石啊蓮 ，任舒翼

( 1. 齊魯師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，山東濟(jì)南250013; 2. 山東廣播電視大學(xué)公共基礎(chǔ)教學(xué)部，山東濟(jì)南250014)

有限時間鎮(zhèn)定是Peter Dorato 在上世紀(jì)70 年代提出的概念，而后這類問題得到了廣泛的關(guān)注［1-3］，形成了幾種設(shè)計有限時間鎮(zhèn)定控制器的方法，如有限時間鎮(zhèn)定的Lyapunov 理論、加冪積分器的方法等。而全局輸出反饋鎮(zhèn)定問題［4-6］也是學(xué)者們研究的熱點(diǎn)之一，并取得了豐碩的成果。研究表明，非線性系統(tǒng)的有限時間鎮(zhèn)定問題意義重大，具有更好的魯棒性能［7］。本文在這樣的研究背景下考慮了一類不確定非線性系統(tǒng)的輸出反饋鎮(zhèn)定問題。

1 系統(tǒng)描述

考慮如下不確定非線性系統(tǒng)

這里ζ = (ζ1，ζ2)T∈R2，u ∈R，y ∈R 分別是系統(tǒng)的狀態(tài)、系統(tǒng)輸入和輸出。φi，i = 1，2 是連續(xù)可微函數(shù)，且φi(0)= 0，0 ＜γ ＜1 為奇整數(shù)率。

本文的主要目的是設(shè)計如下形式的輸出反饋控制器:

使得閉環(huán)系統(tǒng)(1)(2)全局鎮(zhèn)定，并且在有限時間內(nèi)(ζ，z)→(0，0)。

首先做出以下假設(shè):

假設(shè)1 對?ζ1，ζ2∈R，有

這里θ1(ζ1)，θ2(ζ2)為非負(fù)光滑函數(shù)。

假設(shè)2 系統(tǒng)(1)中d(t，ζ1，ζ2，u)滿足0 ＜μ(ζ1)＜d(t，ζ1，ζ2，u)＜ν(ζ1)，這里μ(ζ1)，ν(ζ1)為光滑函數(shù)。

2 定理及引理

引理2.1 若γ ∈(0，1)為奇整數(shù)率，且a ∈R，b ∈R，則不等式| aγ-bγ|≤21-γ|a-b|γ成立。引理2.2 若a ≥0，b ≥0，π≥0 連續(xù)，m ∈R，n∈R，則對任意常數(shù)c ≥0 有ambnπ ≤cam+n+成立。

引理2.3 對任意的實(shí)數(shù)0 ＜τ ＜1 和t，若γ ∈(0，1)為奇整數(shù)率，則有成立。

3 輸出反饋控制器設(shè)計

定理3.1 在假設(shè)1 下，系統(tǒng)(1)有輸出反饋控制器

使得閉環(huán)系統(tǒng)(1)(2)(4)全局有限時間鎮(zhèn)定，這里L(fēng)(ζ1)為一階可導(dǎo)的非線性增益函數(shù)且

證明 定理證明過程借鑒Backstepping 方法，首先為系統(tǒng)(1)建立一個輸出反饋控制率，然后設(shè)計一個一維觀測器，最后選擇觀測器增益保證閉環(huán)系統(tǒng)全局有限時間鎮(zhèn)定。具體過程如下:

(Ⅰ)輸出反饋控制器設(shè)計

第2 步:選取Lyapunov 函數(shù)V2= V1(ζ1)+，對V2求導(dǎo)并由(5)式得:

由引理2.1 知:

由(5)式和假設(shè)2 得

由引理2.2 得:

取

使得

(Ⅱ)觀測器設(shè)計

建立一維補(bǔ)償器:

這里L(fēng)(ζ1)為待定的非線性增益函數(shù)，且＞0 。

設(shè)e = ζ2- L(ζ1)- z，那么

則

這里bi(ζ1)，i = 1，2，3 為光滑函數(shù)，常數(shù)c1≥0 。

(Ⅲ)確定增益函數(shù)L(ζ1)

由于系統(tǒng)中狀態(tài)ζ2不可測，因此式(9)反饋控制率是不可行的。要得到可行的控制率，用ζ^2= z+ L(ζ1)替換式(7)中的ζ2。則

在新控制率下，式(10)變?yōu)?/p>

根據(jù)引理2.1 和2.2 有

這里b4(ζ1)≥0 是光滑函數(shù)。

當(dāng)σ(ζ1)滿足，且時，則由式(15)和式(18)得到

因此

這里c2＞0 是常數(shù)。由式(19)和式(20)可以推出

由定理2.1 知，閉環(huán)系統(tǒng)(1)(2)(4)是全局有限時間鎮(zhèn)定的。證畢。

4 結(jié)論

本文研究了一類非線性系統(tǒng)的輸出反饋鎮(zhèn)定問題，由于系統(tǒng)的不可控不可觀性，使鎮(zhèn)定問題變得復(fù)雜。但通過輸出反饋控制器與一維補(bǔ)償器的設(shè)計，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的全局有限時間輸出鎮(zhèn)定。

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