儲昌木　+邢麗　田應(yīng)福

摘 要 為了統(tǒng)計(jì)和分析一個國家和地區(qū)的收入分配情況，經(jīng)濟(jì)學(xué)界往往通過入戶調(diào)查獲得家庭收入與消費(fèi)等數(shù)據(jù)，采用洛倫茲曲線模型來進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合.洛倫茲曲線模型擬合效果的好壞，直接影響著收入分配的描述.本文構(gòu)建了一類凹凸組合的洛倫茲曲線模型，并針對19個國家的收入分配數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證分析.結(jié)果顯示該模型具有較好的擬合效果，其基尼系數(shù)能較好地描述收入分配現(xiàn)狀，對反映和監(jiān)測居民之間的貧富差距具有重要意義.

關(guān)鍵詞 數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)；洛倫茲曲線；基尼系數(shù)；凹凸組合

中圖分類號 F014.4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A

A Class of Lorenz Curve Model with

Concave and Convex Combination

CHU Changmu，XING Li， TIAN Yingfu

（College of Science， Guizhou Minzu University， Guiyang，Guizhou 550025，China）

Abstract In order to analyze and make statistics about a national and regional income distribution situation， the economics often obtain the income and consumption data through household surveys， and carry out data fitting by using the Lorenz curve model. And the Lorenz curve model fitting effect directly affects the description of the income distribution. This paper constructed a class of Lorentz curve model involving concave and convex combination， and carried on the empirical analysis by using the income distribution data of 19 countries. The results show that the model has good fitting effect. The Gini coefficient can well describe the income distribution situation. As a result， the model is of great significance to reflect and monitor the gap between the rich and poor residents.

Key words mathematical economics； lorenz curve； gini coefficient； concave and convex combination

1 引 言

在社會經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，一些重要的社會經(jīng)濟(jì)指標(biāo)如收入分配的分布都是不均勻的，具有高度的集中性.洛倫茲曲線和基尼系數(shù)是描述和度量分布不均勻性與集中性的重要統(tǒng)計(jì)分析工具，在社會經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的定量分析中獲得了廣泛的應(yīng)用.

設(shè)收入分配的概率分布密度函數(shù)為f（x），對應(yīng)的分布函數(shù)為F（x），則p=F（x）表示收入低于或等于x的人口比例.記收入低于或等于x的人口群體擁有收入占總收入的比例為L（p），則

L（p）=1μ∫x0tf（t）dt，p=F（x），

也稱L（p）為收入分配的洛倫茲曲線.記F（x）的反函數(shù)為F-1（p），μ為平均收入，則洛倫茲曲線可以表示為

L（p）=1μ∫p0F-1（q）dq.

經(jīng) 濟(jì) 數(shù) 學(xué)第 32卷第2期

儲昌木等：基于凹凸組合的一類洛倫茲曲線模型

因此，只要知道了收入分配的統(tǒng)計(jì)分布，就能得到相應(yīng)的洛倫茲曲線.然而，在實(shí)踐應(yīng)用中收入分配的統(tǒng)計(jì)分布是未知的. 實(shí)踐中通過入戶調(diào)查獲得家庭收入與消費(fèi)等數(shù)據(jù)，這種數(shù)據(jù)的完整形式為pi，Lini=1，其中pi是低收入群體的累計(jì)人口比例，Li是該群體擁有的總收入比例.經(jīng)濟(jì)學(xué)界采用洛倫茲曲線模型L（p，τ）擬合上述數(shù)據(jù)，其中τ是一組參數(shù)，使用最小二乘法求解

min ∑ni=1L（pi，τ）-Li2

確定其中參數(shù)向量τ的估計(jì)值，然后用L（p，）=（p）作為近似的洛倫茲曲線來進(jìn)行收入分配分析.L（p，τ）是定義在[0，1]區(qū)間上、取值于[0，1]區(qū)間的函數(shù)，滿足

L（0，τ）=0，L（1，τ）=1，L′（p，τ）≥0，

L″（p，τ）≥0， （1）

即L（p，τ）在[0，1]上是凸增函數(shù).

近幾十年，洛倫茲曲線模型受到人們的普遍關(guān)注.文獻(xiàn)[1]及其參考文獻(xiàn)提到了大量的洛倫茲曲線模型，并利用均方誤差、平均絕對誤差和最大絕對誤差等對擬合精度進(jìn)行比較.然而已有的這些模型還存在諸多不足.有些模型擬合效果欠佳，不能提供整個[0，1]上的良好逼近[2-4]， 有些模型不滿足洛倫茲曲線的條件[4，5].為了克服這些局限性，文獻(xiàn)[6]討論了構(gòu)建洛倫茲曲線模型的一般方法，并考慮了如下乘積形式的洛倫茲曲線模型：

（p）=f（p）αg（p）η， α≥0， η≥0， （2）

其中f（p）和g（p）是含參數(shù)的洛倫茲曲線模型.作為模型（2）的特殊情形，Sarabia[7]等構(gòu)造了形如S（p）=pαL（p）η的模型并給出了S（p）滿足洛倫茲曲線的條件.隨后，文獻(xiàn)[8]將文獻(xiàn)[7]的結(jié)論改進(jìn)成如下定理.

定理1 設(shè)L（p）滿足洛倫茲曲線的條件，則

（i） 對于任何α≥0，當(dāng)η≥1時，S（p）滿足洛倫茲曲線的條件；

（ii） 若對任何p∈[0，1]，有ddpL″L′≥0，則當(dāng)α≥0，η≥0，α+η≥1時，S（p）滿足洛倫茲曲線的條件；

（iii） 若對任何p∈[0，1]，有L（p）≥0，則當(dāng)α≥0，η≥12，α+η≥1時，S（p）滿足洛倫茲曲線的條件.

2 洛倫茲曲線模型的構(gòu)建

對文獻(xiàn)[8]的幾個具體模型的數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析后，不難發(fā)現(xiàn)這些模型獲得較好的擬合效果時參數(shù)α的估計(jì)值∈（0，1）.顯然，當(dāng)α∈（0，1）時，pα是一個凹函數(shù)，這是否蘊(yùn)含著將模型（2）中的f（p）和g（p）這種兩個凸函數(shù)的組合形式替換成凹凸（即一個凹函數(shù)和一個凸函數(shù)）組合形式，會提高擬合的精度呢？基于這種思想，構(gòu)造如下的洛倫茲曲線模型

H（p）=2p1+pαL（p）η，其中L（p）是含參數(shù)的洛倫茲曲線模型.

引理1 設(shè)L（p）滿足洛倫茲曲線的條件，則當(dāng)α≥0時，J（p）=2p1+pαL（p）滿足洛倫茲曲線的條件.

證明 要證J（p）滿足洛倫茲曲線的條件，只需證J（p）滿足式（1）.由于L（p）滿足洛倫茲曲線的條件，所以由（1）式知，L（0）=0，L（1）=1，L′（p）≥0，L″（p）≥0. 由此易知J（0）=0， J（1）=1.由J′（p）=2α2p1+pα-1L（p）（1+p）2+2p1+pαL′（p）知，當(dāng)α≥0時，J′（p）≥0.直接計(jì)算可得，

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