周杰，曹志鋼，菊池久和

(1.南京信息工程大學電子與信息工程學院，南京210044;2.日本國立新瀉大學 電氣電子工學科，新瀉950-2181)

近年來，在無線通信中對MIMO(multiple-input multiple-output)系統(tǒng)［1-3］的研究越來越多，建立能夠準確描述信道多徑效應的無線信道模型，對于研究無線移動通信系統(tǒng)有著重要的作用。同時，移動通信領域中的信道均衡［4］、信道編碼［5］以及信道調(diào)制［6］等都極大程度地依賴于無線信道的特性。早在1999年和 2002年，Ertel.R 和 Petrus.B 就分別提出了散射體空間分布圓模型和橢圓模型［7-8］。在此基礎上又提出了Mahmoud.S和Jaafar.I的散射體雙曲線分布模型散射體空心圓環(huán)分布模型［9-10］以及Jiang.L［11-12］的基于瑞利分布和指數(shù)分布圓模型等。但是以上模型仍然存在一定的估計錯誤，都沒考慮過俯仰角對信道參數(shù)估計的影響。文獻［13-14］給出了測量結(jié)果，表明在俯仰角大于10°情況下，波達信號中大約包含了65%［13］的總能量，當俯仰角在0°～10°時，波達信號中包含了 90%［14］的總能量。在文獻［15］中 K.B.Baltzis提出一種三維空間信道模型，基站的位置離地面具有一定的高度，而散射體分布空間則是一個二維平面空間的圓形區(qū)域。例外，S.J.Nawaz也提出一種在基站有指向性天線的三維空間信道模型［16］，引入了主瓣寬度為2α的指向性天線。

但是，以上這些三維空間信道模型都是假設在整個散射體覆蓋下服從均勻分布，沒有考慮到移動臺周圍可能出現(xiàn)極端特殊情況。比如在許多體育運動比賽現(xiàn)場觀眾數(shù)量眾多時，很容易造成電子設備(移動臺)周圍散射體數(shù)量稀少，甚至于為零。這就需要一種改進的三維信道模型來準確地描述波達信號的傳播特點?？梢园l(fā)現(xiàn)，在各種體育比賽中此特殊通信環(huán)境是廣泛存在的。本文針對此特定的移動通信環(huán)境，建立一種三維空間域統(tǒng)計信道模型，并且估計出此空間信道的重要時空信道參數(shù)。

1 三維空間統(tǒng)計信道模型

1.1 三維空間信道模型

如圖1所示，本文建立一種三維空間統(tǒng)計信道模型。假設在信道模型中，所有散射體分布在一個空心半橢圓球體Ⅰ空間內(nèi)，橢圓球體長軸為a1，短軸為b1，而空心橢圓球體長軸為a2，短軸為b2?；倦x地面的垂直高度為H，基站到移動臺的水平距離為D。圖1顯示任意散射點SP反射產(chǎn)生的來波信號方位角和俯仰角分別為φm和βm，散射體點到移動臺的距離為rm。

圖1 三維空間統(tǒng)計信道模型Fig.1 3D spatial statistical channel model

如圖1，散射體分布空間體積為

式中:V1和V2分別為大、小半橢圓球體的體積。

1.2 上行鏈路AOA概率密度分布

假設散射體在三維空間信道模型內(nèi)是均勻分布的，則散射體分布函數(shù)為

式中:Ⅰ是空心橢圓球體的散射體分布空間，V是散射體分布空間體積。

通過雅可比式將坐標(xm，ym，zm)轉(zhuǎn)換為(rm，βm，φm)，計算得到到達角度(angle of arrival，AOA)聯(lián)合分布函數(shù):

式(1)對rm進行積分，可以得到p( βm，φm)聯(lián)合概率密度函數(shù):

其中，

對式(2)直接積分βm，計算得到方位角的邊緣概率密度函數(shù):

