羅見今

（內(nèi)蒙古師范大學(xué) 科學(xué)技術(shù)史研究院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

晚清數(shù)學(xué)家戴煦對正切數(shù)的研究
——兼論正切數(shù)與歐拉數(shù)的關(guān)系

羅見今

（內(nèi)蒙古師范大學(xué) 科學(xué)技術(shù)史研究院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

晚清數(shù)學(xué)家戴煦在《外切密率》中用遞歸法同時定義了正切數(shù)和歐拉數(shù)，在世界數(shù)學(xué)史上是一重要創(chuàng)新，提醒人們注意兩者間的“對稱”關(guān)系。揭示戴煦成果的意義，特別對西方數(shù)學(xué)史上研究較少的正切數(shù)作拓展研究，從遞歸函數(shù)、特殊函數(shù)和計數(shù)函數(shù)的角度，闡明正切數(shù)的性質(zhì)及其與歐拉數(shù)的關(guān)系，在經(jīng)典領(lǐng)域獲得40多個新公式，這些遲到的認(rèn)識顯示出東西方文化背景下數(shù)學(xué)研究的差異性。

晚清數(shù)學(xué)家；戴煦；正切數(shù)；歐拉數(shù)；遞歸函數(shù)；特殊函數(shù)；計數(shù)函數(shù)

清代晚期，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在經(jīng)歷了長期緩進的寂寞之后開始復(fù)蘇，在西學(xué)東漸的浪潮沖擊下，中算內(nèi)部，業(yè)已醞釀著向變量數(shù)學(xué)的過渡。對無窮級數(shù)、垛積差分等的研究，集中了不少中算家的興趣。這些屬于微積分創(chuàng)始前期的工作，總的來看，不能與當(dāng)時大踏步前進的西方數(shù)學(xué)相提并論；但是，中算家們利用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的工具，發(fā)揮了自己的長處，窮思極慮，走出一條富有個性色彩的道路，那就是用離散的手段處理連續(xù)的對象，把整體上無限的問題，轉(zhuǎn)化為局部有限次求解，從而得到用微積分工具所得到的類似的結(jié)果。對分析學(xué)而言，他們所獲得的大批復(fù)雜的級數(shù)展開式似乎不具有基本的重要性，然而從離散數(shù)學(xué)的觀點來看，計算過程中為求展開式各項系數(shù)而歸納出的大量計算規(guī)律、互反關(guān)系等，至今在組合數(shù)學(xué)計數(shù)理論中足資借鑒，值得研究［1-3］。

戴煦（1805—1860），字鄂士，號鶴塾，浙江錢塘（今杭州市）人。他在《外切密率》卷四（1852）中主要研究了tanα、secα及其反函數(shù)的無窮級數(shù)。在數(shù)學(xué)史上，這些展開式最早由蘇格蘭數(shù)學(xué)家格列高里（James Gregory，1638—1675）給出，但戴煦使用了具有特色的方法。本文研究戴煦在《外切密率》中獨創(chuàng)的幾種計數(shù)函數(shù)（counting function），討論卷一“本弧求切線各率分子”——即正切數(shù)（tangent numbers），記作Tn：T1=1，T2=2，T3=16，T4=272，…，涉及卷二“本弧求割線各率分子”——即歐拉數(shù)（Euler numbers①本文所指歐拉數(shù)在正割secx的泰勒級數(shù)中出現(xiàn)，組合數(shù)學(xué)所用，非拓?fù)鋵W(xué)和流體力學(xué)中的歐拉數(shù)。），記作En。以歷史研究為出發(fā)點，本文重點證明Tn是一種被忽略了的特殊函數(shù)，Tn和En具有同樣優(yōu)秀的性質(zhì)，而在文末引用史料闡述Tn和En在組合數(shù)學(xué)排列理論中的意義。

