許仲

離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差這塊知識(shí)是所有省份高考必考的內(nèi)容，絕大多數(shù)省份的高考題以一個(gè)大題的形式出現(xiàn). 主要內(nèi)容包括：隨機(jī)變量及其分布列、期望與方差的概念，用離散型隨機(jī)變量表示簡(jiǎn)單事件，使用分布列計(jì)算事件概率，計(jì)算離散型隨機(jī)變量的期望與方差. 這部分的高考題目雖然閱讀量大，有一定難度，但只要細(xì)心分類(lèi)歸納，耐心發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法和規(guī)律，把題目做好也不是難事.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差.

難點(diǎn)：求離散型隨機(jī)變量的分布列.

方法突破

認(rèn)真閱讀，分析題目實(shí)際背景，明確古典概型概率的概念. 掌握由排列組合或列舉法等求古典概型概率的方法，掌握利用互斥事件或相互獨(dú)立事件求概率的方法. 通過(guò)理解題目，會(huì)寫(xiě)出離散型隨機(jī)變量的分布列，并利用期望與方差的公式或性質(zhì)求出結(jié)果. 熟練掌握幾種特殊的分布列.

典例精講

考點(diǎn)1 離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)

■例1 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如下表所示，F(xiàn)（x）=P（X≤x），則當(dāng)x的取值范圍是[1，2）時(shí)，F(xiàn)（x）等于（ ）

■

A. ■？搖？搖？搖B. ■？搖？搖？搖？搖C. ■？搖？搖？搖？搖D. ■

思索 分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用：①利用分布列中的各個(gè)事件的概率之和為1可以求參數(shù)的值；②隨機(jī)變量ξ所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率.

破解 根據(jù)性質(zhì)可得a=■. 因?yàn)镕（x）=P（X≤x），所以當(dāng)x的取值范圍是[1，2），F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P（X=0）+P（X=1）=■+■=■. 選D.

考點(diǎn)2 離散型隨機(jī)變量的分布列

■例2 一個(gè)均勻的正四面體的四個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4四個(gè)數(shù)字，現(xiàn)在隨機(jī)投擲兩次，正四面體的面朝下的數(shù)字分別為x1，x2，記ξ=（x1-3）2+（x2-3）2.

（1）分別求出ξ取最大值和最小值的概率；

（2）求ξ的分布列.

思索 求隨機(jī)變量分布列的三個(gè)步驟：①找：找出隨機(jī)變量ξ的所有可能取值xi（i=1，2…，n），并確定ξ=xi的意義；②求：借助概率有關(guān)知識(shí)求出隨機(jī)變量ξ取每一個(gè)值的概率P（ξ=xi）=pi（i=1，2，…，n）；③列：列出表格并檢驗(yàn)是否滿足分布列的兩條性質(zhì).

破解 由于xi∈{1，2，3，4}，所以xi-3∈{-2，-1，0，1}，即（xi-3）2∈{0，1，4}，所以ξ∈{0，1，2，4，5，8}，它的分布列如下：

■

考點(diǎn)3 離散型隨機(jī)變量的均值與方差

■例3 （2014年高考福建卷）為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.

（1）若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：

（i）顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；

（ii）顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望.

（2）商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成. 為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由.

思索 求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的步驟：①理解ξ的意義，寫(xiě)出ξ的可能的全部值；②求ξ取每一個(gè)值的概率；③寫(xiě)出ξ的分布列；④由均值的定義求E（ξ）；⑤由方差的定義求D（ξ）.

破解 （1）設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X.

（i）依題意，得P（X=60）=■=■，即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為■.

（ii）依題意，得X的所有可能取值為20，60. P（X=60）=■，P（X=20）=■=■，即X的分布列為：

■

所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為E（X）=20×0.5+60×0.5=40（元）.

（2）根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元. 所以，先尋找期望為60元的可能方案. 對(duì)于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇（10，10，10，50）的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇（50，50，50，10）的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是（10，10，50，50），記為方案1.

對(duì)于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），記為方案2.

以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析：

對(duì)于方案1，即方案（10，10，50，50），設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1，則X1的分布列為：

■

X1的期望為E（X1）=20×■+60×■+100×■=60，X1的方差為D（X1）=（20-60）2×■+（60-60）2×■+（100-60）2×■=■.

對(duì)于方案2，即方案（20，20，40，40），設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2，則X2的分布列為：

■

X2的期望為E（X2）=40×■+60×■+80×■=60，X2的方差為D（X2）=（40-60）2×■+（60-60）2×■+（80-60）2×■=■.

由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.endprint

■例4 （2014年高考四川卷） 一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤(pán)游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè)，要么不出現(xiàn)音樂(lè)；每盤(pán)游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得20分，出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得100分，沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則扣除200分（即獲得-200分）.設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為■，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立.

