董玉華

摘 ? ?要： 數(shù)學(xué)概念的形成有兩種途徑。其中一種就是在已有的數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的比較、抽象、推理、概括等思維活動(dòng)而得到的。本文就此形成途徑作探討。

關(guān)鍵詞： 概念教學(xué) ? ?生成概念 ? ?深化概念

數(shù)學(xué)概念是揭示現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性的思維形式。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程就是一個(gè)不斷運(yùn)用已有數(shù)學(xué)概念進(jìn)行比較、分析、綜合、概括、判斷、推理的思維過(guò)程。我們離開(kāi)了概念，就無(wú)法對(duì)客觀事物進(jìn)行有根有據(jù)的思考，有條有理的分析、綜合、判斷、推理，也就談不上推理能力的培養(yǎng)。只有加強(qiáng)概念教學(xué)，才能使學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，進(jìn)一步培養(yǎng)各種數(shù)學(xué)能力。

一、經(jīng)歷比較分析，生成概念

數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性。由于小學(xué)生的思維水平處于成長(zhǎng)初期，理解和掌握概念有一定困難。教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，結(jié)合實(shí)例，聯(lián)系學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，自然引出概念，并在比較與分析中生成概念。在學(xué)習(xí)《用字母表示數(shù)》前，學(xué)生已經(jīng)接觸過(guò)一些用字母表示的計(jì)算公式和運(yùn)算律，在本節(jié)課里應(yīng)該開(kāi)發(fā)課堂教學(xué)資源，積極重組教材，幫助學(xué)生在情境中經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，在比較與辨析中感悟用字母表示數(shù)及數(shù)量關(guān)系的簡(jiǎn)潔，發(fā)展數(shù)感與符號(hào)化思想。

師：怎樣用既簡(jiǎn)明又概括的方法表示出小棒的根數(shù)與三角形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系？

生在作業(yè)紙上用自己的方式表示后全班交流。

師：這位同學(xué)是這樣表示的：三角形的個(gè)數(shù)：10000，小棒的根數(shù)：10000×3。

師：你覺(jué)得這種方法表示可以嗎？為什么？

生：不可以，因?yàn)檫@樣表示不能包括所有的情況。

師：另一位同學(xué)是這樣表示的：三角形的個(gè)數(shù)：有幾個(gè)，小棒的根數(shù)：就有幾個(gè)3。

師：你覺(jué)得這樣可以嗎？為什么？

生：可以。他用文字表示的，可以包括所有的情況。

師：還有同學(xué)是這樣表示的：三角形的個(gè)數(shù)：A，小棒的根數(shù)：B。

師：對(duì)這種方法你有什么想法？

生：這種用字母表示的方法可以包括所有的情況。

師：比較“三角形的個(gè)數(shù)：有幾個(gè)，小棒的根數(shù)：就有幾個(gè)3”與“三角形的個(gè)數(shù)：A，小棒的根數(shù)：B”，你覺(jué)得哪種方法更好？為什么？

生：第二種用字母表示更好，因?yàn)樗?jiǎn)明更概括。

師：老師還發(fā)現(xiàn)這位同學(xué)是這樣表示的：三角形的個(gè)數(shù)：A，小棒的根數(shù)：A×3。

師：你覺(jué)得這種表示方法行得通嗎？

生：可以，因?yàn)樾“舻母鶖?shù)是三角形個(gè)數(shù)的3倍，所以可以用A×3表示小棒的根數(shù)。

師：比較“三角形的個(gè)數(shù)：A，小棒的根數(shù)：B”與“三角形的個(gè)數(shù)：A，小棒的根數(shù)：A×3”，你覺(jué)得哪種方法更好？為什么？

生：用“三角形的個(gè)數(shù)：A，小棒的根數(shù)：A×3”更好，因?yàn)檫@種方法更概括出了三角形個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)之間的關(guān)系。

師：這里“A”表示什么？“A×3”表示什么？

生：A表示三角形的個(gè)數(shù)，“A×3”表示小棒的根數(shù)。

師：“A×3”還表示什么？

生：“A×3”還表示小棒的根數(shù)是三角形個(gè)數(shù)的3倍，也就用“A×3”表示出了小棒的根數(shù)與三角形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。

師：字母A可以表示一個(gè)數(shù)，A×3可以表示數(shù)量關(guān)系。

師：字母A可以表示哪些數(shù)？

……

從具體的數(shù)到字母表示數(shù)是一次飛躍，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是，這一過(guò)程是抽象的，理解起來(lái)也是有困難的?！霸鯓佑眉群?jiǎn)明又概括的方法表示出小棒的根數(shù)與三角形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系”這一問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知困惑，促使學(xué)生跳出原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，尋找新的解決方法。在解決問(wèn)題的過(guò)程中呈現(xiàn)了多種不同的方法，充分利用學(xué)生的生成資源，有層次地展示學(xué)生的生成，從不概括到概括，從不簡(jiǎn)潔到簡(jiǎn)潔的分析與比較中，讓學(xué)生感悟用字母表示數(shù)及數(shù)量關(guān)系的簡(jiǎn)潔。