1　正切數(shù)與歐拉數(shù)：遞歸定義和性質(zhì)分析

《外切密率》卷一的“本弧求切線各率分子”Tn，另外還叫作“遞次乘法”或“各率乘法”。戴煦詳述了求“遞次乘法”的過程［4］：

先乘各率分子為遞次乘法。以二為數(shù)根，即為第一乘法（T2=2）。置前數(shù)根加二得四，為數(shù)根，置前乘法，四、五遞乘之，一、二遞除之，得二十，為初減數(shù)。數(shù)根減初減，得十六，為第二乘法（T3=16）。置前數(shù)根加二得六，為數(shù)根，置前初減，六、七遞乘之，三、四遞除之，得七十，為初減數(shù)。置前乘法，六、七遞乘之，一、二遞除之，得三百三十六，為次減數(shù)。數(shù)根減初減，得六十四，再減次減，得二百七十二，為第三乘法（T4=272）?！闷咔Ь虐偃?，為第四乘法（T5=7936）。凡數(shù)根均起各偶數(shù)，其求各減數(shù)，則用偶奇二數(shù)乘，而逐次乘法遞加（如第二乘法用四、五乘，第三乘法六、七乘），再用奇偶二數(shù)除而挨次減數(shù)遞降（如第三乘法初減用三、四除，次減一、二除），乘法降一位則多一減，如是遞求得各率分子，即為遞次乘法。

表1　推演本弧求切線總圖同母式數(shù)表

表1　推演本弧求切線總圖同母式數(shù)表

m=0123456 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 1 11 132 152 0 16 177 0 336 272 196 8 2 016 9 792 7 936 11 1 330 7 392 89 760 436 480 353 792

表2　推演本弧求切線總圖商實數(shù)表

表2　推演本弧求切線總圖商實數(shù)表

m= n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 01 101 2012 30141 6 40166 4 272 5018 160 1 856 7 936 6011 0 320 7 072 82 688 353 792

從數(shù)表中可以看出，數(shù)Tn處于表1和表2的對角線上，說明由和可以求出Tn，或者說數(shù)Tn是同母式數(shù)或商實數(shù)當(dāng)n=m時的特例?？蓮男再|(zhì)分析中得到證明。

證明見下式。

證畢。

這是數(shù)Tn的遞推公式，給出tanα展開式各項分子Tn間的關(guān)系，可代替定義1之（ii）。

證畢。

戴氏創(chuàng)造的這兩種計數(shù)函數(shù)都可以用來求Tn，形式上有所區(qū)別，本質(zhì)上是同一的。以上推求3個性質(zhì)定理的過程，正好是戴煦推算Tn的過程，雖然他沒有用字母和符號直接給出遞推公式，但其結(jié)果已包含在定義之中。所以本文認(rèn)為，戴煦的方法已相當(dāng)于獲得了Tn的遞推公式，即性質(zhì)2。事實上，他已正確算出前10個Tn數(shù)，除表1、表2所列，他算得

為此，他創(chuàng)造了一系列數(shù)表，他說：“橫豎視之，皆秩然而不紊，則自二率而至十率既然，而自十率至千百率亦莫不皆然。”［4］說明戴氏已完全掌握了數(shù)Tn的遞推規(guī)律，從而得到

在《外切密率》卷二“本弧求割線術(shù)”中，戴煦用完全類似的遞歸法來求secα展開式系數(shù)分子，即歐拉數(shù)En。文獻［5］里我們詳細(xì)分析他所創(chuàng)造的一系列數(shù)表、他的立術(shù)之原，說明他已相當(dāng)于獲得了歐拉數(shù)的遞推公式。本文只列出一卷完全相仿的如下結(jié)果。

表3　推演本弧求割線總圖同母式數(shù)表

表3　推演本弧求割線總圖同母式數(shù)表

m= n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 01 111 2165 311 5 412 8 514 5 616 6 75 61 350 1 708 1 385 1 050 12 810 62 325 50 521 2 475 56 364 685 575 3 334 386 2 702 765

表4　推演本弧求割線總圖商實數(shù)表

表4　推演本弧求割線總圖商實數(shù)表

m=0123456 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 1 01 015 011 4 012 7 014 4 016 5 61323 1 385 1 006 11 804 50 521 2 410 53 954 631 621 2 702 765

