陳國新，陳生昌，任浩然，王漢闖，周華敏

（浙江大學 地球科學系，浙江 杭州，310027）

逆時偏移最早由Whitmore［1］在1982 年第53屆地球物理勘探工作者學會（society of exploration geophysicists，SEG）上提出，相對于單程波偏移、Kirchhoff偏移，在解決多路徑、大傾角、多次波和保幅等重要問題上具有不可比擬的優(yōu)勢，所以得到了廣泛的研究與關(guān)注.目前困擾逆時偏移應(yīng)用到實際數(shù)據(jù)處理的瓶頸是巨大的計算與存儲量，以及低頻噪音的干擾.其中逆時偏移巨大的計算量與炮道集個數(shù)有關(guān)，炮道集個數(shù)越多則計算效率就越低，另外邊界反射的處理也會增加逆時偏移計算量.

在保證成像質(zhì)量的前提下減少炮道集數(shù)可以提高逆時偏移計算效率.Berkhout［2］提出的面炮偏移技術(shù)，把震源和記錄進行線性疊加，然后利用合成數(shù)據(jù)進行偏移成像，相對于常規(guī)的單炮偏移方法顯著的降低了計算量，實質(zhì)上是一種基于平面波合成的偏移方法.很多學者從不同的角度對平面波做了大量的研究工作，張叔倫等［3］利用傅里葉有限差分延拓算子，提高了平面波偏移的計算精度，陳生昌等［4］證明了共炮點與共偏移距平面波偏移的等價性，韓利等［5-6］實現(xiàn)了VTI、TTI介質(zhì)隱式有限差分平面波偏移，葉月明等［7］將平面波偏移應(yīng)用到起伏地表資料中.類似于平面波偏移，改變地震數(shù)據(jù)的線性疊加方式則可得到不同的偏移方法，例如對炮集與道集記錄進行隨機延遲疊加就可以得到隨機合成數(shù)據(jù)偏移方法［8］.陳生昌等［9］根據(jù)地震波場的線性疊加理論和地震數(shù)據(jù)采集過程中地下響應(yīng)的時不變特性，將地震數(shù)據(jù)的共炮道集平面波合成、控制照明、相位編碼與小波束偏移中的局部道集合成歸結(jié)到統(tǒng)一的道集數(shù)據(jù)線性合成框架下，提出了對地震數(shù)據(jù)及其震源進行線性疊加的一般性方案，即地震數(shù)據(jù)廣義合成方法.

逆時偏移在時間域，頻率域均可實現(xiàn)，頻率域相對于時間域具有計算高效，數(shù)據(jù)選擇靈活，易于構(gòu)造PML邊界條件，不存在時間頻散和累積誤差的優(yōu)勢［10-12］.Jo等［13］提出的旋轉(zhuǎn)坐標系的九點差分格式以及Shin等［14-16］在此基礎(chǔ)上推廣得到的更精確的差分格式，解決了頻率域的正演計算問題.頻率域正演算法的計算量集中在求解一個規(guī)模巨大的帶狀方程組上，任浩然等［17］利用矩陣壓縮存儲技術(shù)大幅度減少了算法的計算與存儲量，降低了算法對數(shù)據(jù)規(guī)模大小的限制.Loewenthal等［18］最早實現(xiàn)了頻率空間域的逆時偏移，Mulder等［19-20］］提出了頻率空間域保幅偏移以及計算頻率的選擇方法，Kim 等［21］則給出了頻率空間域逆時偏移中的震源子波估計算法，Ren 等［22］在頻率空間域?qū)崿F(xiàn)了最小二乘偏移.

本文在地震數(shù)據(jù)廣義合成理論基礎(chǔ)上，利用合成數(shù)據(jù)實現(xiàn)了頻率空間域基于地震數(shù)據(jù)廣義合成的逆時偏移，將逆時偏移計算效率提高到了1.5～3倍，引入了PML邊界條件消除邊界反射，利用帶有振幅與頻率補償?shù)睦绽篂V波方法消除了偏移結(jié)果中的低頻噪音.通過對簡單的二維凹陷模型以及Marmousi模型進行模擬試驗，證明了本文方法的正確與高效性.

