◎黃毅蓉 （成都航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610100）

1 引言

2 方法論述

2.1 利用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)自身求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的“和”

2.1.1 直接求解法（定義法）

例1求級(jí)數(shù)的和.

解由上，此時(shí)

說明：只要等比級(jí)數(shù)滿足公式（1） 的條件，均可以用公式（1） 求和.

2.1.2 方程式法

方程式法是利用一些運(yùn)算技巧對(duì)部分和數(shù)列構(gòu)造方程表達(dá)式，進(jìn)而得到部分和數(shù)列的和式表達(dá)，再取極限求得數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的“和”.

例2求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.

解可以判定此級(jí)數(shù)是收斂且絕對(duì)收斂.設(shè)sn＝1－

上面兩式相加有：

2.1.3 通項(xiàng)拆項(xiàng)法

通項(xiàng)拆項(xiàng)法是將數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)進(jìn)行拆分，將部分和數(shù)列簡(jiǎn)化后再取極限求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的“和”.

定理1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)若un＝an － an＋1，且a，則

例3求級(jí)數(shù)的和.

定理1 的一種變形為：

例4求級(jí)數(shù)的和.

解此時(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)

由an＝n，且

2.1.4 間接求和法

間接求和法是通過級(jí)數(shù)運(yùn)算、級(jí)數(shù)性質(zhì)將某些未知的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)表示為已知的收斂級(jí)數(shù)的線性組合，從而求得“和” 值.

2.2 利用冪級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)“和”

2.2.1 冪級(jí)數(shù)定值法

利用冪級(jí)數(shù)定值法的關(guān)鍵在于針對(duì)收斂的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)構(gòu)造一個(gè)對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù).

例6求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.

解構(gòu)造形如的冪級(jí)數(shù)，當(dāng)x＝ 3 時(shí)即為上述數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).

逐項(xiàng)求導(dǎo)，得

2.2.2 冪級(jí)數(shù)阿貝爾定理法

阿貝爾的冪級(jí)數(shù)連續(xù)定理：

在應(yīng)用阿貝爾定理求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和時(shí)，首先要依據(jù)所給數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)適當(dāng)?shù)卦O(shè)置一個(gè)冪級(jí)數(shù)，再求出此冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).定理表明和函數(shù)在x＝1 處是左連續(xù)的，最后對(duì)和函數(shù)求極限，從而求出收斂數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.

例7求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.

解構(gòu)造冪級(jí)數(shù)其收斂區(qū)間是（－1，1］.

2.3 利用傅里葉級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)“和”

nancosnωx0＋bnsinnωx0，而x0是傅里葉級(jí)數(shù)展開式收斂區(qū)間的點(diǎn)，所以有此法也稱傅里葉級(jí)數(shù)的定值法.

例8求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.

解將［－π，π］上的函數(shù)f（x）＝x2做周期為2π 的周期延拓，并做傅里葉級(jí)數(shù)展開.

因?yàn)閒（x）＝x2為偶函數(shù)，

2.4 利用復(fù)級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)“和”

利用復(fù)級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的方法一般稱為三角級(jí)數(shù)法，主要是求級(jí)數(shù)的和，通常把它們視為復(fù)數(shù)域內(nèi)的復(fù)級(jí)數(shù)此時(shí)z＝eix， 然后對(duì)求和，并將其展成實(shí)部與虛部，則所求級(jí)數(shù)就是此復(fù)級(jí)數(shù)的實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)的系數(shù)，從而求出“和”.

例9求的和.

解因?yàn)?cosnπ＝ （－1）n，n＝ 0，1，2，…所以

令z＝eix，考慮復(fù)級(jí)數(shù)

有 ez＝ eeix＝ ecosx＋isinx＝ ecosx·eisinx＝ ecosx［cos（sinx） ＋isin （sinx）］.

取x＝ π，得

3 結(jié)束語

求收斂的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)“和”是級(jí)數(shù)理論中的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)，教學(xué)過程中因?qū)W時(shí)限制不能做系統(tǒng)地介紹，本文歸納和總結(jié)了一些典型的求“和”方法，主要涉及利用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)及復(fù)級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)、和函數(shù)及函數(shù)的級(jí)數(shù)展開等對(duì)收斂的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求“和”，有助于學(xué)生對(duì)級(jí)數(shù)理論的深入理解和提高.