戴煦已正確地算出了前10個歐拉數(shù)，除表3、表4所列之外，還有

于是，他便得到了正確的冪級數(shù)展開式：

經(jīng)比較，顯而易見，戴煦把Tn和En相提并論，定義酷似，且相補充。他的基本思想是兩者相匹配、相“對稱”。因而在他的原著中，全部論述和全部結(jié)果都保持這種“對稱性”，這與現(xiàn)代數(shù)學(xué)中將歐拉數(shù)同伯努利數(shù)（Bernoulli numbers）相提并論的作法不同。

在數(shù)學(xué)史上，戴煦第一次作為獨立的研究對象而定義了計數(shù)函數(shù)Tn，為遞求Tn而設(shè)計了兩種計數(shù)函數(shù)和，相當(dāng)于給出Tn的遞推公式，方法獨特，結(jié)果正確。因而，本文稱為第一、二種戴氏數(shù)，Tn即正切數(shù)。

在現(xiàn)今的數(shù)學(xué)沒有給予Tn以適當(dāng)?shù)淖⒁獾那闆r下，《外切密率》的方法對我們似乎仍然具有啟示的意義：戴煦思想的價值在于，它強調(diào)Tn是堪足與En相媲美的、同類的函數(shù)，因而暗示在其他方面，也會保持這種“相似性”“對稱性”。這種來自不同哲學(xué)背景、不同數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的啟示，會不會給今天的數(shù)學(xué)增添什么新的內(nèi)容呢？我們來作一次嘗試。在下文中，將給正切數(shù)一個新定義，并論證它與歐拉數(shù)一樣，都是特殊函數(shù)。

2　作為特殊函數(shù)的正切數(shù)與歐拉數(shù)

正切數(shù)Tn是一種特殊函數(shù)（special functions），或者叫高等超越函數(shù)（higher transcendental functions），它同歐拉多項式（Euler polynomial）En（x）、歐拉數(shù)En、伯努利多項式（Bernoulli polynomial）Bn（x）、伯努利數(shù)Bn之間，都可以建立密切的關(guān)系。本文將給出有關(guān)公式，用（）編號，并對主要結(jié)果予以證明。所引用的公式以＜＞編號，主要依據(jù)文獻［6-9］。

Bn（x），Bn，En（x），En這幾個著名的特殊函數(shù)的定義見之于數(shù)學(xué)辭典及有關(guān)著作，下文將多次引用，故先分列于下：

正切數(shù)Tn由下式定義：

Bn，En，Tn當(dāng)0≤n≤10的數(shù)表如表5、6（Tn的遞推式見下文式（41））。

表5　Bn，En，Tn的第一類記法（*）

表6　Bn，En，Tn的第二類記法（**）

表5的記法稱為第一類記法，用（*）號標(biāo)明。表6的記法為第二類記法，用（**）號標(biāo)明，是通常使用的記法，如本文前一節(jié)所涉公式。若取第一類記法的絕對值，可稱第三類記法，本文偶爾采用。需要說明，對于同一性質(zhì)，由于記法不同，所得公式因而有異，故有必要予以區(qū)別；記法混淆，可能造成公式內(nèi)的矛盾。如日本《巖波數(shù)學(xué)詞典》［9］記有如下公式：

三類記法此式均不成立。該辭典取本文所稱的第三類記法應(yīng)將式中（-1）n換為in，否則它所定義的是secx而非sechx。 Tn可由歐拉多項式En（x）導(dǎo)出。已知由式〈3〉、〈4〉可得

證明：由式（5），

由式〈3〉，分別取x=1及x=0，

注意到

取x=1，n為奇數(shù)時有En（0）=-En（1），故

與式（8）比較展開式系數(shù)，即得式（7）。

Tn和En孿生于歐拉多項式，兩者之間必然有內(nèi)在的密切聯(lián)系，今將式〈4〉、〈5〉分別平方，式左相加得 tanh2z+sech2z=1，式右亦有