俯仰角的邊緣密度函數(shù)可以通過同樣的方法得到

從式(3)和(4)中可以發(fā)現(xiàn)，p( φm)和p( βm)之間是相互獨立的，即

2 上行鏈路TOA概率密度分布

對任何散射體反射的信號，從基站到移動臺存在傳播路徑，其到達時延τ為

式中:c為光速。基站與移動臺之間的最短距離為直達視距DLOS，則信號的到達時延最小值τmin為

其到達時延的最大值τmax為

通過三角函數(shù)計算可以到rb關于的表達式:

利用雅可比轉(zhuǎn)換，同樣推導出上行鏈路的AOA/TOA聯(lián)合概率密度函數(shù):

對式(7)進行βm積分，計算得到移動臺的方位角到達時間(time of arrival，TOA)聯(lián)合分布函數(shù):

其中，

3 多普勒頻移概率密度分布

在三維空間信道模型中，移動臺的移動特性會使信號產(chǎn)生多普勒頻移(Doppler shift，DS)。因此，多普勒頻移與傳播路徑中角度的關系為

式中:fc為信號的載波頻率，fm=vfc/c是最大多普勒頻移。定義γ≡fDS/fm，則有

為求解多普勒頻移的概率密度函數(shù)，可采用求解多普勒頻移的累積分布函數(shù)(cumulative density functions，CDFs):

將式(4)代入式(9)，并且令x=sin βm，ε1=a1/b1和 ε2=a2/b2，則有

其中，

利用文獻［17］，計算得到多普勒頻移概率密度函數(shù)的表達式:

其中，

式中:V是散射體分布空間，E(·)是第二類完全橢圓積分，定義為

4 仿真結(jié)果分析

4.1 AOA 結(jié)果分析

圖2給出了參數(shù)a1/b1對上行鏈路俯仰角邊緣密度函數(shù)的影響。從圖中可以看出，隨著a1/b1不斷增大，俯仰角的概率密度分布主要集中在βm=0°處，而在大角度處βm≥50°其概率分布非常小。這是因為隨著a1/b1不斷增大，即橢圓體短軸的不斷變小，散射體在俯仰角小角度的數(shù)量比在大角度的數(shù)量要多，從而導致其信號的反射概率比較大。特別地，當a1/b1=1時，俯仰角邊緣密度函數(shù)曲線正好是一條余弦函數(shù)曲線。圖3顯示了在空心橢圓球體取不同形狀下，俯仰角邊緣密度分布的變化規(guī)律。當a2＜b2，與圖2相比較，隨著短軸的減小，圖3的密度函數(shù)曲線變化趨勢波動比較小，但還是一條單調(diào)變化的曲線。而當a2＞b2，此時的曲線出現(xiàn)了極大值，極大值出現(xiàn)的地方隨著長軸a2的增大而向俯仰角大角度靠攏。特別地，當a2增大到100 m極限長度時，其概率密度函數(shù)分布在βm=0°的取值為零，其最大概率在βm=40°左右。與Janaswamy模型［18］比較可以發(fā)現(xiàn)，只要a1/b1=a2/b2的比值與Janaswamy模型是相同，其仿真結(jié)果是一致的。這說明不管移動臺周圍空心散射體空間如何變化，其參數(shù)a1/b1對上行鏈路俯仰角邊緣密度函數(shù)的影響主要取決于外圍散射體空間的大小。

圖2 參數(shù)a1/b1對俯仰角邊緣密度函數(shù)的影響(D=500 m，H=100 m，a1=100 m，a1/b1=a2/b2)Fig.2 The influence of the parameter a1/b1on the EA marginal density function(D=500 m，H=100 m，a1=100 m，a1/b1=a2/b2)

圖3 不同空心形狀對俯仰角邊緣密度函數(shù)的影響(D=500m，H=100m，a1=b1=100m)Fig.3 The influence of the different hollow shape on EA marginal density function(D=500m，H=100m，a1=b1=100m)