二、經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，深化概念

我們要讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程就是一個(gè)不斷運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行比較、分析、綜合、概括、判斷、推理的思維過(guò)程。只有循著學(xué)生已有知識(shí)的起點(diǎn)，才能幫助學(xué)生有條有理地分析、判斷、推理，進(jìn)一步深化概念。

認(rèn)識(shí)了一幅三角尺的內(nèi)角和各是180度后，師：任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和是多少度呢？

生：我覺(jué)得是180度。

師：你打算怎樣證明任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和是180度呢？

請(qǐng)小組討論，然后證明。

生：我們是用量一量的方法，量出三角形每個(gè)角的度數(shù)，然后再相加。我手中的這個(gè)三角形的內(nèi)角和是50°+70°+60°=180°。

師：還有其他方法嗎？

生：我們也是量的，可是我把三個(gè)角的度數(shù)相加的算式是：45°+70°+60°=175°。

師：都是先量出三個(gè)角的度數(shù)再相加，為什么有的是180°有的卻是175°？

生：因?yàn)樵诹康倪^(guò)程他可能讀錯(cuò)刻度了，也可能是出現(xiàn)了誤差。

師：由此可見(jiàn)，量出三個(gè)角的度數(shù)再相加有的時(shí)候不那么精確，易出現(xiàn)誤差。那還有其他方法嗎？

小組再討論。

交流。

生：我們想了個(gè)方法，把三角形的三個(gè)內(nèi)角撕下來(lái)并拼在一起，發(fā)現(xiàn)正好拼成一個(gè)平角，而平角就是180°。所以我們手中的三角形的內(nèi)角和是180°。

師：你們覺(jué)得這種方法怎么樣？要不要給他們一點(diǎn)掌聲呢？（掌聲）

師：還有其他方法嗎？

生：我們也想到了一種方法，也是要把三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角，只是我們沒(méi)有把三個(gè)內(nèi)角撕下來(lái)，而用折一折的方法把三個(gè)角折在一起拼成一個(gè)平角。所以我們手中的三角形的內(nèi)角和也是180°。

師：你們聽(tīng)懂這種方法了嗎？比較這兩種方法都有什么相同之處？

生：這兩種方法都是把三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角，只是一種是先撕再拼，一種是先折再拼。

師：是的，這兩種方法都是把三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化成一個(gè)平角。（轉(zhuǎn)化）

師：那此時(shí)我們來(lái)看一看剛才量出內(nèi)角和是175°的三角形，用折拼的方法來(lái)看看內(nèi)角和是不是180°？

生：是的，折一折、拼一拼后內(nèi)角和的確是180°。

師：剛才同學(xué)們用量一量，撕拼，折拼的方法證明了三角形的內(nèi)角和是180°，你更喜歡哪一種方法？為什么？

生：更喜歡折拼。

生：更喜歡撕拼。

師：是不是任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°呢？你想怎樣證明？

生討論再交流。

師：先自己任意畫了個(gè)三角形再剪下來(lái)，最后選擇你喜歡的方法，來(lái)看看任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和是不是180°。

……

那是不是任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°呢？很顯然需要我們證明。以學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)首先想到的是量然后再相加，這是最基本的方法，放手讓學(xué)生量一量再相加發(fā)現(xiàn)有的相加后正好是180°，有的量一量再相加卻不是180°，可能會(huì)比180°少也可能會(huì)比180°多一些。這時(shí)該怎么辦？啟發(fā)學(xué)生另辟蹊徑，通過(guò)撕拼或折拼可以證明手中三角形的內(nèi)角和都是180°。量和撕拼的方法并不是同時(shí)出現(xiàn)的，而是在學(xué)生通過(guò)量一量的方法后發(fā)現(xiàn)不那么精確的前提下，才有需要找到更好的方法證明三角形的內(nèi)角和是180°。學(xué)生在經(jīng)歷猜想、推理、證明的過(guò)程中逐步明確了三角形的內(nèi)角和是180°，不僅進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°，而且學(xué)會(huì)了遇到問(wèn)題如何解決的方法，此時(shí)學(xué)習(xí)到的不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，更是解決問(wèn)題的方法。

總之，只要抓好有效教學(xué)的起點(diǎn)，依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在比較分析中引導(dǎo)學(xué)生共同參與，多層次地呈現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)資源，激發(fā)學(xué)生自主探索，生成概念，讓數(shù)學(xué)概念與學(xué)生的思維產(chǎn)生共鳴，深化概念。