據(jù)柯西（Cauchy）冪級數(shù)乘法規(guī)則，有

兩式表明正切數(shù)可由它本身或歐拉數(shù)遞推出來。

事實上，歐拉數(shù)和正切數(shù)間還存在著互求關(guān)系。用第二類記法，可表為：

這一組互反公式屬于廣義莫比烏斯反演（Mobius inversion），是組合數(shù)學(xué)計數(shù)理論研究的課題。式（11）-（14）的證明在本文第3節(jié)中給出。

繼續(xù)Tn同En的比較。先通過En（x）建立Tn同Bn（x）的關(guān)系式。式〈1〉對x微分，并比較系數(shù)，得［7］

分別取x=0、1、1/2，由式（7）＜6＞，并將積分變量t換寫為x，得

舍去積分值為零，則可寫成

式（17）將歐拉多項式表為伯努利多項式的定積分，是兩者間的基本關(guān)系式，而Tn和En是由它派生的兩個特例。

既然Tn同貝努利多項式有式（18）的關(guān)系，很自然地會聯(lián)想到，正切數(shù)Tn同伯努利數(shù)Bn之間關(guān)系如何？由式<15>可得Bn（x）的乘法公式取x=0，，取m=2，［6］，將n換寫為2n，

將式<16>中之n換寫為2n，并取x=1，得

注意到B2n（1）=B2n（0）=B2n，將式（21）代入上式，得

兩邊同乘22n-1B2n，由式（7）知

這就是Tn同Bn的基本關(guān)系式，它說明Tn是Bn的“放大”。事實上，人們已知［8］

它與式（14）形式稍別，而結(jié)果相合，可謂異曲同工。不過，以前沒有將Tn看作是一個獨立的特殊函數(shù)。

“放大系數(shù)”22n（22n-1）2n可徑由多項式〈1〉〈3〉中算出。由式（22）

利用（23）′式，可將在一些無窮級數(shù)中出現(xiàn)的Bn換成Tn而使公式簡化。以《Peirce積分表》所列公式［8］為例（原文B2n-1為上述第三類記法）：

使用正切數(shù)Tn后，這些公式變?yōu)椋ǖ诙愑浄ǎ?/p>

中國清代數(shù)學(xué)家一般都不把展開式分子與分母約簡，相當(dāng)于保留xn/n！的形式，這符合現(xiàn)代生成函數(shù)或形式冪級數(shù)（generating function or formal power series）的要求。

順便提及，戴煦在《假數(shù)測圓》（1852）也得到了可寫成式（31）′的公式，并給出了相當(dāng)于下式的級數(shù)［10］：

正切數(shù)同歐拉數(shù)一樣也可展開為無窮級數(shù)。以下我們將利用已知的結(jié)果，沿著將伯努利多項式展開為富里葉級數(shù)（Fourier series）的途徑求得它?？紤]（r＞1）積分路徑C是圓心在原點、半徑為（2N+1）π（N為整數(shù)）的圓。被積函數(shù)的極點為zk=2πik（k=0，±1，±2，…），當(dāng)k≠0時，被積函數(shù)的殘數(shù)（residual）為e2πikx/2πik。據(jù)殘數(shù)理論，由式〈1〉知，在z=0的殘數(shù)為Br（x）/r！，只要0＜x＜1，在N→∞時沿大圓周的積分趨于0，故有

符號“'”表示略去k=0的項。由此得到

由Bn（1）=Bn（0）=Bn（n≠1），令x=0，可得

改用第二類記法（**）：

式中黎曼ζ函數(shù)（Rieman zeta function）有（實數(shù)β＞0）取β=2n，則

于是

已知

兩式相比，平分秋色。觀察它們的結(jié)構(gòu)，立即聯(lián)想到

設(shè)后兩收斂級數(shù)之比為λ，則在有限項內(nèi)，例如n≤6時

故在n不太大時，有近似公式

［α］為高斯（Gauss）記號，表示不超過α的最大整數(shù)。對常用的幾個Tn之值用式（38）從已知的En來求較為方便。

同歐拉數(shù)一樣，正切數(shù)也可以表示成多種復(fù)雜的積分形式，都是通過式（23）而得到的，這里只列一例，旨在將Tn和En進行對比。已知（實數(shù)β＞0）

