鐘艷林（閩南理工學(xué)院，福建 泉州 362700）

一類擴(kuò)展交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂判別法

鐘艷林
（閩南理工學(xué)院，福建 泉州 362700）

無窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，通過對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的擴(kuò)展得到一類新的級(jí)數(shù)，對(duì)新級(jí)數(shù)加括號(hào)后并將每個(gè)括號(hào)看作一個(gè)整體就得到一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，通過證明得出判斷新級(jí)數(shù)的判別方法。

級(jí)數(shù)；收斂；交錯(cuò)級(jí)數(shù)；判別法

無窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種重要的數(shù)學(xué)工具，在電學(xué)、力學(xué)及計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等方面有著廣泛的應(yīng)用。無窮級(jí)數(shù)由數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)兩部分構(gòu)成。設(shè)有數(shù)列 u1，u2，…，un，…，則式子…稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)

的前n項(xiàng)之和為Sn，即，稱 Sn為級(jí)數(shù)的部分和，當(dāng)n=1，2，…時(shí)，則得到一個(gè)部分和數(shù)列：若部分和數(shù)列的極限存在，即，則稱級(jí)數(shù)收斂，否則稱級(jí)數(shù)發(fā)散［1］。

判斷一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂還是發(fā)散，我們有著名的柯西收斂原理：級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是：對(duì)任意給定的正數(shù)ε，總存在N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，對(duì)于任意的自然數(shù)p=1，2，…，恒成立。在一般情況下，利用級(jí)數(shù)的的定義或柯西收斂原理來判斷一個(gè)級(jí)數(shù)是否收斂通常難度較大，也有一定的局限性，因此介紹一些判斷級(jí)數(shù)是否收斂的方法就十分必要。若級(jí)數(shù)中的各項(xiàng)均非負(fù)，即，則稱該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂，我們有好多判別法，如比較判別法、達(dá)朗貝爾比值判別法、柯西判別法［2］、柯西積分判別法等［3］。若級(jí)數(shù)中正、負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn)，即其中稱該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)我們有萊布尼茨判別法。本文將討論一類級(jí)數(shù)：該級(jí)數(shù)由正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)合成，但正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)不是交替出現(xiàn)，例如，這個(gè)級(jí)數(shù)第1， 2，3項(xiàng)為負(fù)，而第4，5，6，7，8項(xiàng)為正。眾所周知，對(duì)于一般的級(jí)數(shù)而言，將一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后作成一個(gè)新級(jí)數(shù)，即使加括號(hào)后得到的新級(jí)數(shù)收斂，我們也沒辦法推出原級(jí)數(shù)是收斂的［4］，例如：級(jí)數(shù)，若將此級(jí)數(shù)第1，2項(xiàng)加括號(hào)，第3，4項(xiàng)加括號(hào)，依此類推下去得到一個(gè)新級(jí)數(shù)收斂，可原級(jí)數(shù)明顯是發(fā)散的。但如果加括號(hào)后的新級(jí)數(shù)每個(gè)括號(hào)里的項(xiàng)都同號(hào)且收斂的話，那原級(jí)數(shù)是否收斂呢？

定理1：若級(jí)數(shù)的項(xiàng)加括號(hào)后，每個(gè)括號(hào)里的所有項(xiàng)都有相同的符號(hào)并且收斂，則原級(jí)級(jí)數(shù)一定收斂。

收

當(dāng)n（k=1，2，…）時(shí)，所有的 un的符號(hào)都相同，現(xiàn)記

Uk，現(xiàn)對(duì)原級(jí)數(shù)

又由

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.高等教育出版社，北京，（2007）

［2］楊鐘玄.正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一個(gè)新判別法［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）.2005（06）：41-44.

［3］吳慧伶.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別的一個(gè)推廣［J］.麗水學(xué)院學(xué)報(bào). 2006（05）：24-27.

［4］蘇翃；邱利瓊；王大坤；董建.一類交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂定理［J］.大學(xué)數(shù)學(xué).2006（05）：143-145.

［5］范新華.關(guān)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性判別法的一些探討［J］.常州工學(xué)院學(xué)報(bào).2007（05）：57-59.

（責(zé)任編輯：雷君）

Method of Discrimination a class series

ZHONG Yan-lin
（Minnan University of Science and Technology，Quanzhou Fujian 362700）

Infinite series is an important part of higher mathematics，through the alternating series of extensions to get a new kind of series，the new series in parentheses after each bracket as a whole will get an alternating series，through come to judge the new series prove discrimination method.

Series；Convergence；Staggered series；Method of discrimination

O29

A

10.3969/j.issn.1672-7304.2015.03.037

1672-7304（2015）03-0089-02

鐘艷林（1980-），男，湖南衡陽(yáng)人，講師，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。

福建省中青年教師教育科研項(xiàng)目資助（JB14108）。