1 方法原理

1.1 地震數(shù)據(jù)廣義合成

共炮點道集數(shù)據(jù)與野外采集數(shù)據(jù)一致，符合波場傳播的物理過程，是當前地震數(shù)據(jù)疊前深度偏移成像中最為常用的一種數(shù)據(jù)道集.當滿足對于不同時間激發(fā)的震源地下系統(tǒng)有相同的響應(yīng)函數(shù)這一條件時，共炮點道集的波場滿足線性疊加原理.

對于一個二維數(shù)據(jù)道集，設(shè)深度為z的觀測面上存在頻率域共炮道集波場數(shù)據(jù)u（sx，gx，z，ω），sx為炮點坐標，gx為檢波器坐標，ω 為頻率，根據(jù)陳生昌提出的地震數(shù)據(jù)廣義合成理論，地震記錄廣義合成可以表示為以下線性積分：

式中：k（ξx，sx，z；ω） 為地震數(shù)據(jù)廣義合成的核函數(shù)，（ξx，gx，z；ω） 為共炮點地震記錄的廣義合成地震記錄.若與各個共炮點道集所對應(yīng)的震源波場具有相同的頻譜特性S（ω） ，則深度z 上的震源波場可表示為

利用相同的核函數(shù)k（ ξx，sx，z；ω） ，同理可得到地震震源的廣義合成（ξx，sx，z；ω）

廣義合成道集與震源是將多個共炮點道集地震記錄數(shù)據(jù)與地震震源分別進行線性疊加而得到合成地震記錄與合成震源，而疊加的方式由核函數(shù)來決定.不同的核函數(shù)對應(yīng)著不同的線性疊加方法，也就得到不同的廣義合成數(shù)據(jù).具體而言，當

則式（1） 、（3） 就是平面波數(shù)據(jù)合成，其中psx為x 方向的平面波參數(shù)，不同的平面波參數(shù)對應(yīng)著不同的平面波數(shù)據(jù)道集.當

式中：tr（sx）為 炮 點位 置 上 的 時 間 隨機 函 數(shù)，則式（1），（3）就是共炮點道集地震數(shù)據(jù)與震源經(jīng)隨機合成得到的隨機合成道集與隨機合成震源.當然，除了上述2種線性疊加方法，核函數(shù)還有其他很多種取法，如當核函數(shù)取為高斯窗口函數(shù)與平面波函數(shù)的乘積就可得到束地震數(shù)據(jù)合成.

1.2 地震數(shù)據(jù)廣義合成的頻率空間域逆時偏移

1.2.1 頻率空間域有限差分數(shù)值模擬 根據(jù)線性疊加原理，基于廣義合成數(shù)據(jù)的逆時偏移與常規(guī)的共炮道集逆時偏移相同，利用正演算子正向外推廣義合成震源數(shù)據(jù)得到正演波場，然后將廣義合成道集數(shù)據(jù)反向傳播，應(yīng)用互相關(guān)成像條件得到偏移結(jié)果.所以要得到一個好的偏移結(jié)果首先要解決好波場的傳播問題.波場傳播既可以放在時間空間域，也可以在頻率空間域進行.相對于前者，后者不涉及時間差分近似所以不存在時間頻散問題，可以靈活地選擇計算頻帶并且不同頻率的系數(shù)矩陣相對獨立，便于實現(xiàn)多頻率并行運算以便提高計算效率.

