王盛

古典概型和幾何概型都是特殊的隨機(jī)事件概率模型，是高考?？嫉闹R(shí)點(diǎn).高考試卷中，古典概型和幾何概型常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也有解答題，屬中、低檔題目；理科絕大多數(shù)與排列組合、分布列、期望、方差、平面幾何、函數(shù)、向量等一起綜合考查.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：明確古典概型的等可能性和有限性；明確幾何概型的等可能性和無限性. 會(huì)靈活應(yīng)用古典概型和幾何概型的概率計(jì)算公式，特別是古典概型中，文科學(xué)生主要掌握借助表格、樹形圖用列舉法求解概率；理科學(xué)生更應(yīng)掌握用排列組合、獨(dú)立重復(fù)事件、二項(xiàng)分布、對(duì)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式等方法求概率.

？搖難點(diǎn)：要會(huì)區(qū)分問題是古典概型或幾何概型；慎重對(duì)待基本事件的等可能性，注意要恰當(dāng)?shù)胤诸?，并做到試?yàn)包含的基本事件不重不漏；選擇合適的方法和測(cè)度解決概率問題，特別要分清問題是“放回”還是“不放回”，是“有序”還是“無序”.

方法突破

（1）對(duì)簡單的概率問題要能迅速判斷出是哪種類型的概率問題，再套用公式解決.

（2）對(duì)古典概型，要會(huì)用列舉法，借助表格、樹形圖等寫出所有基本事件和所求事件包含的基本事件. 求古典概型的一般方法和步驟如下：

①判斷試驗(yàn)是否為等可能性事件，并用字母表示所求事件.

②計(jì)算基本事件的個(gè)數(shù)n及事件A中所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m.

③計(jì)算事件A的概率P（A）=■.

（3）對(duì)幾何概型，要根據(jù)題意判斷是直線型、面積型、體積型還是角度型.判斷的關(guān)鍵是看它是不是等可能的，也就是點(diǎn)是不是均勻分布的.求解的關(guān)鍵是要注意古典概型與幾何概型的區(qū)別（基本事件的有限性和無限性），構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機(jī)事件的概率.

（4）要注意古典概型、幾何概型與其他知識(shí)的聯(lián)系，根據(jù)問題的特點(diǎn)，聯(lián)想相關(guān)知識(shí)，找到所求事件滿足的條件.

典例精講

一、幾種幾何概型的辨別

1. 長度型幾何概型

■例1 在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM

思索 記“AM

破解 P（A）=■=■=■=■.

2. 角度型幾何概型

■例2 如圖1，在等腰直角三角形ABC中， 過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM

■

圖1

思索 這是與例題形式質(zhì)異的幾何概型問題. 記“AM

破解 在等腰直角三角形ABC中，∠CAC′=■. 又AC′=AC，所以得∠ACC′=■，即P（B）=■=■=■=■.

3. 面積型幾何概型

■例3 如圖2，在等腰直角三角形ABC中，C為直角頂點(diǎn)，在三角形內(nèi)取點(diǎn)P，連結(jié)CP交AB于M，求AM

■

圖2

思索 這是與例題形式質(zhì)異的幾何概型問題. 記“AM

破解 在等腰直角三角形ABC中，∠CAC′=45°. 令A(yù)C=1，則P（C）=■=■=■.

二、古典概型與幾何概型的辨別

■例4 （1）在[0，10]中任取一個(gè)整數(shù)，求它與2的和小于5的概率；

（2）在[0，10]中任取一個(gè)數(shù)，求它與2的和小于5的概率；

（3）從[0，10]中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，求這兩數(shù)之和大于12的概率；

（4）在[0，10]中隨機(jī)取三個(gè)數(shù)，求使得任意兩數(shù)之和大于第三個(gè)數(shù)的概率.

思索 題（1）中基本事件的個(gè)數(shù)為11個(gè)，且是等可能的，故為古典概型；題（2）中基本事件的個(gè)數(shù)是無限的，其可看成在長度為10的線段上取點(diǎn)，故為幾何概型；與題（2）不同，盡管題（3）中基本事件的個(gè)數(shù)是無限的，是在線段上隨機(jī)取點(diǎn)，但兩點(diǎn)間的距離值不是等可能的，故不能用線段的長度作為測(cè)度進(jìn)行概率計(jì)算，而應(yīng)該引進(jìn)兩個(gè)變量解決；由題（3）可知，題（4）應(yīng)該引進(jìn)三個(gè)變量解決.

破解 （1）記“在[0，10]中任取一個(gè)整數(shù)，與2的和小于5”為事件A，則P（A）=■.

（2）記“在[0，10]中任取一個(gè)數(shù)，與2的和小于5”為事件B，則P（B）=■.

（3）設(shè)x，y為[0，10]上的任意兩個(gè)數(shù)，等價(jià)于在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出點(diǎn)（x，y），如圖3，記“在[0，10]中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，這兩數(shù)之和大于12”為事件C，則事件C所包含的區(qū)域應(yīng)滿足0≤x≤10，0≤y≤10，x+y≥12，則P（C）=■=■.

（4）在[0，10]上隨機(jī)取三個(gè)數(shù)，等價(jià)于在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出點(diǎn)（x，y，z），如圖4，記“在[0，10]上隨機(jī)取三個(gè)數(shù)，任意兩數(shù)之和大于第三個(gè)數(shù)”為事件D，則事件D所包含的區(qū)域應(yīng)滿足x+y>z，y+z>x，x+z>y，則P（D）=■=■=■.