4.2 TOA 結(jié)果分析

圖4為上行鏈路方位角的TOA聯(lián)合概率密度。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，方位角的TOA最大概率主要集中在最小時延τmin和方位角φm=0°的區(qū)域。作為對比圖，同時給出了Janaswamy模型［18］的TOA估計結(jié)果。圖4可以看出，隨著空心率(a2/a1的比值)的不斷變大，TOA聯(lián)合密度函數(shù)分布主要集中在大角度和長時延處。當a2→a1時，三維空間模型趨近于三維圓環(huán)模型，此時TOA聯(lián)合分布函數(shù)呈現(xiàn)“人型”分布。如果假設a2=b2→0、H→0和b1→0，本文提出的模型就轉(zhuǎn)化為Ertel.R圓模型［7］，兩者的分析結(jié)果是一致的。

圖4 上行鏈路方位角的TOA聯(lián)合概率密度分布(D=500 m，H=100 m，a1=b1=100 m)Fig.4 The TOA joint probability density distribution of the uplink AA(D=500 m，H=100 m，a1=b1=100 m)

圖5為俯仰角的時延特性TOA聯(lián)合概率密度分布。移動臺MS接收信號表現(xiàn)集中在全方位和短時延。隨著空心率的增加，受遠處散射體的影響，移動臺所接收信號經(jīng)歷角度到達和時延也不斷增大。但是不管空心率怎么變化，TOA聯(lián)合概率密度峰值始終在(τp，φmp)點達到峰值，其中 τp=τ+min和φm=0+。這是因為信號在直達視距LOS上的散射體反射概率是最大的，數(shù)值結(jié)果符合信道定性分析。

圖5 上行鏈路俯仰角的TOA聯(lián)合概率密度分布(D=500 m，H=100 m，a1=b1=100 mFig.5 The TOA joint probability density distribution of the uplink EA(D=500 m，H=100 m，a1=b1=100 m)

4.3 DS 結(jié)果分析

圖6為參數(shù)a1/b1(ε1)對多普勒頻移的概率密度函數(shù)的影響。圖7顯示了不同形狀的三維散射體空間對多普勒頻移概率密度的影響。在圖6中，隨著ε1逐漸增大，多普勒頻移的概率密度值|γ|=1不斷變大。從圖7中可以發(fā)現(xiàn)，當b2＜a2=50 m時，其圖形是倒U型，多普勒頻移概率密度的最大值在|γ|=0處。而當b2＞a2=50 m時，最大值在|γ|=1處。這是因為隨著移動臺周圍空心散射體區(qū)域的逐漸變大，俯仰角的密度函數(shù)逐漸變小，從而導致多普勒頻移密度函數(shù)的改變。

對于特殊情況:

1)當ε1→∞，即b1=0時，三維空間模型就變成了經(jīng)典Clarke二維模型，俯仰角的密度函數(shù)可以看作p(βm)=δ(βm)，其中 δ(·)是狄拉克 δ函數(shù)。則經(jīng)典Clarke二維模型的多普勒頻移概率密度函數(shù)為

2)當 ε1= ε2=1，即a1/b1=a2/b2時，由式(10)可以看出p(γ)=1/2(圖6所示)。也就是說只要中間空心散射體區(qū)域的比例不變時，多普勒頻移的概率密度函數(shù)是不變的，這是由于橢圓體模型的特殊性所決定的。

圖6 參數(shù)a1/b1對多普勒頻移的概率密度函數(shù)的影響(D=500 m，H=100 m，a1=100 m，a1/b1=a2/b2)Fig.6 The influence of the parameter a1/b1on the DS probability density function(D=500 m，H=100 m，a1=100 m，a1/b1=a2/b2)

圖7 不同空心形狀對多普勒頻移概率密度函數(shù)的影響(D=500 m，H=100 m，a1=b1=100 m)Fig.7 The influence of the different hollow shape on DS probability density function(D=500 m，H=100 m，a1=b1=100 m)

5 結(jié)束語

針對某些特殊的移動通信環(huán)境，比如移動臺周面散射體為零，本文建立了新的三維空間統(tǒng)計信道模型。與二維空間模型比較，本文在上行鏈路中分別推導出了方位角和俯仰角的AOA邊緣密度函數(shù)，拓展了波達信號在垂直面內(nèi)的參數(shù)估計。與三維信道模型相比較，本文給出了波達信號TOA聯(lián)合密度函數(shù)的解析表達式，更好地闡明了方位角和俯仰角的TOA聯(lián)合分布特點。通過移動臺周圍空心形狀的極限變形，本模型能轉(zhuǎn)換成三維Janaswamy模型［18］。而當加入指向性天線時，本模型就能轉(zhuǎn)換為S.J.Nawaz模型［16］，說明本模型適用于多種移動通信環(huán)境，為三維空間中信道統(tǒng)計特征的研究提供有力的研究工具。

