俞清云，程雪蘋，2，李俊余，2，陳婷婷，井少杰，張景茹（.浙江海洋學院數(shù)理與信息學院，浙江舟山　36022；2.浙江省海洋大數(shù)據(jù)挖掘與應用重點實驗室，浙江舟山　36022）

·研究簡報·

修正Korteweg-de Vries方程的扭結-非線性波相互作用解

俞清云1，程雪蘋1，2，李俊余1，2，陳婷婷1，井少杰1，張景茹1
（1.浙江海洋學院數(shù)理與信息學院，浙江舟山316022；2.浙江省海洋大數(shù)據(jù)挖掘與應用重點實驗室，浙江舟山316022）

最近研究發(fā)現(xiàn)，對于任一Painlevé可積系統(tǒng)，截斷Painlevé展開的留數(shù)正是原系統(tǒng)的非局域對稱，亦稱非局域留數(shù)對稱。本文通過將修正Korteweg-de Vries（mKdV）方程的非局域留數(shù)對稱局域化成延拓mKdV系統(tǒng)的李點對稱，再利用李對稱約化方法，得到mKdV方程的兩類扭結和非線性波相互作用解。當移除非局域留數(shù)對稱部分，該兩類解退化為mKdV方程的一般對稱約化解。

修正Korteweg-de Vries方程；非局域留數(shù)對稱；對稱約化；扭結-非線性波相互作用解

到目前為止，科學家們已經(jīng)找到了很多研究非線性波的模型，如Korteweg de Vries（KdV）方程，修正Korteweg-de Vries（mKdV）方程，Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程，非線性Schr？dinger（NLS）方程，sine-Gordon（SG）方程等等。這些系統(tǒng)幾乎在所有物理領域都有廣泛應用，尤其是在流體力學，等離子體物理，光學，凝聚態(tài)物理，量子物理和天體物理等領域［1-2］。同時，人們也利用各種有力手段找到了這些模型的許多不同類型的非線性波（非線性激發(fā)），如孤立子，扭結，橢圓周期波，Painlevé波等。在發(fā)現(xiàn)和構造出大量非線性激發(fā)模式后，隨著研究的不斷發(fā)展和深入，這些激發(fā)模式之間的相互作用也逐漸引起了人們的關注。到目前為止，孤立子-孤立子相互作用是眾多相互作用激發(fā)模式中研究得最為廣泛的。然而，盡管孤立子-孤立子相互作用已有大量研究，而要得到以上不同類型非線性波之間的相互作用卻仍然是一個非常棘手的課題。最近我們關于這方面的研究有了新的進展［3-5］。

自LIE［6］第一次將李群理論應用到微分方程以來，李群方法已經(jīng)成為數(shù)學和物理領域一個非常重要的課題。利用經(jīng)典和非經(jīng)典李群法［7-8］，可以降低偏微分方程（PDEs）的維度進而構建它們的解析解。與經(jīng)典李群法類似，李點對稱方法同樣可以降低對應偏微分方程的維度。然而，運用對稱理論解決非線性方程問題，特別是約化非線性偏微分方程，以往人們通常采用局域對稱。倘若給定非線性偏微分方程的非局域對稱，又如何達到降低維度的目的呢？一個簡單且直接的方法就是將原方程進行延拓，使得原非線性系統(tǒng)的非局域對稱變成延拓系統(tǒng)的局域對稱。文獻［4］中，作者通過將NLS系統(tǒng)的與達布變換相關的非局域對稱延拓成李點對稱，并運用對稱約化方法得到了該方程的多種不同類型孤立子-非線性波的相互作用解。本文，我們將以mKdV方程為例，通過將其非局域留數(shù)對稱局域化成對應延拓系統(tǒng)的李點對稱，進而利用經(jīng)典李對稱法獲得mKdV系統(tǒng)的扭結-非線性波相互作用解。

1　mKdV方程的非局域留數(shù)對稱

考慮如下形式的mKdV方程

其中α，β為常數(shù)，分別描述非線性和色散效應。mKdV方程作為描述非諧晶格中聲波的一個模型［9］，由MIURA［10］最早引入。該方程還可用于研究非線性光學中的波動問題［11］，塵埃等離子體中的塵埃聲孤波［12］等。由于mKdV方程的廣泛應用，對該方程的求解也成了研究該方程的一個重要組成部分。在過去的幾十年里，人們利用多種研究手段得到了mKdV方程的各類數(shù)值或解析解［13-14］。