式中Γ（β）為Γ函數(shù)（gamma fanction）。當(dāng)取β=2n，有2Γ（2n）=2（2n-1）！=（2n）！/n，而由式〈34〉，

于是有

式中E0=1。兩式奇偶駢立，“對仗工整”。還可以列出類似的關(guān)系，此不一一。

回到本文前節(jié)據(jù)戴煦的定義所得到的遞歸公式：

如果改用第一類記法，則有

式（41）′可據(jù)正切數(shù)的定義式（5）直接得出。由sinhz=tanhz·coshz，等式兩邊分別展開成冪級數(shù)，據(jù)柯西的乘法規(guī)則，有

比較等式兩邊系數(shù)，即得式（41）′。而歐拉數(shù)的遞推公式〈42〉′則是由sechz·coshz=1，用相仿的方法得到的。

總之，由本節(jié)公式形式和證明過程的對比中，我們論證了Tn和En在本質(zhì)上既統(tǒng)一又相對，它們互為補充，相輔相成，在數(shù)學(xué)意義上互為余函數(shù)。正切數(shù)和歐拉數(shù)都是脫胎于伯努利多項式和歐拉多項式的“孿生”函數(shù)，從而證明了正切數(shù)作為特殊函數(shù)的地位。

3　作為計數(shù)函數(shù)的正切數(shù)與歐拉數(shù)

《外切密率》卷一、卷二提出的正切數(shù)、歐拉數(shù)，其定義和數(shù)表都具有計數(shù)的意義，已見第一節(jié)所述。本節(jié)將把Tn和En作為計數(shù)函數(shù)進一步考察。

Tn、En的定義式〈4〉（5）建立了它們與tanhz、sechz間的對應(yīng)關(guān)系，由此可以實現(xiàn)從有關(guān)雙曲函數(shù)的定義式（恒等式、微分式、復(fù)變量公式等）到Tn、En的一批計數(shù)公式（包括幾種類型的遞推式）的變換。

在變換中，為適應(yīng)不同的計數(shù)需要，Tn、En有三類記法。第一類記法*T2n-1、*E2n-1、第二類記法**Tn、**En與第三類記法T2n-1、E2n-1同有簡單的換寫公式：

先討論一組基本公式，即En和Tn之間存在的互反關(guān)系：

式（43）的證明：式（43）因項數(shù)奇偶不同可分寫為：

比較兩邊系數(shù)即得式（43b）；而式（43a）即為已證過的式（41）′，式（43）因而得證。

式（44）的證明：式（44）因項數(shù)奇偶不同可分寫為

比較兩邊系數(shù)即得式（44b）；而式（44a）即為已知式〈42〉′，式（44）因而得證。

式（43a）亦可寫成

以上8式改為第二類記法后合為4式，即式（41）〈42〉（13）（14）。可見第二類記法可使公式簡化。須說明的是，由式（43c）改成

與由式（43b）改成的式（13）是完全一致的，寫法略有區(qū)別而已，第2節(jié)所給互反公式于是得證。顯然，這些遞推式分為自求和互求兩類；下面討論另外兩類。第2節(jié)有

式（12）的證明：由于式〈4〉（5）級數(shù)絕對收斂且一致收斂，故可平方或逐項微分：

比較展開式兩邊系數(shù)即得式（12）。類似地，由T tanh z/Tz=sech2z可證式（11）。

又據(jù)T sech z/Tz=-sech z·tanh z，仿上法可得

法國數(shù)學(xué)家安德烈（André）在1879年和1881年所發(fā)表的論文中，將Tn和En統(tǒng)一于計數(shù)函數(shù)An，而賦予它以“交錯排列”的新意義，從計數(shù)的角度揭示了歐拉數(shù)和正切數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系。本文據(jù)文獻重新表述An的定義及有關(guān)證明［11］74-79，并據(jù)前文所得結(jié)果，將給出簡潔的新證法。為了避免漢語中“交錯排列”同“交錯級數(shù)”或“錯位排”等術(shù)語混淆，本文使用“齒排列”來代替它。

