郭樹敏，李學(xué)志

（1.韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣東 韶關(guān)512005；2.安陽工學(xué)院數(shù)理學(xué)院,河南 安陽455000）

一類具有非線性傳染率和有效治療的HIV動力學(xué)模型的分析

郭樹敏1，李學(xué)志2

（1.韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣東 韶關(guān)512005；2.安陽工學(xué)院數(shù)理學(xué)院,河南 安陽455000）

摘要：研究具有非線性感染率的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，通過對模型的穩(wěn)定性分析得到了保證染病平衡態(tài)和無病平衡態(tài)的全局穩(wěn)定性所需要的參數(shù)條件，并進(jìn)行了數(shù)值模擬.

關(guān)鍵詞：非線性感染率；全局穩(wěn)定性；H IV

數(shù)學(xué)模型為引起人類免疫力缺乏的HIV-1型病毒和引起肝炎的HCV病毒的研究提供了重要信息.然而幾乎所有的數(shù)學(xué)模型感染率都是線性的［1-3］,而線性只是反映了T細(xì)胞與病毒分子之間的簡單作用.本文研究具有非線性傳染率的數(shù)學(xué)模型.

1　模型

本文研究的模型為∶

其中,T是靶細(xì)胞數(shù)量,I是感染細(xì)胞數(shù)量,V是病毒承載量,s是新的T細(xì)胞的產(chǎn)生率,d是T細(xì)胞的死亡率,a是靶細(xì)胞的最大增殖率,Tmax是當(dāng)增殖結(jié)束時(shí)T細(xì)胞的數(shù)量密度,β是感染率,ρ是治療變化率,δ是感染細(xì)胞的死亡率,p是感染細(xì)胞的再生率,c代表自由病毒的清除率.傳染率為非線性的βTqV,其中q＞0為一正數(shù).

2　平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

設(shè)E*（T*,I*,V*）為任意平衡點(diǎn).則系統(tǒng)（1）在E*的特征方程為∶

顯然,當(dāng)R0≤1時(shí),無病平衡點(diǎn)E1穩(wěn)定.當(dāng)R0＞1時(shí),E1不穩(wěn)定,地方病平衡點(diǎn)E2存在.對于平衡點(diǎn)E2,,）,（2）式可化簡為λ3＋a1λ2＋a2λ＋a3＝0,其中∶

如果M0＞0,則有a1＞0,a2＞0,a3＞0.同樣a1a2-a3＞0,可得.由Routh-Hurwits判據(jù),可得下面的定理.

定理1當(dāng)R0＞1且M0＞0時(shí),正平衡點(diǎn)E2局部漸近穩(wěn)定.

3　正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

定理2當(dāng)R0＞1,a

這個(gè)定理的證明與參考文獻(xiàn)［4］的定理2.1和4.2相似.只要能夠證明系統(tǒng)（1）有穩(wěn)定的周期軌道就可證明定理2了.

命題1當(dāng)a

其中A＝a-d-2aT/Tmax-βqTqV,于是可得DF的第二加性復(fù)合矩陣為∶

要想證明（3）式是漸近穩(wěn)定的,要利用LyaPunov函數(shù),這個(gè)函數(shù)類似于參考文獻(xiàn)［6］中關(guān)于SEIR模型的一個(gè)函數(shù)∶

其中‖·‖是R3中的范數(shù),定義為‖（ω1,ω2,ω3）‖＝suP{|ω1|,|ω2＋ω3|}.

因此有下面不等式∶

由（4）式可得∶

由系統(tǒng)（1）可把（6）式變?yōu)椤?/p>

如果a-d-2aT/Tmax＋δ＞0,則G1＝c-a＋d＋2aT/Tmax,那么g2（t）＝a-d-2aT/Tmax＋I(xiàn)./I,因此∶

如果a-d-2aT/Tmax＋δ≤0,則G1＝c＋δ,那么g2（t）＝-δ＋I(xiàn)./I,因此∶

取μ＝min{d-a,δ},由（7）式和（8）式可得suP{g1（t）,g2（t）}≤-μ＋I(xiàn)./I由Gronwwa11不等式,可得L（t）≤L（0）I（t）e-μt≤L（0）M1e-μt也就是說,當(dāng)t→＋∞時(shí)L（t）→0,因此（ω1（t），ω2（t），ω3（t））→0.

這表明線性系統(tǒng)（3）是漸近穩(wěn)定的,而且它的周期軌道是軌道漸近穩(wěn)定的.命題1證畢.說明定理2成立.

4　數(shù)值模擬

在系數(shù)的變化范圍內(nèi),當(dāng)s＝5,d＝0.32,a＝0.3,β＝0.000 2,Tmax＝1 200,ρ＝0.01,δ＝1，p＝800,c＝5,q＝0.98 時(shí),定理2的條件滿足,系統(tǒng)（1）的正平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定.

圖1　系統(tǒng)（1）的正平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的

參考文獻(xiàn)：

［1］董俊,張廣軍,姚宏,等,一類具有雙線性傳染率的HIV/AIDS病毒動力學(xué)改進(jìn)模型［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2012,42（16）∶151-157.

［2］Cai Lim ing,Fang Bin,Li Xuezhi.A note of a staged Progression HIV mode1with imPerfect vaccine［J］.APP1ied Mathematics and ComPutation,2014（234）∶412-416.

［3］Wang Xia,Ahmed E1aiw,Song Xinyu.G1oba1ProPerties of a de1ayed HIV infection mode1with CTL immune resPonse［J］.APP1ied Mathematics and ComPutation,2012（218）∶9405-9414.

［4］Hirsch MW.System of differentia1equationswhich are comPetitive of cooPerative［J］.Mathematica1Ana1ysis and APP1ications, 1990（21）∶1225-1234.

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（責(zé)任編輯：邵曉軍）

中圖分類號：O414.1

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1007-5348（2015）10-0001-04

［收稿日期］2015-05-07

［基金項(xiàng)目］國家自然科學(xué)基金（11271314）；河南省自然科學(xué)基金（144200510021）.

［作者簡介］郭樹敏（1980-）,女,河南信陽人,韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師,博士；研究方向∶生物數(shù)學(xué).

Analysls of HIV EPldemlc Mode lw lth Nonllnear Infectlon Rate and Cure Rate

GUO Shu-min1,LIXue-zhi2
（1.Schoo1ofMathematics and statistics,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China；2.Schoo1of Mathematics and Physics,Anyang Institute of Techno1ogy,Anyang 455000,Henan,China）

Abstract:It iswe11known that themathematica1mode1s Provide very significant information for the research of human immunodeficiency HIV-1and HCV.However,the infection rate of near1y a11mathematica1mode1s is 1inear which shows the simP1e interaction between the T ce11s and the vira1Partic1es.It has Practica1significance to study a traditiona1mathematica1mode1with non1inear infection rate.Itobtained some sufficient conditions on the Parameters for the g1oba1 stabi1ity of the infected equi1ibrium state,and the infection-free equi1ibrium state are given.Numerica1simu1ations are Presented to i11ustrate the resu1ts.

Key words:non1inear incidence；g1oba1stabi1ity；HIV