根據(jù)WTC（Weiss，Tabor，Carnevale）［15］方法，采用展開式

其中φ≡φ（x，t）是一個任意奇異流形。將展開式（1.2）代入mKdV方程（1.1）并由領頭項分析（即平衡色散項uxxx和非線性項u2ux）得

于是有mKdV方程的Painlevé截斷展開式

將展開式（1.3）代入mKdV方程并消去φ的不同次冪得到如下五個方程

從以上最后一個方程（1.8）不難得到

其中δ=±1。比較方程（1.4）和（1.1）不難發(fā)現(xiàn)，u1正是滿足mKdV方程的解，所以有mKdV方程的B？cklund變換

也就是說，如果u1是mKdV方程（1.1）的解，那么滿足式子（1.10）的u也是該方程的解。從方程（1.5）不難驗證，u0正是mKdV方程（1.4）的線性化方程（或對稱方程），于是有u1的對稱

從方程（1.7）并考慮（1.9）式可得到u1和流函數(shù)φ滿足關系式

由于對稱（1.11）包含流函數(shù)的一次導數(shù)而u1和流函數(shù)φ又有如上（1.12）式的關系，故（1.11）是u1的一個非局域對稱，亦即非局域留數(shù)對稱。繼續(xù)考慮方程（1.6），得到（1.12）的相容性條件

也就是說，方程（1.12）和（1.13）的可積條件φxxt=φtxx正是mKdV方程（，1.4）。

對稱（1.11）是非局域的，接下來我們將其局域化。若要局域化非局域對稱（1.11），首先必須考慮取u的對稱變換u→u+εσu的情況下，變量φ和

對應的變換是什么？也就是求方程（1.12）和（1.14）的線性化方程

需要指出的是，為方便起見，此處u和σu分別代替u1和σu1。如無特殊說明，以下段落均以此表示。將（1.11）代入方程組（1.15）并求解得

其中φ1滿足相容性條件

該條件意味著等式φ1xt=φ1tx恒成立。

對稱（1.11）和（1.16）表明原來｛x，t，u｝空間的非局域對稱已成功局域化為延拓空間｛x，t，u,φ,φ1｝的李點對稱。該對稱的矢量形式可表示成或者也可以說，原空間的非局域對稱只是延拓系統(tǒng)｛（1.1），（1.12），（1.14）｝的一個特殊的李點對稱。

這里需要說明的是方程（1.13）和（1.17）可以包括到延拓系統(tǒng)中，或者也可以作為延拓系統(tǒng)的相容條件來處理。

2　mKdV方程的新對稱約化

現(xiàn)在考慮延拓系統(tǒng)｛（1.1），（1.12），（1.14）｝的對稱約化。根據(jù)經(jīng)典李點對稱方法，設對稱的矢量形式滿足

其中X，T，U，Φ，Φ1是關于變量｛x，t，u,φ,φ1｝的函數(shù)。對稱（3.1）意味著該封閉系統(tǒng)在變換

意義下保持不變。由于系統(tǒng)不顯含時間、空間變量，矢量形式的對稱（2.1）可以寫成函數(shù)形式

這里，σu，σφ，σφ1為對稱方程，即延拓系統(tǒng)的線性化方程的解

將對稱（2.3）代入（2.4）并根據(jù)封閉延拓系統(tǒng)及其相容性條件消去ut，φx，φt，φ1x，φ1t等項，得到56個關于函數(shù)X, T,U,Φ,Φ1的決定方程。利用計算工具Maple解之得

其中c1，c2，c3，c4，x0，t0均為任意常數(shù)。于是對稱（2.3）可以寫成

設方程（3.6）中σu，σφ，σφ1為零，或等價于解特征方程

便得延拓系統(tǒng)的相似約化解。

接下來將分c1≠0和c1=0兩種情形進行討論。

2.1第一類相似約化（c1≠0）

令方程（2.6）中σu=σφ=σφ1=0，解得延拓系統(tǒng)的相似約化解

其中

式（2.8）中U=U（ξ），Φ≡Φ（ξ），Φ1≡Φ1（ξ）為三個群不變函數(shù)，相似變量

將相似解（2.8）代入延拓系統(tǒng)｛（1.1），（1.12），（1.14）｝得約化方程

經(jīng)過整理將約化方程（2.9）簡化為

其中變換

且

一旦給定非線性偏微分方程（2.10）的解，那么結合（2.11），（2.12）和（2.8），可得延拓系統(tǒng)｛（1.1），（1.12），（1.14）｝的解。從解（2.8）不難分析，式中tanh部分的出現(xiàn)意味著此時群不變解是一個扭結和非線性波的相互作用。這里我們不再作深入討論。

2.2第二類相似約化（c1=0）

當c1=0時，相似變量變?yōu)棣?t-t0x，對應的相似解滿足如下形式

再將解（2.13）代入延拓系統(tǒng)｛（1.1），（1.12），（1.14）｝，得到對應的約化方程

經(jīng)過整理，方程（2.14）可進一步簡化為

或

其中Ψ=t0Φη-x0。另外

從方程（2.16）知道，它的解可以由Jacobi橢圓函數(shù)給定。設方程（2.15）的解形如

其中Eπ（，，）為第三類不完全橢圓積分，sn（，）≡sn為Jacobi橢圓正弦函數(shù)。將（2.18）代入（2.15）并消去sn的不同次冪，得到以下四種形式的解：

