高中階段的概率問(wèn)題大都以等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件為主，對(duì)于一般事件的概率只要理清事件的結(jié)構(gòu)組成關(guān)系即可解決. 但對(duì)一些較為隱蔽的事件，一定要傾聽概率問(wèn)題的“弦外之音”，把握問(wèn)題的本質(zhì)，才能解決問(wèn)題. 下面舉例說(shuō)明.

■例1 某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為■，假設(shè)此人連續(xù)兩次未擊中目標(biāo)就被終止射擊，求此人恰射擊5次被終止的概率.

解析：因?yàn)椤斑B續(xù)兩次未擊中目標(biāo)就被終止射擊”， 所以“此人恰射擊5次被終止”的“弦外之音”是第4次、第5次均未中，第3次擊中（否則第4次已被終止），且前兩次至少擊中1次（否則第2次已被終止）.

設(shè)此人第i次擊中目標(biāo)為事件Ai（i=1，2，…，5），則事件“此人恰射擊5次被終止”可表示為：（■）A3（■）. 又P（■）=1-■=■，各次射擊相互獨(dú)立，故所求事件的概率為

P（■5）P（■4）P（A3）（1-P（■）P（■））=■·■·■1-■·■=■.

■例2 A，B兩同學(xué)各有5張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進(jìn)行游戲. 應(yīng)保證面朝上時(shí)A贏一張卡片，否則B贏一張，如果某人贏得所有的卡片，則游戲終止，求投擲硬幣的次數(shù)不大于7次的概率.

？搖解析：本題的“弦外之音”較為復(fù)雜. 顯然每擲一次A贏的概率是■，根據(jù)游戲規(guī)則，至少擲5次才能終止游戲. 下面就擲5次、6次、7次逐一討論.

（1）若擲5次A贏，終止游戲，則這5次A全贏，概率為■5. 當(dāng)然B也可以贏，故擲5次終止游戲的概率是2×■5.

（2）若擲6次A贏，顯然第6次A贏，而且第5次A也要贏（否則若A第5次輸?shù)粢粡埧ㄆ?，?次又贏回一張，相當(dāng)于第6次后A的卡片數(shù)是第4次擲完后的數(shù)，這個(gè)數(shù)最多是9張，即A不可能贏）；前4次若A全贏，則擲第5次是游戲終止，前4次若A至多贏3次，則擲完6次后，A至多贏4張，這樣就產(chǎn)生了矛盾，所以擲6次游戲終止不可能.

（3）若擲7次A贏，終止游戲，弦外之音為第6次、第7次A全贏且前5次A恰贏4次輸1次，其概率為：■·■·C45■4■，所以擲7次終止游戲的概率是2·■·■·C■■■4■.

綜上（1）（2）（3），投擲硬幣的次數(shù)不大于7次的概率是2×■5+2·■·■·C■■■4■=■.

引申：以上解析是分析“投擲硬幣的次數(shù)不大于7次”事件的所有可能，事實(shí)上，這個(gè)問(wèn)題可以代數(shù)化，設(shè)ξ為游戲終止時(shí)投擲硬幣的次數(shù)，正面朝上的次數(shù)為m，反面朝上的次數(shù)為n，其中m，n，ξ均為不大于7的自然數(shù)，由題意知m-n？搖=5，m+n=ξ.

當(dāng)m=5，n=0或m=0，n=5時(shí)ξ=5；當(dāng)m=6，n=1或m=1，n=6時(shí)ξ=7，

所以P（ξ≤7）=P（ξ=5）+P（ξ=7）=2■5+2C■■■7=■.

■例3 某一食品出廠前要有五項(xiàng)指標(biāo)的檢驗(yàn)，如果兩項(xiàng)及兩項(xiàng)以上不合格就不準(zhǔn)出廠. 五項(xiàng)指標(biāo)的檢驗(yàn)是相互獨(dú)立的，每項(xiàng)指標(biāo)不合格的概率是0.2，求直到五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢，才確定該食品是否可以出廠的概率.

解析：根據(jù)能否出廠的要求，“直到五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢，才確定該食品是否可以出廠”的“弦外之音”就是第五項(xiàng)指標(biāo)若合格即可出廠，否則就不能出廠，也就是說(shuō)前四項(xiàng)指標(biāo)有且只有一項(xiàng)不合格.（否則若前四項(xiàng)全合格，無(wú)論第五項(xiàng)合格與否，五項(xiàng)指標(biāo)至多有一項(xiàng)不合格，則第四項(xiàng)檢驗(yàn)后就可以確定出廠；若前四項(xiàng)中有兩項(xiàng)及兩項(xiàng)以上不合格，第四項(xiàng)檢驗(yàn)后就可以確定不能出廠），故直到五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢，才確定該食品是否可以出廠的概率是C■■0.210.83=0.4096.

■例4 如果早上送報(bào)紙的時(shí)間是7：00—8：00，某人上班出發(fā)的時(shí)間是7：30—8：30，而且送報(bào)紙和上班出發(fā)的時(shí)間都是隨機(jī)的，求此人在上班前能看到報(bào)紙的概率.

？搖？搖解析：“在上班前能看到報(bào)紙”，其“弦外之音”就是送報(bào)紙的時(shí)刻要早于上班出發(fā)的時(shí)刻.

故可以設(shè)7：00對(duì)應(yīng)第0分鐘，送報(bào)紙的時(shí)刻為第x分鐘，上班出發(fā)的時(shí)刻為第y分鐘，則x，y應(yīng)滿足不等式組0≤x≤60，30≤y≤90，x≤y，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃與幾何概型問(wèn)題，如圖1，

■

圖1

故所求的概率為？搖？搖？搖？搖

p=■=■=1-■=1-■=■.

由以上例題解析的過(guò)程，我們發(fā)現(xiàn)“弦外之音”的揭開往往要用到反證法，而且揭開概率問(wèn)題的“弦外之音”的一般流程是：（以例1說(shuō)明）endprint