定義5設(shè)N=｛1，2，…，n｝為有序集，ak∈N，ak的大小即ak的數(shù)值，則在所有Pn=n！種排列（a1…ak-1akak+1…an）中，任一元ak（1＜k＜n）滿足既非ak-1＜ak＜ak+1，也非ak-1＞ak＞ak+1的排列總數(shù)，稱為“全齒排列”，記作2An，并規(guī)定A0=A1=A2=1。

例1 n=3時，在P3=6種排列里

1 2 31 3 22 1 3

2 3 13 1 23 2 1

首末兩種非齒排列，故2A3=4。

例2 n=4時，在P4=24種排列里，只有

1 3 2 41 4 2 32 3 1 42 4 1 33 4 1 2

4 2 3 14 1 3 23 2 4 13 1 4 22 1 4 3

10種是齒排列，故2A4=10。

注意到，例2中第一行5種排列里開始兩元均有a1＜a2，可稱為“下齒排列”；第二行5種排列里開始兩元均有a1＞a2，可稱為“上齒排列”。由元素的對應(yīng)，易證兩者均等于全齒排列之半An，可稱為“半齒排列”或“齒排列”。畫在坐標(biāo)上，顯見關(guān)于（n+1）/2為對稱。因而，齒排列的個數(shù)只與元數(shù)n有關(guān)，與始升或始降、與上齒或下齒、與左視或右視均無關(guān)。 全齒排列有遞推公式（André）A0=A1=A2=1：

證明1：設(shè)最大元n=ak+1（k=0，1，2，…，n-1）。n左有k個元，由定義，n＞ak，ak＜ak-1，故從ak開始、向左的下齒排列共有Ak種；n右有n-k-1個元，由定義，n＞ak+2，ak+2＜ak+1，故從ak+2開始的下齒排列共有An-k-1種。遍取最大元在第k+1位時所余n-1元的全部組合（n-1k），n=ak+1遍歷從k=0到k=n-1的一切位置，就得到全齒排列的總數(shù)：

據(jù)式〈46〉所得An的數(shù)表（0≤n≤10）如表7。

表7　齒排列數(shù)An

證明2：將上文式（11）（12）（45a）（45b）用第三類記法表出，則為

將前兩式和后兩式分別相加，并將T2m-1換寫為A2n-1，E2m換寫為A2n，則有

（n≥1），證畢。

同時得到（*T2n-1、*E2n為第一類記法，**T2n-1、**E2n為第二類記法）：

定義6元數(shù)為奇數(shù)的半齒排列A2n-1稱為奇齒排列，元數(shù)為偶數(shù)的A2n稱為偶齒排列。

歐拉數(shù)En表示偶齒排列的個數(shù)A2n，正切數(shù)Tn表示奇齒排列的個數(shù)A2n-1。這是En和Tn在組合數(shù)學(xué)排列理論中的意義。本文稱齒排列數(shù)An為安德烈數(shù)（André numbers）。安德烈數(shù)是歐拉數(shù)和正切數(shù)的復(fù)合。

前面已經(jīng)提到，戴煦的目標(biāo)在于用Tn和En來表示tanx和secx的展開式。有趣的是，安德烈通過一種獨特的途徑由齒排列的無窮級數(shù)來求tanx和secx。格列高里最早給出的展開式，在1671年的一封信中，只有結(jié)果，而無證明。tanx展開式的系數(shù)因約簡而沒有表示成T2n-1/（2n-1）！的形式［12］163，戴煦是不知道的，安德烈應(yīng)當(dāng)是知道的，但是每人的方法各有特色。以下列出安德烈求證的過程，以便同戴煦的方法進行對比。先求出An的生成函數(shù)：

由定義6，當(dāng)n＞2時，2An/n?。?，即An/n?。?/2，級數(shù)〈47〉′絕對收斂且當(dāng)-1＜x＜1時一致收斂，級數(shù)〈47〉′可平方亦可逐項微分：

