崔北祥

分類加法計(jì)數(shù)原理和分布乘法計(jì)數(shù)原理是求解計(jì)數(shù)問題的基礎(chǔ)，這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)對(duì)抽象思維、邏輯思維以及思維的嚴(yán)密性要求較高. 它是高中數(shù)學(xué)中從內(nèi)容到方法都比較獨(dú)特的一個(gè)組成部分，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)排列組合、概率論的基礎(chǔ)知識(shí).

重點(diǎn)：理解分步、分類計(jì)數(shù)原理的概念；掌握分類與整合的數(shù)學(xué)思想；能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問題.

難點(diǎn)：使用兩個(gè)原理求解問題時(shí)，應(yīng)注意合理分類、準(zhǔn)確分步.在求解時(shí)應(yīng)明確分類與分步的標(biāo)準(zhǔn)，按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的過程進(jìn)行分步.由于情況繁多，因此要對(duì)各種不同情況進(jìn)行合理分類和準(zhǔn)確分布，關(guān)鍵是分類與整合的數(shù)學(xué)思想形成與抽象歸納能力的培養(yǎng).

1. 應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理要注意：①明確要完成什么事，即做什么；②分析完成這件事是分類還是分步，依據(jù)是什么，一般按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的過程進(jìn)行分步；③檢查結(jié)果，是否存在重復(fù)與遺漏的情況，尤其是重復(fù)，檢查辦法是換一個(gè)方法再把問題求解一遍.

2. 兩個(gè)基本原理的共同點(diǎn)是把一個(gè)原始事件分解成若干個(gè)事件來完成，都是涉及完成一件事的不同方法的種數(shù). 這兩個(gè)原理之間的聯(lián)系主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是兩個(gè)原理常常要協(xié)同作用，按“先分類，后分步”的原則進(jìn)行；二是不少用乘法原理解決的問題，通過適當(dāng)分類后同樣可以用加法原理來解決.

3. 兩者的區(qū)別可列表如下：兩個(gè)原理運(yùn)用的基本策略：

（1）一一列舉的策略：一一列舉是最直接、最普遍的一種計(jì)數(shù)辦法，而我們最容易忽視.利用網(wǎng)狀圖和樹形圖列舉不僅可以從問題本質(zhì)上打開思路，解開思維死結(jié)，而且解法樸實(shí)，效果明顯.

（2）化歸轉(zhuǎn)化的策略：將研究對(duì)象化歸轉(zhuǎn)化為另一種研究對(duì)象，使研究對(duì)象形象化、明確化，從問題的反面、側(cè)面來考慮，從而避開問題的“陷坑”.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理中蘊(yùn)涵著豐富的化歸轉(zhuǎn)化思想.

（3）整體與部分的策略：任何問題中整體和局部都是相對(duì)的，面對(duì)一個(gè)問題中的元素、解題環(huán)節(jié)怎么劃分十分關(guān)鍵，如果能做到元素識(shí)別準(zhǔn)確、環(huán)節(jié)劃分合理，問題求解過程就會(huì)簡(jiǎn)化，思路就會(huì)順暢.

（4）建立圖式模型的策略：將所研究的問題、對(duì)象、元素以及過程環(huán)節(jié)，用數(shù)學(xué)圖式表示，變抽象為形象、具體，就會(huì)使問題簡(jiǎn)易化.

■例1 同室4人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿出一張別人送出的賀卡，則4張賀卡的不同的分配方式有（ ）

A. 6種 B. 9種

C. 11種 D. 23種

思索 將同室4人分別記為a，b，c，d，利用4個(gè)取卡的情況分步來確定，關(guān)鍵是要弄清楚分步時(shí)每步的順序，例如a先取走c的卡，則下一步應(yīng)由c取，否則由b，c，d中一人取，就很難斷定是有3種還是2種取法了.本題也可以看做兩個(gè)原理的交替應(yīng)用，用列表表示一目了然，便于分析計(jì)數(shù).

破解 法1：第一步，4個(gè)人中的任意一人（例如a）取一張，則由題意知共有3種取法；第二步，由第一人取走的賀卡的供卡人取，也有3種取法；第三步，由剩余的兩人中的任一人取，只有1種取法；第四步，最后一人取，只有1種取法，由分步計(jì)數(shù)原理，共有3×3×1×1=9（種）.

法2：用“樹圖”表示如下：設(shè)a，b，c，d代表4個(gè)人，A，B，C，D分別代表這4個(gè)人寫的賀卡，則有如下列表.

■

所以共有9種不同的分配方式.故選B.