■

圖3 圖4

三、有放回抽樣和無放回抽樣的區(qū)別

■例5 現(xiàn)有一批產(chǎn)品共3件，其中2件是正品，1件次品.

（1）從中一次取出2件，求2件都是正品的概率；

（2）如果從中取出1件，然后放回，再任取1件，求兩次取出的都是正品的概率.

思索 本例不僅有“有序”與“無序”的區(qū)別，還有”有放回”和“無放回”的區(qū)別. 在基本事件個(gè)數(shù)不是很多的情況下，都可以用列表或樹形圖的方式逐一列出.

破解 將2件正品分別記為正1、正2.

（1）一次取出2件產(chǎn)品，所有的基本事件為（正1，正2），（正1，次），（正2，次），共3個(gè)，且所有的基本事件都是等可能的，其中事件“2件都是正品”所包含的基本事件只有1個(gè)，故所求事件的概率為■.

（2）從中取出1件放回后再取1件，所有的基本事件為（正1，正1），（正1，正2），（正1，次），（正2，正1），（正2，正2），（正2，次），（次，正1），（次，正2），（次，次），共9個(gè)，且所有的基本事件都是等可能的，其中事件“兩次取出的都是正品”所包含的基本事件共4個(gè)，故所求事件的概率為■.

■例6 某市公租房的房源位于A，B，C三個(gè)片區(qū). 設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任意一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的，求該市的任4位申請(qǐng)人中：

（1）沒有人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率；

（2）每個(gè)片區(qū)的房源都有人申請(qǐng)的概率.

思索 利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.

破解 （1）所有可能的申請(qǐng)方式共有34種，而“沒有人申請(qǐng)A片區(qū)房源”的申請(qǐng)方式有24種，記“沒有人申請(qǐng)A片區(qū)房源”為事件A，則P（A）=■=■.

（2）所有可能的申請(qǐng)方式有34種，而“每個(gè)片區(qū)的房源都有人申請(qǐng)”的申請(qǐng)方式有C■■A■■種，記“每個(gè)片區(qū)的房源都有人申請(qǐng)”為事件B，從而有P（B）=■=■.

變式練習(xí)

1. 已知A={a，b，c，d}，B={1，2，3，4}，A=B，則（a-1）（b-2）（c-3）（d-4）≠0的概率是（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

2. 設(shè)不等式組0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)P，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（ ）

A. ■ B. ■

C. ■ D. ■

3. 如圖5，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站，假設(shè)其信號(hào)覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF（該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號(hào)來源， 基站工作正常）. 若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)， 則該地點(diǎn)無信號(hào)的概率是（ ）

■

圖5

A. 1-■ B. ■-1

C. 2-■ D. ■

4. 已知函數(shù)f（x）=ax2-2bx+a（a，b∈R）.

（1）若a是從集合{0，1，2，3}中任取的一個(gè)元素，b是從集合{0，1，2，3}中任取的一個(gè)元素，求方程f（x）=0恰有兩個(gè)不等實(shí)根的概率；

（2）若a是從區(qū)間[0，2]中任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，3]中任取的一個(gè)數(shù)，求方程f（x）=0沒有實(shí)根的概率.

5. 已知向量a=（2，1），b=（x，y）.

（1）若x∈{-1，0，1}，y∈{-2，-1，2}，求向量a⊥b的概率；

（2）若用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)二元數(shù)組（x，y）構(gòu)成區(qū)域Ω：-1

參考答案

1. B 2. D

3. A

4. （1）a是取自集合{0，1，2，3}中的任意一個(gè)元素，b是取自集合{0，1，2，3}中的任意一個(gè)元素，則a，b的取值情況是：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）.其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值，即基本事件總數(shù)為16.設(shè)“方程f（x）=0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根”為事件A，當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程f（x）=0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的充要條件是a≠0，Δ>0？圳b>a且a≠0. 此時(shí)a，b的取值情況有：（1，2），（1，3），（2，3），即事件A包含的基本事件數(shù)為3. 所以方程f（x）=0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的概率為P（A）=■.

（2）因?yàn)閍是從區(qū)間[0，2]中任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，3]中任取的一個(gè)數(shù)，則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域{（a，b）0≤a≤2，0≤b≤3}，這是一個(gè)矩形區(qū)域，其面積SΩ=2×3=6. 設(shè)“方程f（x）=0沒有實(shí)根”為事件B，則事件B所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）0≤a≤2，0≤b≤3，a>b}，其面積SM=■×2×2=2.由幾何概型的概率計(jì)算公式可得方程f（x）=0沒有實(shí)數(shù)根的概率為P（B）=■=■.

5. （1）從x∈{-1，0，1}，y∈{-2，-1，

2}取兩個(gè)數(shù)x，y的基本事件有：（-1，-2），（-1，-1），（-1，2），（0，-2），（0，-1），（0，2），（1，-2），（1，-1），（1，2），共9種. 設(shè)“向量a⊥b”為事件A，若向量a⊥b，則2x+y=0. 所以事件A包含的基本事件有：（-1，2），（1，-2），共2種. 所以所求事件的概率P（A）=■.？搖

（2）二元數(shù)組（x，y）構(gòu)成區(qū)域Ω={（x，y）-1