將式〈47〉〈48〉代入三角公式

如果應(yīng)用歐拉公式（Euler formula）sinhiz= isinz，coshiz=cosz，tanhiz=itanz，sechiz=secz和本文上面提到的一些結(jié)果，這一過程只需更簡短的步驟。

證明2：

式中歐拉數(shù)、正切數(shù)都用第一類記法。此證業(yè)已顯示了用奇齒排列和偶齒排列的無窮級數(shù)來表示正切和正割的本質(zhì)過程。

4　結(jié)語

在微積分早期工作中，研究超越函數(shù)時用它們的級數(shù)來處理是富有成效的方法。18世紀(jì)以來，無窮級數(shù)一直被認(rèn)為是微積分的一個組成部分，其主要應(yīng)用的一個方面，在于計算π和e的值，以及對數(shù)和三角函數(shù)。許多數(shù)學(xué)家都因此而對級數(shù)產(chǎn)生了興趣［12］160-198。

J伯努利（James Bernoulli，1654—1705）在《推想的藝術(shù)》［13］（1713）中首次提出了后來以他的名字命名的數(shù)Bn和多項式Bn（x），今天已被廣泛應(yīng)用。級數(shù)方面真正廣闊的工作是1730年左右從歐拉（Léonard Euler，1707—1873）開始的，同本文有關(guān)的內(nèi)容，如他給出Bn的定義式（2）［12］160-198，得到

這樣優(yōu)美的結(jié)果［12］160-198，而且提出了后來以他的名字命名的數(shù)En和多項式En（x），這些成就，無疑構(gòu)成了18世紀(jì)級數(shù)研究的一個引人注目的方面。

與此同時，歐拉也注意了組合問題。被他稱作“組合理論一個妙題”的“錯位排列”，即所謂的“裝錯信封問題”，由N伯努利（Nicolaus Bernoulli，1687—1759）和歐拉先后獨立解決［11］21，所得到的級數(shù)，與安德烈的齒排列數(shù)同屬于組合數(shù)學(xué)排列理論研究的對象。

直到20世紀(jì)20—30年代，還有一些數(shù)學(xué)家在研究Bn和En，還有高階Bn（x）、En（x）及有關(guān)積分公式［14-16］。毫無疑問，所得的結(jié)果是更加深入了，但同時也愈演愈繁，例如

在中國，清代數(shù)學(xué)家從明安圖（1792？—1763？）開始，董祐誠（1791—1823）、項名達(dá)（1789—1850）、徐有壬（1800—1860）、戴煦、李善蘭（1811—1882）、鄒伯奇（1819—1869）、夏鸞翔（1823—1864）、華蘅芳（1833—1902）等人，主要也為了研究三角函數(shù)、對數(shù)和有限差分，對級數(shù)產(chǎn)生了濃厚的興趣。他們使用的方法基本上是傳統(tǒng)的。由于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)沒有形成完整的符號體系和演繹系統(tǒng)，妨礙了它的發(fā)展，與近代數(shù)學(xué)脫節(jié)，沒有進入微積分的發(fā)展時期。但是，正如文章開始所說，中算家們發(fā)揮了自己的長處，應(yīng)用離散的手段，處理連續(xù)的對象，在與世隔絕的環(huán)境中，仍然引入了一些有價值的思想和方法，戴煦的工作即是一例。

戴煦在中算史上第一次提出了Tn數(shù)和En數(shù)。由于資料所限，本文不能確認(rèn)在他之前的西方研究中從未遇到過Tn，即令今后發(fā)現(xiàn)了關(guān)于Tn的論述，我們也并不感到意外。我們關(guān)心的是，僅就Tn和En相匹配這一點而言，由于歷史的原因，迄今尚未形成主流的認(rèn)識，而在戴煦的著作中，卻是理所當(dāng)然、毋庸置疑的。在今天的數(shù)學(xué)詞典和專著中，所見到的都是Bn和En相匹配的記載——我們已經(jīng)談過，這是有它的道理的——然而，對Tn忽略所帶來的一個后果，使得對En的認(rèn)識也難以臻于完備，本文第2、3節(jié)即補充了這一點。

