以來算一算。

學(xué)生計(jì)算，得出結(jié)果相等。

師：同學(xué)們通過計(jì)算來驗(yàn)證剛才的猜想，這方法很好。我們以前學(xué)習(xí)過乘法，知道乘法的意義，還有誰有自己的方法來說明？

生3：我認(rèn)為，13×8表示13個(gè)8，11×8表示11個(gè)8，13個(gè)8與11個(gè)8合起來就是24個(gè)8。而（13+11）×8也正好是24個(gè)8，所以兩個(gè)算式是相等的。

（教室里響起了掌聲）

師：非常好。你站在乘法的意義角度來證明了這兩個(gè)算式是相等的。（板書：乘法的意義）

師：剛才，我們用分與配這兩種方法解決了這個(gè)問題，咱們回頭看主題圖，分與配中什么是相同的？

生：行數(shù)相同，總?cè)藬?shù)相同。

師：那在計(jì)算時(shí)又有什么不同？

生：一個(gè)算式有括號，一個(gè)沒有括號。

師：有沒有括號意味著什么？

生：意味著運(yùn)算順序不同，沒有括號的要先算乘法，再算加法；有括號的應(yīng)該先算加法，再算乘法。

二、深化認(rèn)識

師：好，看來同學(xué)們對分與配這兩種方法有了一些感悟。在數(shù)學(xué)上，數(shù)與形是緊密聯(lián)系的。大家接著看屏幕。

（課件出示）：張老師用兩個(gè)長方形來表示剛才的兩個(gè)隊(duì)形。誰能根據(jù)這兩個(gè)算式給這兩個(gè)長方形配上相關(guān)的數(shù)學(xué)信息？

生：黃色長方形的長是13厘米，寬是8厘米；紅色長方形的長是11厘米，寬是8厘米。

師：你的思維敏捷，信息補(bǔ)充得很不錯(cuò)。但考慮到這兩個(gè)長方形表示的是團(tuán)體操隊(duì)形，張老師把單位改成“米”。（課件出示）根據(jù)信息，你想到的問題是……？

生1：這兩個(gè)長方形的周長一共是多少米？

生2：我不同意，應(yīng)該求的是這兩個(gè)長方形的面積一共是多少平方米？

師：同學(xué)們同意哪種觀點(diǎn)？

生3：我同意求面積，因?yàn)樗闶角蟮降氖敲娣e。

師：好的，那你來說說這兩個(gè)算式分別表示什么意思。

生3：13×8求到的是黃色長方形的面積，11×8求到的是紅色長方形的面積，再加起來就求到兩個(gè)長方形的總面積。

師：可以繼續(xù)說。

生3：方法2中的13+11求到的是黃色長方形和紅色長方形的長一共多少米，再乘8也就求到兩個(gè)長方形的面積和。

師：那看起來，這兩個(gè)分開的長方形也能夠配成一個(gè)圖形嘍？

生（齊）：能。

師：為什么能夠配？

生：因?yàn)樗鼈兊膶捠窍嗟鹊摹?/p>

（課件演示，兩個(gè)長方形拼成一個(gè)完整的長方形）

師：這兩個(gè)算式相等么？

生（齊）：相等。

師：這會兒兩條算式表示的是兩個(gè)長方形，怎么也相等?。?/p>

生：是相等的。用乘法的意義來理解，13×8表示13個(gè)8，11×8表示11個(gè)8，13個(gè)8與11個(gè)8合起來就是24個(gè)8。而（13+11）×8也正好是24個(gè)8，所以兩個(gè)算式是相等的。

師：聽起來很順，但我有疑問。剛才團(tuán)體操隊(duì)形，黃衣服同學(xué)隊(duì)形里有13個(gè)8，大家都很明白。但在這里，我就有些不懂：13×8求出的黃色長方形的面積，這里，黃色長方形不就是一個(gè)長方形么，哪來的13個(gè)8？

（生面面相覷）

師：大家可以在小組里討論討論。

慢慢的，有學(xué)生舉手。

生：我覺得可以把長方形橫著分割。（邊說邊手勢比劃著）

生2：我認(rèn)為還可以豎著分割。（也比劃手勢）

師：隨意分割嗎？

生：不是的，是1米1米地分割。

（出示課件）在大家的理解中是不是這個(gè)樣子？

生（大聲）：是的。

師：那這里的1格表示的是？

生：這里的1格是1平方米。

師：我們把這1格叫做1個(gè)單位，這會兒大家理解13個(gè)8表示什么？

生：13個(gè)8個(gè)單位。

師：哎，好的。這會兒回過去看算式，你再來看乘法的意義，你們認(rèn)為算式相等么？

生：兩個(gè)算式是相等的。

師：大家觀察黑板上與屏幕上的這組算式。你們能照著樣子在本子上也來舉一道這樣的例子么？

生1： 8×7+9×7=（8+9）×7

生2： 15×4+17×4=（15+17）×4

生3：12×5+18×5=（12+18）×5

師：張老師覺得剛才的一位同學(xué)所舉的例子比較巧。你們覺得呢？

生：我聽出來了，他中間12+18正好湊成整十?dāng)?shù)，這樣算式就巧了。

師：你認(rèn)為的巧是什么意思呢？

生：就是計(jì)算簡便了。

師：就是啊。那這樣的例子寫得完么？那大家能不能用自己的話把這共同的規(guī)律寫出來？

生1：a×c+b×c=（a+b）×c

生2：甲×乙+丙×乙=（甲+丙）×乙

生3：○×△+☆×△=（○+☆）×△

師（分別板書學(xué)生的回答）：同學(xué)們概括的非常好，在數(shù)學(xué)上，我們確定字母表達(dá)式。大家讀讀。而且，這個(gè)規(guī)律還有一個(gè)新的名稱。

生（齊）：乘法分配律。

師：哎，大家怎么想到的？覺得為什么用這個(gè)詞？

生1：因?yàn)檫@里的兩個(gè)算式，一種是分的方法，一種是配的方法。

師：那為什么把它命名為乘法分配律而不是加法分配律呢？

生2：我覺得這兩種方法能用乘法的意義說明相等，而不是加法的意義。

此次教學(xué)旨在提供簡潔卻有趣的學(xué)習(xí)素材，通過深入挖掘，讓學(xué)生充分經(jīng)歷乘法分配律建模的過程，深入體悟乘法分配律的數(shù)學(xué)內(nèi)涵與知識本質(zhì)，從而在學(xué)習(xí)乘法分配律這一素材的過程中，體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的智趣與理趣。

數(shù)學(xué)課堂是兒童智慧生成與理性發(fā)展的主陣地，但面對兒童，教師如何立足與把握好課堂？或者簡而言之，教師如何更好地拿著教材教數(shù)學(xué)，如何面對兒童對于數(shù)學(xué)智慧理性的學(xué)習(xí)卻各有不同？我想，一名出色的有思想的數(shù)學(xué)教師理應(yīng)站在兒童成長的角度來反復(fù)考量數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在理性本質(zhì)，通過深入的挖掘與叩問來呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的特有理性價(jià)值與獨(dú)特內(nèi)在文化，從而達(dá)成兒童優(yōu)秀數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。而這，也正是筆者所倡導(dǎo)的“智理”數(shù)學(xué)課堂的內(nèi)涵所在。