■例2 橢圓的長(zhǎng)軸和短軸把橢圓分成4塊，現(xiàn)在有5種不同的顏料給4塊涂色，要求共邊兩塊顏色互異，每塊只涂一色，則一共有__________種不同的涂色方法.

■

圖1

思索 涂色問題是計(jì)數(shù)原理應(yīng)用的典型問題，涂色本身就是策略的設(shè)計(jì)和運(yùn)用過程. 涂色問題大致有兩種解決方案：（1）選擇正確的涂色順序，按步驟逐一涂色，這是用分步乘法計(jì)數(shù)原理（其中有可能在有些步驟含有分類）進(jìn)行計(jì)算；（2）根據(jù)涂色時(shí)所用顏色數(shù)多少進(jìn)行分類處理. 其中有可能仍然需要分步（分類）處理. 本題的關(guān)鍵是對(duì)相對(duì)的區(qū)域A，C是否同色進(jìn)行討論，用流程圖描述即為：

■

圖2

破解 法1：①給A，C涂同種顏色共有5種涂法，再給B涂色有4種涂法，最后給D涂色也有4種涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，此時(shí)共有5×4×4種涂法.

②記這五種顏色分別為a，b，c，d，e，則給A，C涂不同顏色共有ab，ac，ad，ae，ba，bc，bd，be，…，ea，eb，ec，ed這20種涂法，再給B涂色有3種方法，最后給D涂色也有3種，此時(shí)共有20×3×3種涂法. 故由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有5×4×4+20×3×3=260種涂法.

法2：①給A涂色有5種選擇；②給B涂色有4種選擇；③當(dāng)C與A異色時(shí)，C有3種選擇，D有3種選擇，共9種選擇；當(dāng)C與A 同色時(shí)，C有1種選擇（與A同色），D有4種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有5×4×（9+4）=260種涂色方法.

■例3 對(duì)于一個(gè)四位數(shù)，其各位數(shù)字至多有兩個(gè)不相同，試求共有多少個(gè)這種四位數(shù).

思索 一個(gè)問題同時(shí)用分布和分類時(shí)，對(duì)“類”與“步”的理解，要再上一個(gè)層次，可進(jìn)一步地理解為：“類”用“+”號(hào)連接，“步”用“×”號(hào)連接，“類”獨(dú)立，“步”連續(xù)，“類”標(biāo)志一件事的完成，“步”缺一不可.本題分恰好只有一種數(shù)字和恰好兩種數(shù)字這兩種情況討論，還要注意去雜.

破解 法1：第一類，只有一種數(shù)字，9個(gè). 第二類，只有兩種數(shù)字，有三個(gè)相同，即形如■，■，■，■，■，■，■，■，共C■■×8個(gè)（包括首位為0的情況）. 第三類，只有兩種數(shù)字，各兩個(gè)相同，即形如■，■，■，■，■，■，共C210×6個(gè)（包括首項(xiàng)為0的情況）. 但由于0不能排在首位，0在首位的情況如下：有一個(gè)0，■，9個(gè)；有兩個(gè)0，■，■，■，9×3個(gè)；有三個(gè)0，■，■，■，9×3個(gè)，共9+C210×8+C210×6-9-9×3-9×3=576（個(gè)）.

法2：顯然，四位數(shù)字全部相同的四位數(shù)恰為9個(gè). 下面考慮四位數(shù)字恰有兩個(gè)不同數(shù)字的四位數(shù)，分三個(gè)步驟考慮：第一步，先考慮前位數(shù)字，有9種可能取法：1，2，3，…，9. 第2步，再考慮百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字，由于恰有兩個(gè)不同數(shù)字，故除了前位數(shù)字外，再?gòu)?，1，2，3，…，9中選出1個(gè)數(shù)字. 第3步，前兩步兩個(gè)數(shù)字確定后，再對(duì)個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字進(jìn)一步確定；這三個(gè)位置上分別各有兩種可選擇性，但要去掉一種情況，即個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字選出的都和前位數(shù)字完全相同，故有（2×2×2-1）種選法. 綜上，共有四位數(shù)9+9×9×（2×2×2-1）=576（個(gè)）.

1. 由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被 5 整除的數(shù)共有_______個(gè).

2. 在2012年倫敦奧運(yùn)選手選拔賽上，8名男運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽.其中甲、乙、丙三人必須在1，2，3，4， 5，6，7，8八條跑道的奇數(shù)號(hào)跑道上，則安排這8名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式共有_____種.

3. 設(shè)ai∈{0，1，2，…，9}，其中i=1，2，3，4，則在排列a1，a2，a3，a4中，至少有兩個(gè)9相鄰的排列的個(gè)數(shù)為_________.

參考答案

1. 192

2. 2880

3. 280. ■endprint