頻率域的二維聲波方程可寫為

式中：u （x ，z，ω） 為頻率域波 場 值，v （x ，z） 為 介 質(zhì) 中聲波傳播速度，xs，zs是震源在觀測系統(tǒng)中的坐標位置.求解方程（6）一般采用有限元或有限差分法.Pratt等［23］最早提出了二階差分離散方法，即5 點差分格式，精度較差，每個波長需要13個網(wǎng)格點才能將相速度誤差控制在1%以內(nèi)，Jo通過結(jié)合45°旋轉(zhuǎn)坐標系和質(zhì)量加速項優(yōu)化提出了優(yōu)化9點差分格式，每個波長只需要4個網(wǎng)格就可以使相速度誤差控制在1%以內(nèi)，隨后Jo的思想被廣泛推廣，從優(yōu)化9點差分格式發(fā)展到優(yōu)化25點差分格式，計算精度有了進一步的提高，每個波長網(wǎng)格數(shù)可以下降到2.5，但是相應(yīng)的矩陣存儲要求也隨即增大，權(quán)衡計算精度與算法存儲，本文采用Jo的優(yōu)化9點差分格式求解方程（6）.

消除邊界反射是波場正演模擬中一個重要的問題.由Berenger［24］提出 的PML 邊界條件的吸收效果要好于旁軸近似與海綿吸收邊界條件，而且在頻率域構(gòu)造帶PML 邊界條件的波動方程也十分方便，二維頻率域帶PML 邊界條件的聲波波動方程可寫為

式中：ex，ez為邊界衰減函數(shù)，以ex為例，ex＝1-d （x） ，其中 d （x） 為衰減因子，則

式中：a0為一常數(shù)，一般取經(jīng)驗值1.79，f0為震源主頻，Lp為PML邊界厚度，xi為PML邊界條件內(nèi)某點與內(nèi)層邊界的x 方向距離.

利用Jo的優(yōu)化9點差分格式，則式（7）可寫為波動方程的矩陣表達式：

若波場模擬空間大小為Nx×Nz＝N，則A （v ，ω） 是大小為N×N，與模型的物性參數(shù)，所選用的差分格式以及邊界條件相關(guān)的阻抗矩陣.U（ω） 是某個頻率下模型空間中所有網(wǎng)格點上的頻率域波場值構(gòu)成的N×1的列向量，S（ω） 則是在頻率域中震源所構(gòu)成的N×1的列向量.對于地震數(shù)據(jù)廣義合成偏移，只需要分別將S（ω） 取值為廣義合成震源數(shù)據(jù)和廣義合成道集數(shù)據(jù)，然后求解方程（9）就可以分別得到頻率空間域的正演波場值以及反向傳播波場值.

方程（9）主要有2種求解方法：因式矩陣LU 分解直接解法與迭代法.迭代法對計算機存儲要求較低，但其不便于并行運算，而且需要預(yù)處理以保證算法的收斂性.制約直接解法應(yīng)用的是大型矩陣A （v ，ω） 的LU 分 解，直 接 對 矩 陣A （v ，ω） 進 行 分 解需要相當大的計算量與存儲空間，而利用稀疏對稱矩陣的壓縮存儲技術(shù)，可以將矩陣A （v ，ω） 壓縮存儲成N×9大小，分解得到的L、U 矩陣壓縮為N×（2 ＋Nx）大小.這樣不僅減少了算法所需要的存儲空間，并且減少了因式矩陣的帶寬，而因式矩陣帶寬直接關(guān)系著因式矩陣LU 分解計算量的大小，從而顯著的提高了計算效率.直接求解法的絕大部分計算量分布在對矩陣A （v ，ω） 的LU 分解上，完成LU分解后，對頻率ω 進行并行運算，重復利用L、U 矩陣，則只需要增加很少的計算量就可以完成波場的正向與反向傳播，使得算法具有很高的計算效率.

式中：?表示取實部，＊表示復共軛運算，Nω表示計算的頻率總個數(shù).

