李雨潭，朱華，高志軍，程新景

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江蘇徐州221116)

移動(dòng)機(jī)器人越來(lái)越多的被應(yīng)用在災(zāi)難救援、環(huán)境探測(cè)、反恐排爆等非結(jié)構(gòu)化地形中，其能否代替人很好地執(zhí)行任務(wù)取決于機(jī)器人是否能夠順利的進(jìn)入事故現(xiàn)場(chǎng)。因此，機(jī)器人行走機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)在機(jī)器人的整體設(shè)計(jì)中具有十分重要的地位。對(duì)于三大行走機(jī)構(gòu)，履帶式行走機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、地面適應(yīng)性強(qiáng)、控制容易等優(yōu)點(diǎn)［1-2］。大多數(shù)移動(dòng)機(jī)器人均采用履帶式行走機(jī)構(gòu)。但是，往往人們?cè)O(shè)計(jì)履帶式行走機(jī)構(gòu)時(shí)主要是側(cè)重在其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上，關(guān)注其結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度能不能滿(mǎn)足設(shè)計(jì)需求［3-4］，很少注重履帶地面力學(xué)性能的研究。而履帶地面力學(xué)性能往往影響著機(jī)器人的能量消耗、運(yùn)動(dòng)靈活度甚至是否能夠順利行走［5］。通常，履帶的接地長(zhǎng)度、寬度與兩側(cè)履帶中心距是構(gòu)成履帶地面力學(xué)的主要參數(shù)。并且可以知道，在履帶接地長(zhǎng)度一定的情況下，存在一個(gè)最佳的履帶寬度使轉(zhuǎn)向阻力最?。?］，履帶接地長(zhǎng)度與履帶軌距之間的比值影響轉(zhuǎn)彎的靈活性［7］。因此，履帶地面力學(xué)對(duì)于履帶行走機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)具有重要意義。履帶在硬路面上行走轉(zhuǎn)向主要克服履帶與地面間的摩擦力，在軟路面上行走轉(zhuǎn)向除了摩擦力還要克服履帶的側(cè)向推土阻力。目前，對(duì)于履帶行走轉(zhuǎn)向的力學(xué)模型分析并不全面，只分析了硬路面工況下履帶與地面間的摩擦力的求解［5］，或只考慮了軟路面工況下推土阻力的求解［8］，并沒(méi)有一個(gè)通用的數(shù)學(xué)模型。

本文旨在嘗試建立一個(gè)通用的履帶地面力學(xué)模型，并將此模型應(yīng)用到所研制的履帶式煤礦救援機(jī)器人的設(shè)計(jì)上，并根據(jù)設(shè)計(jì)的煤礦救援機(jī)器人驗(yàn)證理論結(jié)果。

1 物理模型的提出

對(duì)于在復(fù)雜路面上行走的履帶機(jī)器人，在直行過(guò)程中，機(jī)器人驅(qū)動(dòng)輪與履帶之間相互作用力只需要克服履帶與地面間的摩擦力，履帶與地面之間并無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)。而在履帶轉(zhuǎn)彎過(guò)程中，履帶必須與地面產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)，因此履帶地面力學(xué)主要是針對(duì)機(jī)器人轉(zhuǎn)彎過(guò)程提出的。將履帶所能接觸的地面分為硬質(zhì)地面和軟地面，對(duì)于在軟地面行駛，履帶受力情況相對(duì)復(fù)雜更能符合履帶機(jī)器人的實(shí)際工況。履帶在軟路面轉(zhuǎn)彎過(guò)程中，主要克服其與地面間的摩擦力與推土阻力。

對(duì)于履帶機(jī)器人轉(zhuǎn)彎，可以抽象為如圖1所示的物理模型。

圖1 履帶理想轉(zhuǎn)彎模型Fig.1 Track ideal turning model

圖中轉(zhuǎn)彎半徑R0與角速度 ω0可由式(1)求解［9］:

式中:B為兩條履帶的中心距，va1、va2分別為兩條履帶的速度。但是在實(shí)際過(guò)程中，因?yàn)槁膸Т嬖诨婆c滑轉(zhuǎn)［4，10-11］，同時(shí)會(huì)發(fā)生側(cè)向與橫向偏移［12-13］，所以轉(zhuǎn)彎過(guò)程并不是如圖1所示的理想情況，為了使模型更加接近實(shí)際，同時(shí)使推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型更加通用，對(duì)履帶轉(zhuǎn)彎物理模型進(jìn)行修正。