［1］CHUNG J M，KIM J，HAN D.Multihop hybrid virtual MIMO scheme for wireless sensor networks［J］.IEEE Transactions on Vehicular Technology，2012，61(9):4069-4078.

［2］NISHIMORI K，HONMA N，MURAKAMI T，et al.Effectiveness of relay MIMO transmission by measured outdoor channel state information［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2012，60(2):615-623.

［3］ZHANG Lu，LI Yongzhao，CIMINI L J.Statistical performance analysis for MIMO beam forming and STBC when co-channel interferers use arbitrary MIMO models［J］.IEEE Transactions on Communications，2012，60(10):2926-2937.

［4］CHEN B S，YANG Changyi，LIAO Weiji.Robust fast timevarying multipath fading channel estimation and equalization for MIMO-OFDM systems via a fuzzy method［J］.IEEE Transactions on Vehicular Technology，2012，61(4):1599-1609.

［5］BURSALIOGLU O Y，CAIRE G，DIVSALAR D.Joint source-channel coding for deep-space image transmission using rateless codes［J］.IEEE Transactions on Communications，2013，61(8):3448-3461.

［6］SABRY M M，SRIDHAR A，MENG Jie，et al.An energyefficient liquid cooling design technique for 3-D MPSoCs via channel width modulation［J］.IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems，2013，32(4):524-537.

［7］ERTEL R B，REED J H.Angle and time of arrival statistics for circular and elliptical scattering model［J］.IEEE Journal on Selected Areas in Communications，1999，17(11):1829-1840.

［8］PETRUS P，REED J H，RAPPAPORT T S.Geometricalbased statistical macrocell channel model for mobile environments［J］.IEEE Transactions on Communications，2002，50(3):495-502.

［9］MAHMOUD S S，AL-QAHTANI F S，HUSSAIN Z M，et al.Spatial and temporal statistics for the geometrical-based hyperbolic macrocell channel model［J］.Digital Signal Processing，2008，18(2):151-167.

［10］JAAFAR I，BOUJEMAA H，SIALA M.Angle and time of arrival statistics for hollow-disc and elliptical scattering models［C］//Proceedings of the 2nd International Conference on Signals， Circuits and Systems.Monastir，2008:1-4.

［11］JIANG Lei，TAN S Y.Geometrically based power azimuth spectrum models for mobile communication systems［J］.Microwave and Optical Technology Letters，2007，49(9):2093-2097.

［12］JIANG Lei，TAN S Y.Geometrically based statistical channel models for outdoor and indoor propagation environments［J］.IEEE Transactions on Vehicular Technology，2007，56(6):3587-3593.

［13］KUCHAR A，RROSSI J P，BONEK E.Directional macrocell channel characterization from urban measurements［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagations，2000，48(2):137-146.

［14］FULH J，ROSSI J P，BONEK E.High-resolution 3-D direction-of-arrival determination for urban mobile radio［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagations，1997，45(4):672-682.

［15］BALTZIS K B，SAHALOS J N.A simple 3-D geometric channel model for macrocell mobile communications［J］.Wireless Personal Communications，2009，51(2):329-347.

［16］NAWAZ S J，QURESHI B H，KHAN N M.A generalized 3-D scattering model for a macrocell environment with a directional antenna at the BS［J］.IEEE Transactions on Vehicular Technology，2010，59(7):3193-3204.

［17］JEFFREY A，ZWILLINGER D.Tables of integrals，series，and products［M］.7th ed.New York:Academic Press，2000:1-10.

［18］JANASWAMY R.Angle of arrival statistics for a 3-D spheroid model［J］.IEEE Transactions on Vehicular Technology，2002，51(5):1242-1247.