低頻噪音是除了計算與存儲之外另一個制約逆時偏移廣泛應(yīng)用的問題.低頻噪音產(chǎn)生的機制在于根據(jù)互相關(guān)成像條件，空間中凡是滿足成像條件的位置都可成像，而逆時偏移采用雙程波波動方程，震源波場和檢波波場在傳播過程中若遇到強波阻抗界面則會產(chǎn)生背向反射，這些背向反射的震源波場與檢波波場參與到成像中會導致成像結(jié)果中出現(xiàn)傳播方向相反的波前面的互相關(guān)結(jié)果，其對應(yīng)的波矢量的夾角很大，接近或等于180°，是沒有物理意義的成像結(jié)果，集中表現(xiàn)為低頻噪音［25］.

根據(jù)低頻噪音的產(chǎn)生機制，目前消除低頻噪音的方法主要分為3大類：1）波場傳播過程中去噪；2）應(yīng)用成像條件去噪；3）成像后濾波法去噪.前2種去噪方法要么需要增加額外的計算量，要么應(yīng)用范圍具有很大的局限性，而成像后濾波去噪法不需要改變波動方程與成像條件，只是對成像結(jié)果進行濾波處理，簡單易行而且應(yīng)用范圍廣.這類方法主要包括高通濾波，導數(shù)濾波與拉普拉斯濾波方法.高通濾波簡單易行但是無法徹底消除低頻噪音，而且還會破壞波場的低頻信息，導數(shù)濾波會改變波場相位，引入高頻噪音.拉普拉斯濾波就是直接將拉普拉斯算子作用在成像結(jié)果I （x ，z） 上，即

式中：Il（x ，z） 為I （x ，z） 經(jīng)過 拉 普 拉 斯 濾 波 之 后 得到的成像結(jié)果.張宇等［26］給出了拉普拉斯濾波更直觀的物理意義，在波數(shù)域拉普拉斯算子有以下的等價形式：

對偏移結(jié)果做拉普拉斯濾波就相當用cos2θ對成像剖面進行角度衰減，衰減掉震源波場與檢波波場波矢量夾角為超大角度時兩者互相關(guān)得到的成像結(jié)果，從而消除低頻噪音.但是若對成像結(jié)果直接做拉普拉斯濾波，式（12）右端項中的4／v2與-ω2分別會對偏移剖面振幅與頻率成分產(chǎn)生影響.在頻率空間域做逆時偏移很容易消除這些影響，即在對所有單個頻率的偏移結(jié)果做疊加之前先對偏移成像結(jié)果進行-1／ω2的頻率補償，再進行疊加求和，然后對疊加結(jié)果進行拉普拉斯濾波，完成濾波之后將偏移結(jié)果乘上v2／4做振幅補償.加入振幅與頻率補償后的拉普拉斯濾波可以很好地去除偏移剖面低頻噪音，而且保證了偏移結(jié)果幅值的正確性，數(shù)值試驗結(jié)果也對該方法的實用效果進行了驗證.

基于地震數(shù)據(jù)廣義合成的逆時偏移方法除了低頻噪音，還存在不匹配的震源波場與道集波場相互作用產(chǎn)生的交叉噪音（Cross-talk），要消除交叉噪音除了選擇好的廣義合成函數(shù)，最簡單有效的方法就是增加廣義合成數(shù)據(jù)的個數(shù)，然后將不同的合成數(shù)據(jù)偏移結(jié)果進行疊加以壓制交叉噪音.對于平面波偏移，Liu等［27］證明了當平面波個數(shù)達到一定數(shù)量時平面波偏移可以達到常規(guī)偏移結(jié)果的效果，而張宇等［28］則給出了使平面波偏移達到常規(guī)炮偏移結(jié)果效果的最小平面波個數(shù)的計算公式：

