李文生

(福建省連城一中)

在數(shù)學(xué)的知識(shí)和技能中，蘊(yùn)含著具有普遍性的數(shù)學(xué)思想，它是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法產(chǎn)生的根本源泉，對(duì)數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向更深層次的一個(gè)標(biāo)志，它能指導(dǎo)我們有效地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，探尋解題方向.

數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)部或者不同的數(shù)學(xué)對(duì)象之間，往往會(huì)以某種形式相互聯(lián)系，在一定的條件下能夠相互轉(zhuǎn)化，針對(duì)面臨的數(shù)學(xué)問題，實(shí)施或轉(zhuǎn)化問題的條件，或轉(zhuǎn)化問題的結(jié)論或轉(zhuǎn)化問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，或轉(zhuǎn)化問題的外部表現(xiàn)形式等行動(dòng)策略去解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，能促進(jìn)問題的解決，可以說，數(shù)學(xué)解題的過程就是不斷化歸與轉(zhuǎn)化的過程.

在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決問題的過程中，對(duì)于一時(shí)難以解決的問題，可運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想經(jīng)過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問題化歸為一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題.而導(dǎo)數(shù)綜合問題的主要類型有：

(1)不等式的恒成立問題；(2)證明不等式問題；(3)方程的求解問題.

通常，應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化思想解決導(dǎo)數(shù)的綜合問題時(shí)有一個(gè)基本的解題思路，即：將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；將證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問題；將方程的求解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題、兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題等.

為了完成上述轉(zhuǎn)化，要把握兩個(gè)關(guān)鍵：(1)針對(duì)問題的需要，合理地構(gòu)造函數(shù)，找到問題轉(zhuǎn)化的突破口；(2)通過“再構(gòu)造、再求導(dǎo)”，實(shí)現(xiàn)問題的深度轉(zhuǎn)化.

下面通過具體例題，對(duì)上述兩個(gè)關(guān)鍵進(jìn)行一些探究.

問題一：怎樣合理構(gòu)造函數(shù)

1.先分離參數(shù)后再構(gòu)造函數(shù)

例1.已知函數(shù)f(x)=lnx，對(duì)任意的a∈［-1，0)，若不等式f(x)<在x∈(0，1］上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【分析】這是不等式的恒成立問題.

2.將不等式兩邊作差后再構(gòu)造函數(shù)

需要補(bǔ)充說明的是：如果先分離參數(shù)后對(duì)應(yīng)的函數(shù)不便于求解其最值，或者求解其函數(shù)最值繁瑣時(shí)，可采用直接構(gòu)造函數(shù)的方法，也就是將不等式兩邊作差后再構(gòu)造函數(shù).

例2.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)，g(x)=xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f(x)≥ag(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-1，+∞)B.(0，+∞)C.(-∞，0)D.(-∞，-1)

【分析】不等式 f(x)≥ag(x)恒成立，可先構(gòu)造函數(shù) φ(x)=，再研究函數(shù)φ(x)≥0時(shí)參數(shù)a的取值范圍.

①當(dāng) a≤1時(shí)，φ′(x)≥0(當(dāng)且僅當(dāng) x=0，a=1時(shí)等號(hào)成立)，則φ(x)在［0，+∞)上單調(diào)遞增，又 φ(0)=0，即 φ(x)≥0 在［0，+∞)上恒成立.

②當(dāng) a>1 時(shí)，對(duì) x∈(0，a-1)，有 φ′(x)<0，則 φ(x)在(0，a-1)上單調(diào)遞減，

∴φ(a-1)<φ(0)＝0 即 a>1 時(shí)，存在 x>0，使 φ(x)<0，可知 ln(x+不恒成立.

3.抓住常規(guī)基本函數(shù)，變形后構(gòu)造新函數(shù)

現(xiàn)兩邊同時(shí)除以ex得由于這時(shí)不等式兩邊的函數(shù)都是由常規(guī)基本函數(shù)組成，因此，可分別構(gòu)造如下兩個(gè)函數(shù)：時(shí)，g′(x)＜0，當(dāng)時(shí)，g′(x)＞0，故 g(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增的最小值為同理，可求得 h(x)在(0，+∞)的最大值為

綜上，當(dāng) x＞0 時(shí)，g(x)＞h(x)，即 f(x)＞1

點(diǎn)評(píng)：一次函數(shù)、二次函數(shù)、指對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、簡(jiǎn)單的分式根式函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)的圖象力求清晰準(zhǔn)確，一些綜合性的問題基本上是這些函數(shù)的組合體，如果適當(dāng)分解和調(diào)配就一定能找到問題解決的突破口，使問題簡(jiǎn)單化、明確化.

問題二：如何再次構(gòu)造新函數(shù)，實(shí)現(xiàn)“二次求導(dǎo)”

在求導(dǎo)的過程中，常常會(huì)發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)大于0或小于0時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量取值無(wú)法確定，這時(shí)可考慮再次構(gòu)造新函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)“二次求導(dǎo)”.

例4.(2013年河南開封市四模)已知函數(shù)f(x)=ax2-x(a≠0)，g(x)=lnx.

若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

評(píng)注:本題通過轉(zhuǎn)化，使求解a的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，再利用函數(shù)的連續(xù)性，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.在對(duì)本題解法的探究中，轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，構(gòu)造函數(shù)是途徑，“二次求導(dǎo)”是方法和策略.

綜上所述，通過構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)這一研究函數(shù)的有力工具，能夠使解題思路自然流暢、過程清晰，正是應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化這一重要數(shù)學(xué)思想在解題中具有普遍指導(dǎo)意義的有力體現(xiàn)。其中構(gòu)造函數(shù)的方式、方法是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的重要途徑，雖是“小構(gòu)造”但體現(xiàn)了解題的“大智慧”.平時(shí)教學(xué)中，特別是高考總復(fù)習(xí)中，應(yīng)加強(qiáng)化歸與轉(zhuǎn)化思想的滲透，強(qiáng)化訓(xùn)練，從而有效地提高學(xué)生解題的能力.