為了便于計(jì)算，引入打滑速度δi(i=1，2，i=1代表內(nèi)側(cè)，i=2代表外側(cè))。由于滑轉(zhuǎn)率的存在，真實(shí)速度并不等于理論速度，二者之間存在如下關(guān)系:

簡(jiǎn)化運(yùn)算，這里令履帶兩側(cè)打滑速度相同。均為δ，則

記履帶接地面速度瞬心產(chǎn)生的縱向偏移為Di(i=1，2，i=1代表內(nèi)側(cè)，i=2 代表外側(cè))。這里令A(yù)1=A2=A，D1=D2=D。因此，可以得出履帶實(shí)際轉(zhuǎn)彎模型如圖2所示。

圖2 履帶實(shí)際轉(zhuǎn)彎模型Fig.2 Track real turning model

2 數(shù)學(xué)模型的建立

根據(jù)創(chuàng)建的履帶實(shí)際轉(zhuǎn)彎物理模型，建立履帶轉(zhuǎn)彎數(shù)學(xué)模型。

2.1 履帶與地面摩擦阻力的計(jì)算

以一條履帶作為分析對(duì)象，將履帶實(shí)際接地面速度瞬心為原點(diǎn)，建立如圖3所示的坐標(biāo)系，取履帶接地面一微元dxdy，則有微量摩擦力dFi(其中i=1、2，分別代表內(nèi)、外側(cè)履帶)作用，方向與該點(diǎn)絕對(duì)速度相反，有

式中:p(x，y)為接地比壓函數(shù)。

圖3 履帶接地面受力圖Fig.3 Force diagram of track by the ground

dFi在X軸和Y軸方向的分量為

由此可得地面對(duì)履帶的轉(zhuǎn)向阻力Moi(繞履帶速度瞬心O)為

其中i=1，2。

當(dāng)i=1時(shí)為內(nèi)側(cè)履帶，此時(shí)的x、y的積分上下限分別為［R-B/2-0.5b，R-B/2+0.5b］、［-L/2-D，L/2-D］。

當(dāng)i=2時(shí)為外側(cè)履帶，此時(shí)的x、y的積分上下限分別為［R+B/2-0.5b，R+B/2+0.5b］、［-L/2-D，L/2-D］。

所以，履帶接地面與履帶間摩擦引起的總的轉(zhuǎn)向阻力為

2.2 履帶側(cè)面推土阻力計(jì)算

若忽略側(cè)面刮起土堆的質(zhì)量，履帶側(cè)面的受力如圖4所示。其中，Q為下部土壤對(duì)楔形土的反作用力，Cθ=ZC/sin θ為單位面積上的內(nèi)聚力，W為單位面積土壤重量，RB(θ)為單位長(zhǎng)度推土阻力，φw為板壁摩擦角，θ為破壞面角度，φ為土壤內(nèi)摩角。

圖4 履帶側(cè)面受力圖Fig.4 Force diagram of track by side

根據(jù)Bekker推薦的載荷沉陷量的關(guān)系可以推出式(8)［9］:

式中:z為沉陷量，kc、kφ是土壤內(nèi)聚及摩擦變形模量，n是變形指數(shù)。

履帶兩側(cè)任一單位長(zhǎng)度上的推土阻力RB可從力的平衡式中得到

式中:γs為土壤容重。

由于MTi只是θ的函數(shù)，MTi的最小值對(duì)應(yīng)著一定的θ值，在此θ值下，地面被破壞，故側(cè)面推土阻力產(chǎn)生的轉(zhuǎn)向阻力矩為

將式(12)代入式(11)，得

所以履帶側(cè)面推土引起的總的轉(zhuǎn)向阻力矩MT為

忽略履帶內(nèi)部摩擦阻力等因素，因此地面引起的總的轉(zhuǎn)向阻力矩M為

2.3 履帶地面力學(xué)數(shù)學(xué)模型

根據(jù)2.1與2.2節(jié)推導(dǎo)出的計(jì)算公式，可以得到通用的履帶地面力學(xué)數(shù)學(xué)模型，如式(16)所示，履帶在軟路面上的受力為兩部分力之和。

對(duì)于能夠正常行駛的履帶機(jī)器人，其履帶地面力學(xué)還必須能夠滿(mǎn)足履帶轉(zhuǎn)向條件，即對(duì)于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)力對(duì)旋轉(zhuǎn)中心的距大于阻止轉(zhuǎn)向的力［5］。針對(duì)本文中的模型，平行于Y方向摩擦力就是驅(qū)動(dòng)力對(duì)回轉(zhuǎn)中心的力矩:

平行X軸方向摩擦力就是阻止轉(zhuǎn)向的力矩:

機(jī)器人能成功轉(zhuǎn)向的必要條件是驅(qū)動(dòng)力對(duì)旋轉(zhuǎn)中心的距大于阻止轉(zhuǎn)向的力:

3 算例分析

根據(jù)所推導(dǎo)出的履帶地面力學(xué)模型，對(duì)正在研制的煤礦救援機(jī)器人履帶行走機(jī)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)。煤礦救援機(jī)器人主要用于煤礦發(fā)生事故后，機(jī)器人代替人對(duì)事故現(xiàn)場(chǎng)第一時(shí)間進(jìn)行井下災(zāi)后環(huán)境探測(cè)［14］，其工作環(huán)境為煤礦井下。為了使設(shè)計(jì)能夠更好地貼近實(shí)際，這里采樣了部分煤泥，依據(jù)土力學(xué)實(shí)驗(yàn)［15-16］測(cè)試出了計(jì)算所需的土壤力學(xué)參數(shù)，包括土壤內(nèi)聚變形模量kc=0.805 kN/mn+1、摩擦變形模量kφ=21.36 kN/mn+2、變形指數(shù)n=0.3、土壤土壤內(nèi)摩擦角φ=30.93°和粘聚力C=11 610 Pa。根據(jù)實(shí)際情況，所設(shè)計(jì)的機(jī)器人其履帶接地長(zhǎng)度L應(yīng)當(dāng)大于1 000 mm，履帶中心距B應(yīng)該大于700 mm才能滿(mǎn)足要求。根據(jù)需要令B∈［700，800］mm，b∈［80，120］mm。

設(shè)計(jì)思路是在履帶寬度b和履帶中心距B的變化范圍內(nèi)，尋找轉(zhuǎn)彎阻力矩M最小的組合。因此將式(16)作為目標(biāo)函數(shù)，將式(19)作為約束條件，進(jìn)行最優(yōu)化求解，其中機(jī)器人質(zhì)量M=300 kg，地面與履帶間摩擦系數(shù)μ=0.55，va1=0.4 m/s，va2=-0.4 m/s 。

在使用所推導(dǎo)出的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行煤礦救援機(jī)器人設(shè)計(jì)優(yōu)化的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)軟件無(wú)法解決二重積分變上限的最優(yōu)化求解問(wèn)題，因此使用了數(shù)值分析方法結(jié)合C語(yǔ)言編程，運(yùn)用遍歷求解的思想來(lái)尋找所設(shè)計(jì)煤礦救援機(jī)器人的履帶最優(yōu)參數(shù)，最終得到計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

程序共求解出189組值，每組值對(duì)應(yīng)一個(gè)B與b。根據(jù)計(jì)算的數(shù)據(jù)，所設(shè)計(jì)煤礦探測(cè)機(jī)器人在B=700 mm，b=120 mm時(shí)轉(zhuǎn)向阻力矩最小，其值為314.08 N·m。

因?yàn)楝F(xiàn)階段所設(shè)計(jì)的煤礦救援機(jī)器人還未取得煤礦安全標(biāo)志許可，故無(wú)法在井下煤泥地面進(jìn)行試驗(yàn)。因此選擇與煤泥相近的地面，進(jìn)行原地轉(zhuǎn)向試驗(yàn)，可以測(cè)出在此狀態(tài)下機(jī)器人的總電流為25 A。根據(jù)電機(jī)特性計(jì)算出扭矩約為293 N·m，與理論值相近。

圖5 轉(zhuǎn)向阻力矩圖Fig.5 Steering resistance torque

圖6 機(jī)器人原地轉(zhuǎn)彎試驗(yàn)Fig.6 Experiment of turning about the center

4 結(jié)束語(yǔ)

本文主要推導(dǎo)出了履帶式移動(dòng)機(jī)器人地面力學(xué)的通用數(shù)學(xué)模型，為設(shè)計(jì)優(yōu)化履帶式移動(dòng)機(jī)器人底盤(pán)提供了理論依據(jù)。通過(guò)尋找轉(zhuǎn)彎阻力矩的最小值，可以得出履帶的寬度、接地長(zhǎng)度與兩條履帶的中心距的最佳值，與此同時(shí)還可以理論計(jì)算出所需要的最小驅(qū)動(dòng)力矩，從而為原動(dòng)機(jī)選型提供理論依據(jù)，通過(guò)此公式計(jì)算出的理論值與實(shí)際測(cè)試的結(jié)果相近。

［1］KWON H J，SHIM H，KIM D，et al.A development of a transformable caterpillar equipped mobile robot［C］//IEEE International Conference on Control，Automation and Systems.Seoul，Korea，2007:1062-1065.

