曾文 周朝彪 桂朝覲

豎直平面的圓周運(yùn)動(dòng)是高中物理的重難點(diǎn)內(nèi)容，由于此類題型涉及變速曲線運(yùn)動(dòng)及牛頓定理的靈活運(yùn)用，因此學(xué)生對其較難掌握，為了讓學(xué)生對此類問題能有更清晰的認(rèn)識(shí)和理解，下文就此類問題分四種情況進(jìn)行討論。

一、繩拉球模型

一輕質(zhì)繩半徑為r，繩端系一質(zhì)量為m的物體，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的受力分析。

1.最高點(diǎn)，如圖1所示：

（1）由于輕繩只能提供拉力，在最高點(diǎn)對小球受力分析，因此臨界條件為剛好由重力提供向心力，由牛頓第二定律可得：

mg=m■ ①

此時(shí)小球恰好能過最高點(diǎn)，臨界速度為

v=■ ②

（2）當(dāng)v<■時(shí)，小球不能通過最高點(diǎn)。

（3）當(dāng)v≥■時(shí)，小球可以通過最高點(diǎn)?？梢钥闯觯?dāng)小球運(yùn)動(dòng)速度越快時(shí)，其輕繩拉力越大。

2.最低點(diǎn)，如圖2所示：

由牛頓第二定律可得

F■=F■-mg=m■ ③

由此可見，當(dāng)小球的運(yùn)動(dòng)速度越大時(shí)，輕繩拉力越大。

二、桿模型

一根長為r的輕桿，其一端與一質(zhì)量為m的小球相連，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。

1.最高點(diǎn)，如圖3所示：

由于輕桿與輕繩不同，除了可以提供拉力之外還能提供支持力，因此其受力：

F■=mg±F■=m■ ④

（1）當(dāng)V=0時(shí)，小球的重力和桿對小球的支持力滿足二力平衡，小球剛好能通過最高點(diǎn)。

（2）當(dāng)④式取減號(hào)時(shí)，輕桿對小球的作用表現(xiàn)為支持力，此時(shí)小球速度越大，輕桿支持力越小，當(dāng)v=■時(shí)，F(xiàn)■=0，即只由重力提供向心力。

（3）當(dāng)④式取加號(hào)時(shí)，即v≥■時(shí)，輕桿對小球的作用表現(xiàn)為向下的拉力，此時(shí)小球速度越大，輕桿拉力越大。

2.最低點(diǎn)，如圖4所示：

最低點(diǎn)時(shí)與輕繩情況相同，均表現(xiàn)為拉力，小球速度越大時(shí)，輕桿對其的拉力越大。

三、圓軌內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)模型

一內(nèi)壁光滑半徑為r的圓環(huán)豎直放置在平面內(nèi)，質(zhì)量為m的小球沿其內(nèi)表面做圓周運(yùn)動(dòng)。

1.最高點(diǎn)時(shí)的情況和繩拉球模型一樣，如圖5所示即可得出：

（1）當(dāng)v=■時(shí)，此時(shí)速度為臨界值，小球剛好能通過最高點(diǎn)。

（2）當(dāng)v<■時(shí)，小球不能通過最高點(diǎn)。

（3）當(dāng)v>■時(shí)，小球可以通過最高點(diǎn)且對壁有壓力。

2.最低點(diǎn)，如圖6所示：

這時(shí)由③式可知；小球運(yùn)動(dòng)速度越大，則內(nèi)軌的支持力越大。

四、小球在豎直管內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)

一內(nèi)壁光滑豎直放置的半徑為r圓管形軌道，質(zhì)量為m的小球在其管內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球直徑略小于管內(nèi)徑。

1.最高點(diǎn)，如圖7所示：

此模型和輕桿模型一樣，軌道可能受小球的壓力和支持力，牛頓方程和④相同。

（1）當(dāng)v=■時(shí)，此時(shí)只由重力提供向心力，小球不受軌道的作用力。

（2）當(dāng)v<■時(shí)，管道對小球表現(xiàn)為內(nèi)管壁對小球的向上的支持力。

（3）當(dāng)v>■時(shí)，管道對小球表現(xiàn)為外管壁對小球的向下的支持力。

（4）當(dāng)v=0時(shí)，物體剛能過最高點(diǎn)；即為過最高點(diǎn)的臨界條件。

2.最低點(diǎn)，如圖8所示：

這時(shí)由③式可知；小球運(yùn)動(dòng)速度越大，則軌道對小球的支持力越大。

總結(jié)：分析圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，找準(zhǔn)向心力的來源尤為重要；豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)問題的求解關(guān)鍵就是對質(zhì)點(diǎn)（小球）進(jìn)行受力分析得出向心力即為合外力（F■），再由牛頓第二定律列出方程即可求解。