中國數(shù)學(xué)史的研究并非僅僅陶醉在漢魏宋元的光輝回憶之中。盡管較為困難，19世紀(jì)的成果亦可作為現(xiàn)代研究的起點。當(dāng)然我們并不是企望一切的歷史研究都能與現(xiàn)代的發(fā)展聯(lián)系起來，這樣的努力也未必能夠得到普遍的認(rèn)可。然而，值得欣慰的是，科學(xué)對向她提供有價值思想的一切歷史來源都表示了同樣的尊重，對此，歷史也終將給予科學(xué)的評價。

［1］羅見今.李善蘭對Stirling數(shù)和Euler數(shù)的研究［J］.數(shù)學(xué)研究與評論，1982，2（4）：173-182.

［2］傅庭芳.對李善蘭《垛積比類》的研究［J］.自然科學(xué)史研究，1985（3）：267-283.

［3］羅見今.徐、李、夏、華諸家的計數(shù)函數(shù)（1984）［C］//杜石然.第三屆國際中國科學(xué)史討論會論文集.北京：科學(xué)出版社，1990：43-51.

［4］戴煦.外切密率［M］.刻本.廣州:粵雅堂叢書本，1852.

［5］郭世榮，羅見今.戴煦對歐拉數(shù)的研究［J］.自然科學(xué)史研究. 1987，6（4）：362-371.

［6］王竹溪，郭敦仁.特殊函數(shù)概論［M］.北京：科學(xué)出版社，1979：1-52.

［7］ENDELYA.高級超越函數(shù)（1）［M］.張致中，譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1959：34-47.

［8］徐桂芳.Peirce積分表［M］.北京：科學(xué)技術(shù)出版社，1957.

［9］日本數(shù)學(xué)會.數(shù)學(xué)百科詞典［M］.北京:科學(xué)出版社，1984：1035.

［10］李兆華.戴煦關(guān)于二項式和對數(shù)展開式的研究［C］//吳文俊.中國數(shù)學(xué)史論文集（一）.濟南:山東教育出版社，1985:98-108.

［11］T?RRIE H.100個著名初等數(shù)學(xué)問題歷史和解［M］.羅保華，等譯.上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社，1982.

［12］KLINE M.古今數(shù)學(xué)思想：第2冊［M］.張理京，譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1979.

［13］BERNOULLI J.Ars Conjectandi 1713［M］.Culture et Civilisation，1968.

［14］N?RLAND N.Vorlesungén über differenzen rechnung［J］. Acta Math，1922（43）：121-196.

［15］NIELSEN N.Traile élémentaire des numbers de bernoulli ［M］.Gauthier-Vielars，1923.

［16］MILNE-THOMSON L.The calculus of finite difference ［M］.London:Macmillan and Co.Ltd，1933.

AStudy on Tangent Numbers by Mathematician Dai Xu in Late Qing Dynasty——And on relationship between Tangent Numbers and Euler Numbers

LUO Jianjin
（Institute for the History of Science and Technology，Inner Mongolia Normal University，Huhhot 010022，Inner Mongolia，China）

In the late Qing Dynasty，mathematician Dai Xu（戴煦）defined the tangent numbers and Euler numbers using recursive method in his book Wai Qie Mi Lü（《外切密率》）.It is an important innovation in the history of mathematics in the world，reminding people to pay attention to the relationship of“symmetry”between the two numbers.This paper reveals the significance of the results by Dai Xu，and especially makes an especial expanding research on the tangent numbers，on which there is less research in the history of western mathematics.The paper elucidates the nature of tangent numbers and theiy relationship with the Euler numbers from different points of views，including recursive function，special function and counting function，and also obtains more than 40 new formulas in the classical field.These obtained findings and knowledge show the differences in the mathematical studies against the East and West cultural backgrounds.

a mathematician in Late Qing Dynasty；Daixu；tangent number；Euler number；recursive function；special function；counting function

N09

A

1672-2914（2015）04-0001-11

2015-04-25

羅見今（1942-），男，河南新野縣人，內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為數(shù)學(xué)史。