［2］FRACZEK J，SUROWIEC M，WOJTYRA M，et al.Multibody modelling of a tracked robot＇s actuation system［J］.Geoplanet Earth and Planetary Sciences，2013:75-93.

［3］趙文生.履帶式行走機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)分析［J］.湖北農(nóng)機(jī)化，2010(4):56-58.

［4］趙瑜，閆宏偉.履帶式行走機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)分析和研究［J］.新技術(shù)新工藝，2010(5):50-53.ZHAO Yu，YAN Hongwei.Design analysis and research on tracked walking mechanism［J］.New Technology＆ New Process，2010(5):50-53.

［5］劉國(guó)民，黃海東，張萃.履帶底盤(pán)轉(zhuǎn)向解析［J］.中國(guó)工程機(jī)械學(xué)報(bào)，2010，8(3):309-313.LIU Guomin，HUANG Haidong，ZHANG Cui.Analysis on turning mode for crawler chasses［J］.Chinese Journal of Construction Machinery，2010，8(3):309-313.

［6］MARSILI A，SERVADIO P.Compaction effects of rubber or metal-tracked tractor passes on agricultural soils［J］.Soil＆Tillage Research，1996，37(1):37-45.

［7］BODIN A.Development of a tracked vehicle to study the influence of vehicle parameters on tractive performance in soft terrain［J］.Journal of Terramechanics，1999，36(3):167-181.

［8］孫海濤，王國(guó)強(qiáng)，王良，等.軟路面履帶轉(zhuǎn)向阻力的研究［J］.建筑機(jī)械，1995(9):23-26.SUN Haitao，WANG Guoqiang，WANG Liang，et al.Study of turning resisting moment of tracked vehicles on soft ground［J］.Construction Machinery，1995(9):23-26.

［9］劉國(guó)民，黃海東.履帶底盤(pán)轉(zhuǎn)向軌跡的研究［J］.水利電力機(jī)械，1998(5):18-21.LIU Guomin，HUANG Haidong.Study on turning track of caterpillar base plate［J］.Water Conservancy ＆ Electric Power Machinery，1998(5):18-21.

［10］WONG J Y.Development of high-mobility tracked vehicles for over snow operations［J］.Journal of Terramechanics，2009，46(4):141-155.

［11］YAMAKAWA J，WATANABE K.A spatial motion analysis model of tracked vehicles with torsion bar type suspension［J］.Journal of Terramechanics，2004，41(2/3):113-126.

［12］程軍偉，高連華，王紅巖，等.基于滑動(dòng)及計(jì)履帶寬的條件車(chē)輛轉(zhuǎn)向負(fù)荷的計(jì)算［J］.車(chē)輛與動(dòng)力技術(shù)，2007(1):40-44.CHENG Junwei，GAO Lianhua，WANG Hongyan，et al.Calculation of tracked vehicle steering-load based on conditions of tracks’slip and track-width considered［J］.Vehicle＆ Power Technology，2007(1):40-44.

［13］史力晨，王良曦，張兵志.履帶車(chē)輛轉(zhuǎn)向動(dòng)力學(xué)仿真［J］.兵工學(xué)報(bào)，2003，24(3):289-293.SHI Licheng，WANG Liangxi，ZHANG Bingzhi.Dynamic simulation of tracked vehicle steering performance［J］.Acta Armamentarii，2003，24(3):289-293.

［14］王勇，朱華，王永勝，等.煤礦救災(zāi)機(jī)器人研究現(xiàn)狀及需要重點(diǎn)解決的技術(shù)問(wèn)題［J］.煤礦機(jī)械，2007，28(4):107-109.WANG Yong，ZHU Hua，WANG Yongsheng，et al.Current status and technical problems in research of coal［J］.Coal Mine Machinery，2007，28(4):107-109.

［15］孟為國(guó)，趙又群.田間土壤力學(xué)參數(shù)測(cè)定方法研究［J］.農(nóng)業(yè)開(kāi)發(fā)研究，2009(1):8-10.MENG Weiguo，ZHAO Youqun.Research for method of testing soil mechanics parameters［J］.Research in Agriculture Development，2009(1):8-10.

［16］王文隆，王修斌.地面力學(xué)中土壤參數(shù)的選定及測(cè)量方法和儀器［J］.農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，1983(4):1-5.WANG Wenlong，WANG Xiubin.The study of soil parameter standard in the terramechanics and the instrument for parameter measuring［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，1983(4):1-5.