式中：Ns為共檢波點道集的炮數(shù)，Δxs為炮間距，NsΔxs對應(yīng)的是共檢波點道集長度，f＝w／2π，α1，α2為入射角，vs為地表速度.從式（13）可以看出，如果地震數(shù)據(jù)的頻率較低時不需要太多的平面波，而根據(jù)速度模型中速度變化情況調(diào)節(jié)入射角范圍也可降低平面波個數(shù)，例如當?shù)叵陆橘|(zhì)速度隨深度變化劇烈時入射角不宜過大，因為入射角過大的平面波在傳播過程中更易發(fā)生全反射而使波無法達到預(yù)定深度.對于隨機合成數(shù)據(jù)逆時偏移，Godwin等［29］指出增加合成數(shù)據(jù)個數(shù)同樣可以壓制交叉噪音，但是不同于平面波偏移，由于隨機合成數(shù)據(jù)的隨機性導致增加數(shù)據(jù)合成個數(shù)無法完全消除交叉噪音.廣義合成數(shù)據(jù)個數(shù)的增加會導致計算量的增加，所以最終的合成數(shù)據(jù)量要在計算量與成像質(zhì)量之間做權(quán)衡.

2 數(shù)值試驗

為了驗證廣義合成數(shù)據(jù)在頻率空間域的逆時偏移效果，用一個凹陷速度模型進行檢驗.模型網(wǎng)格大小為100×100，縱橫網(wǎng)格間距均為5m，地表放炮共100炮，炮間距5m，道間距5m，第一炮位于坐標原點，利用主頻為30 Hz的雷克子波，地表全孔徑接收.時間采樣間隔為1ms，采樣點數(shù)為800.速度模型如圖1（a）所示，3層速度分別為2 000、3 000和4 500m／s.

在此速度模型上分別進行常規(guī)共炮點道集頻率空間域逆時偏移，平面波逆時偏移和隨機合成數(shù)據(jù)逆時偏移，PML 邊界條件的吸收衰減層厚度為30個網(wǎng)格點，計算頻率范圍為5～35 Hz，其中平面波與隨機合成數(shù)據(jù)個數(shù)均為11個（其中平面波參數(shù)為

并利用帶有振幅和頻率補償?shù)睦绽篂V波處理低頻噪音，偏移結(jié)果分別為圖1（b），（c），（d）所示.從計算效率上來講，常規(guī)共炮點道集偏移方法需要計算100個單炮偏移結(jié)果然后疊加，利用頻率并行運算，總計算時間為246.3s.而利用廣義數(shù)據(jù)合成偏移方法只需要11個合成數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)合成用時8.9s，偏移計算用時61.9s，總計算時間是常規(guī)炮偏移方法的28.7%，計算效率提高了將近3倍.比較圖（b）與（c）可以發(fā)現(xiàn)利用平面波進行偏移不僅計算效率高，而且在強反射界面處如凹陷底部的噪音甚至要比常規(guī)共炮點逆時偏移方法更少，這是因為平面波偏移不存在常規(guī)偏移方法偏移孔徑的問題.而隨機合成偏移方法也可以得到與常規(guī)偏移方法基本等效的成像結(jié)果，只是該偏移方法成像結(jié)果中的交叉噪音具有隨機性，單純增加合成數(shù)據(jù)個數(shù)也無法完全壓制掉，偏移效果要稍差于平面波逆時偏移.

