劉繼承

七年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系之后，我們會(huì)經(jīng)常遇到在平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積的問(wèn)題.平面直角坐標(biāo)系是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，是數(shù)形結(jié)合思想方法運(yùn)用的基礎(chǔ)，此類問(wèn)題是解析幾何的初步，在中考中甚至是壓軸題中都有涉及，在高中教材中也有拓展.解此類題時(shí)，我們要注意解題方法和解題技巧.現(xiàn)舉例說(shuō)明如下.

一、有一邊在坐標(biāo)軸上或有一邊與坐標(biāo)軸平行的三角形

例1：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-3，0），（0，2），（2，0），你能求出三角形ABC的面積嗎？

分析：根據(jù)三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以看出，△ABC的邊AC在x軸上，由圖形可得AC=5，點(diǎn)B到AC邊的距離就是點(diǎn)B到x軸的距離，也就是B點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值2，然后根據(jù)三角形的面積公式求解.

解：∵A（-3，0），C（2，0），∴AC=2-（-3）=5.∵B（0，2），∴B點(diǎn)到x軸的距離，即AC邊上的高為2，∴S=×AC×2=5.

例2：如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-3，1），（0，2），（2，1），你能求出三角形ABC的面積嗎？

圖1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2

分析：由A（-3，1），C（2，1）兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，可知邊AC與x軸平行，因而AC的長(zhǎng)度易求.作AC邊上的高BD，則D點(diǎn)縱坐標(biāo)與A點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，都是1，這樣可求得線段BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得三角形ABC的面積.

解：如圖2，作AC邊上的高BD，則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，∴BD=2-1=1，∵A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，∴AC∥x軸，∴AC=2-（-3）=5.∴S=×AC×BD=.

二、有一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的三角形

例3：如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-3，0），（-2，-3），（-1，3），你能求出三角形ABC的面積嗎？

圖1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2

分析：前面我們已經(jīng)能解決三角形一邊在坐標(biāo)軸上或有一邊與坐標(biāo)軸平行的問(wèn)題，觀察圖形發(fā)現(xiàn)△ABC剛好被x軸分成兩部分，因此△ABC的面積可以看成是兩個(gè)一邊在x軸上的三角形面積之和，運(yùn)用前面提到的方法就能很快解決.

解：如圖2，設(shè)BC與x軸的交點(diǎn)為D，∵B（-2，-3），C（-1，3），∴l(xiāng)：y=6x+9，∴D（-，0），∴S=S+S=××3+××3=.

例4：如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-3，0），（-2，-3），（-1，-2），你能求出三角形ABC的面積嗎？

圖1 ? ? ? ? ?   ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2

分析：觀察圖形發(fā)現(xiàn)如果延長(zhǎng)△ABC的BC邊將會(huì)與x軸相交，因此△ABC的面積可以看成是兩個(gè)一邊在x軸上的三角形面積之差，用前面提到的方法就能很快解決.

解：如圖2，延長(zhǎng)BC交x軸于D，∵B（-2，-3），C（-1，-2），

∴l(xiāng)：y=x-1，

∴D（1，0），

∴S=-S=×4×3+×4×2=2.

三、坐標(biāo)系內(nèi)任意三角形

例5：如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，3），（3，1），（4，4），你能求出三角形ABC的面積嗎？

圖1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2

分析：觀察圖形發(fā)現(xiàn)我們可以用平行于坐標(biāo)軸的直線分割△ABC，比如過(guò)B點(diǎn)作y軸的平行線可以把△ABC分割成兩個(gè)三角形，并且這兩個(gè)三角形都有一邊與坐標(biāo)軸平行，從而把此類問(wèn)題轉(zhuǎn)化成第一類問(wèn)題，也就能順利求出△ABC的面積了（也可以過(guò)A點(diǎn)作x軸的平行線去分割）.

解：過(guò)B點(diǎn)作y軸平行線交AC于D，∵A（1，3），C（4，4），∴l(xiāng)：y=x+，又∵BD∥y軸，B（3，1），∴l(xiāng)：x=3，聯(lián)立y=x+x=3

可得D（3，），

∴S=S+S=××2+××1=4.

雖然第二、三類問(wèn)題看似復(fù)雜，但實(shí)際上我們都可以轉(zhuǎn)化為第一類問(wèn)題來(lái)解決，這種轉(zhuǎn)化的思想是我們解決問(wèn)題常用的方法之一.掌握這些方法，不僅能解決坐標(biāo)系中三角形面積的求法，甚至對(duì)于坐標(biāo)系中多邊形的面積也可以轉(zhuǎn)化成三角形的面積來(lái)求，此類問(wèn)題備受中考命題者青睞，甚至在壓軸題中也時(shí)有出現(xiàn).