解1

解2

解3

解4其中另外六個常數(shù)ci（i=1，2，3，4），x0，t0，k仍為任意常數(shù)。

將滿足（2.19）（或（2.20），或（2.21），或（2.22））的Φ，Φ1和U（由式（2.17）和（2.18）給定）代入（2.13）便得mKdV方程的相似解。由于式子過于冗長，此處不再詳述。事實上，不論是約化解（2.8）還是（2.13），若從中移除周期波部分（即Φ部分），剩下的只是一個扭結，此即mKdV方程的一般對稱約化解。

圖1給出參數(shù)滿足（2.21）式時mKdV方程的扭結-橢圓周期波相互作用解，其中1（a）為x=0處相互作用解隨時間t的演化圖，圖1（b）為對應的三維演化圖。解中其余參數(shù)設定為β=t0=k=1，m=0.99，α=6，x0=-2.5。圖2展示了參數(shù)滿足（2.22）時mKdV方程的扭結-橢圓周期波相互作用解，其中圖2（a）為t=0時刻相互作用解隨位置x的演化圖，圖2（b）為對應的三維演化圖。解中其余參數(shù)設定為β=δ=k=1，m=0.99，x0=2.5，t0=-0.8，α=6。觀察圖1和2不難得到，扭結和橢圓波之間作用是伴有相移的彈性相互作用，其中相移為半波長。

3　結論

圖1　mKdV方程的扭結-橢圓周期波相互作用解，其中參數(shù)滿足（2.21）且取m=0.99，β=δ=t0=k=1，α=6，x0=-2.5. （a）x=0處相互作用解隨時間演化圖.（b）三維演化圖.Fig.1 The kink-cnoidal wave interaction solution for the mKdV equation with the parameter satisfying（2.21）and m=0.99，β=δ=t0= k=1，α=6，x0=-2.5.（a）the time evolution of kink-cnoidal wave interaction solution at x=0.（b）the 3-D plot.

圖2　mKdV方程的扭結-橢圓周期波相互作用解，其中參數(shù)滿足（3.22）且取m=0.99，α=6，β=δ=k=1，t0=-0.8，x0=2.5.（a）t=0時刻相互作用解隨演化圖.（b）三維演化圖.Fig.2　The kink-cnoidal wave interaction solution for the mKdV equation with the parameter selections（3.22）and m=0.99，α=6，β=δ=k=1，t0=-0.8，x0=2.5.（a）the kink dressed by a cnoidal periodic wave at t=0.（b）the 3-D plot.

值得強調的是，本文我們采用非局域留數(shù)對稱及對稱約化方法得到的相互作用解同樣可以通過其他方法得到，包括與達布變換相關的非局域對稱約化法［4］，相容Riccati展開法［16］，相容tanh函數(shù)展開法［17］等。當然，本文運用的方法和結果對其他眾多非線性系統(tǒng)同樣適用。至于在更多其他非線性系統(tǒng)中的應用、其他不同類型非線性波的相互作用解以及其他可能的新的物理應用等，我們將作后續(xù)研究和報道。

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Interactions between Kinks Described by Modified Korteweg-de Vries Equation and Nonlinear Waves

YU Qing-yun1，CHENG Xue-ping1，2，LI Jun-yu1，2，et al
（1.School of Mathematics，Physics and Information Science，Zhejiang Ocean University，Zhoushan316022；
2.Key Laboratory of Oceanographic Big Data Mining and Application of Zhejiang Province，Zhoushan 316022，China）

Recently，it was found that the symmetry related to the Painlevé truncated expansion is just the residue with respect to the singular manifold，which is called non-local residual symmetry.In this paper，by localizing the nonlocal residual symmetry of modified Korteweg-de Vries（mKdV）equation，which is related to the truncated Painlevé expansion，to the Lie point symmetry of extended modified Korteweg-de Vries system，two types of exact solutions of mKdV equation have been obtained by using the symmetry reduction method.These two types of solutions reduce to the usual similarity reduction solutions of mKdV equation when the nonlocal symmetry is removed.

modified Korteweg-de Vries equation；nonlocal residual symmetry；symmetry reduction；kink-nonlinear wave interaction solution

O175.29

A

1008-830X（2015）04-0387-08

2015-01-10

浙江省大學生科技創(chuàng)新活動計劃（新苗人才計劃）項目（2014R411016）；國家自然科學基金（11505154）

俞清云（1992-），男，浙江慈溪人，研究方向：凝聚態(tài)物理.

程雪蘋（1982-），女，浙江溫嶺人，副教授，研究方向：數(shù)學物理.E-mail：chengxp2005@126.com