圖1 凹陷模型數(shù)值試驗Fig.1 Numerical experiments on Sag velocity model

為了進一步檢驗頻率空間域中廣義合成數(shù)據(jù)的偏移效果，本文將該算法應(yīng)用到Marmousi速度模型，該速度模型非常復雜，其地質(zhì)背景是安哥拉Quenguela地槽的一個剖面.截取速度模型一部分并對速度模型進行5m×5m 的網(wǎng)格重采樣，模型網(wǎng)格大小為240×250，共240 炮，第1 炮點位置位于坐標原點.如圖2所示為重采樣后的速度模型.利用PML邊界條件，邊界厚度為30 個網(wǎng)格點，計算頻率為5～45 Hz.利用頻率并行運算，常規(guī)共炮點道集偏移總計算時間為2 391.6s.平面波與隨機合成數(shù)據(jù)個數(shù)均為31（pmin＝-1.5×10-4s／m ，pmax＝1.5×10-4s／m，dp＝10-5s／m ），數(shù) 據(jù) 合 成 時 間89.1s偏移計算時間為840.7s，總計算時間為常規(guī)偏移方法的38.8%，計算效率提高了1.5 倍.對應(yīng)的偏移結(jié)果分別為如圖3、4、5所示，比較圖3與4，雖然平面波偏移的炮道集數(shù)只有常規(guī)共炮點道集偏移方法的1／8，但是偏移結(jié)果與常規(guī)偏移結(jié)果基本一致，不僅清晰正確地顯示出了強反射界面，對于細微的速度變化區(qū)域也有很好的勾勒.相比較常規(guī)偏移與平面波偏移，隨機合成數(shù)據(jù)偏移效果相對較差，尤其是在淺層因為覆蓋次數(shù)較少，隨機交叉噪音沒有得到很好的壓制，但是成像結(jié)果也可以達到實用的要求.為了更清楚的對比3種方法得到的偏移效果，特別的抽取3個偏移結(jié)果中的第100道數(shù)據(jù)進行對比（見圖6）.從單道的波形圖上可以看出，平面偏移結(jié)果與常規(guī)炮偏移結(jié)果不論是在波形上還是在振幅上都能夠很好的一一對應(yīng)，顯示出了平面波偏移方法的高效與準確.隨機時間合成數(shù)據(jù)偏移結(jié)果除了表層的波形存在畸變外（圖6（C）圓圈標記區(qū)域），其他區(qū)域振幅與波形也能夠與前2個偏移結(jié)果很好的對應(yīng).而且在處理實際生產(chǎn)中的數(shù)據(jù)時，淺層的交叉噪音會被數(shù)據(jù)自身所帶的噪音所掩蓋.

3 結(jié) 語

地震數(shù)據(jù)廣義合成及其逆時偏移成像是平面波偏移，隨機合成數(shù)據(jù)偏移等基于線性疊加原理減少炮道集數(shù)的偏移方法在數(shù)學上的抽象與推廣.改變合成函數(shù)的形式可以得到基于不同線性疊加方法的合成數(shù)據(jù)，使得發(fā)展出更高效準確、更具針對性的波動方程疊前逆時偏移成為可能.綜合利用地震數(shù)據(jù)廣義合成與頻率空間域的計算優(yōu)勢將逆時偏移的計算效率提高了1.5～3倍，通過引入PML邊界條件與帶有振幅和頻率補償?shù)睦绽篂V波方法使得偏移結(jié)果質(zhì)量得到了很好的保證，能夠達到與常規(guī)頻率空間域逆時偏移基本等效的成像效果.其中平面波數(shù)據(jù)逆時偏移不存在隨機合成數(shù)據(jù)逆時偏移中的隨機交叉噪音，成像效果更好.

圖2 重采樣后的Marmousi速度模型Fig.2 Marmousi velocity model after resampling

圖3 常規(guī)共炮點道集逆時偏移方法的偏移結(jié)果Fig.3 Result of conventional common-source gathers reverse-time migration

圖4 平面波逆時偏移結(jié)果Fig.4 Result of plane-wave reverse-time migration

圖5 隨機合成數(shù)據(jù)逆時偏移結(jié)果Fig.5 Result of random synthetic reverse-time migration

圖6 不同偏移方法得到的偏移結(jié)果的第100道波形圖對比Fig.6 Comparison of 100th channel’s amplitude of different migration results

針對不同地震數(shù)據(jù)特征發(fā)展更好的合成函數(shù)是進一步提高逆時偏移計算效率和偏移成像質(zhì)量的有效途徑.另外目前頻率空間域的正演方法還缺乏高效的高階差分格式，要保證計算精度則模擬網(wǎng)格間距不能太大，限制了頻率空間域逆時偏移的應(yīng)用范圍，所以發(fā)展具有較高計算效率的高階頻率空間域有限差分算法也是未來一個重要的研究方向.

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