（1）設(shè)每盤(pán)游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列.

（2）玩三盤(pán)游戲，至少有一盤(pán)出現(xiàn)音樂(lè)的概率是多少？

（3）玩過(guò)這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤(pán)游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而減少了. 請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因.

思索 （1）D（X）表示隨機(jī)變量X對(duì)E（X）的平均偏離程度，D（X）越大表明平均偏離程度越大，說(shuō)明X的取值越分散；反之，D（X）越小，表明X越集中在E（X）附近，統(tǒng)計(jì)中常用■來(lái)描述X的分散程度.

（2）隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量的取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定.

破解 （1）X可能的取值為10，

20，100，-200.

根據(jù)題意，有P（X=10）=C13×■1×1-■2=■，P（X=20）=C23×■2×1-■1=■，P（X=100）=C33×■3×1-■0=■，P（X=-200）=C03×■0×1-■3=■. 所以X的分布列為：

■

（2）設(shè)“第i盤(pán)游戲沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)”為事件Ai（i=1，2，3），則P（A1）=P（A2）=P（A3）=P（X=-200）=■. 所以“三盤(pán)游戲中至少有一盤(pán)出現(xiàn)音樂(lè)”的概率為1-P（A1A2A3）=1-■3=■. 因此，玩三盤(pán)游戲至少有一盤(pán)出現(xiàn)音樂(lè)的概率是■.

（3）由（1）知，X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=10×■+20×■+100×■-200×■=-■. 這表明，獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù). 因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大.

變式練習(xí)

1. （2014年高考重慶卷）一盒中裝有9張各寫(xiě)有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1，3張卡片上的數(shù)字是2，2張卡片上的數(shù)字是3. 從盒中任取3張卡片.

（1）求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；

（2）X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

2. （2014年高考江蘇卷）盒中共有9個(gè)球，其中有4個(gè)紅球、3個(gè)黃球和2個(gè)綠球，這些球除顏色外完全相同.

（1）從盒中一次隨機(jī)取出2個(gè)球，求取出的2個(gè)球的顏色相同的概率；

（2）從盒中一次隨機(jī)取出4個(gè)球，其中紅球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別記為x1，x2，x3，隨機(jī)變量X表示x1，x2，x3中的最大數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E（X）.

3. （2014年高考山東卷）乒乓球臺(tái)面被網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分，如圖1所示，甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C，D. 某次測(cè)試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來(lái)球后向乙回球. 規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在C上記3分，在D上記1分，其他情況記0分. 對(duì)落點(diǎn)在A上的來(lái)球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為■，在D上的概率為■；對(duì)落點(diǎn)在B上的來(lái)球，小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為■，在D上的概率為■. 假設(shè)共有兩次來(lái)球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響. 求：

（1）小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；

（2）兩次回球結(jié)束后，小明得分之和ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.

■

圖1

參考答案

1. （1）P=■=■.

（2）X的所有可能值為1，2，3，故X的分布列為：

■

E（X）=1×■+2×■+3×■=■.

2. （1）由已知可得P=■=■=■.

（2）隨機(jī)變量X所有可能的取值為2，3，4. {X=4}表示的隨機(jī)事件是“取到的4個(gè)球是4個(gè)紅球”，故P（X=4）=■=■；{X=3}表示的隨機(jī)事件是“取到的4個(gè)球是3個(gè)紅球和1個(gè)其他顏色的球，或3個(gè)黃球和1個(gè)其他顏色的球”，故P（X=3）=■=■=■；于是P（X=2）=1-P（X=3）-P（X=4）=1-■-■=■. 所以隨機(jī)變量X的概率分布如下：

■

E（X）=2×■+3×■+4×■=■.

3. （1）記Ai為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在A上的來(lái)球回球的得分為i分”（i=0，1，3），則P（A3）=■，P（A1）=■，P（A0）=1-■-■=■；記Bi為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在B上的來(lái)球回球的得分為i分”（i=0，1，3），則P（B3）=■，P（B1）=■，P（B0）=1-■-■=■. 記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”. 由題意，D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3，由事件的獨(dú)立性和互斥性，P（D）=P（A3B0+A1B0+A0B1+A0B3）=■×■+■×■+■×■+■×■=■，所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為■.

（2）由題意，隨機(jī)變量ξ可能的取值為0，1，2，3，4，6. 由事件的獨(dú)立性和互斥性，得隨機(jī)變量ξ的分布列為：

■

所以數(shù)學(xué)期望E（ξ）=0×■+1×■+2×■+3×■+4×■+6×■=■. ■endprint