張奠宙

近讀一些小學數(shù)學教材，有一些細節(jié)的處理，不夠精細?；蚯昂蟛灰?，或言過其實，籠統(tǒng)疏忽之處，屢有所見?，F(xiàn)略舉幾例，與教材的編者商榷。

一、關于分類中的一般與特殊

數(shù)學教學中，常常要將一些數(shù)或形進行“分類”。長期以來，我國習慣于單一地使用 “不重不漏”的原則，以至把一些特殊情形從一般情形中分離出來，使得彼此間的從屬包含關系，硬說成是彼此對立的關系，造成人為的割裂。 例如：

1.整數(shù)不是分數(shù)，把整數(shù)和分數(shù)對立起來 （圖1）。然而，明明整數(shù)是分母為1的分數(shù)，整數(shù)是分數(shù)的一部分。

2.小數(shù)等同于分數(shù)（圖1）。這顯然也是不妥的，無限不循環(huán)小數(shù)并不是分數(shù)。其次，整數(shù)不能和小數(shù)相對立，整數(shù)是小數(shù)部分為0的特殊小數(shù)。如果說，這里的小數(shù)也包括無限小數(shù)，那么整數(shù)更可以是無限小數(shù)了。例如 0.999… =1。

3. 平行四邊形不是梯形 （圖2）。事實上，梯形是四邊形的一部分，平行四邊形可以看作是梯形的特殊情形，三者依對邊平行的組數(shù)多少形成從屬關系（教材中“只有一組對邊平行的四邊形叫作梯形”的表述可以探討）。

但是，另一方面，教材中又強調(diào)了如下關系（見圖2）。

4. 正方形是長方形的特殊情形。

5. 正方體是長方體的特殊情形。

這樣一來，同樣是彼此間的從屬關系，1，3 的判斷和4，5 的判斷恰好相反，令人無所適從。

事實上， 從屬關系也是一種分類。例如，我國公民的戶籍，就按照?。ㄗ灾螀^(qū)、直轄市）、市、縣、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)、村 這樣的等級從屬關系分類。而在某一級里，再依不重不漏的原則分類（如省一級有31個不重不漏的劃分）。

忽視這樣的細節(jié)，人為地制造麻煩，需要改正。希望教材里再也不要把整數(shù)與分數(shù)對立起來了。

二、關于三角形的穩(wěn)固性

小學數(shù)學教材的三角形單元，都會涉及穩(wěn)定性的知識，但是在一些細節(jié)處理上卻不夠嚴謹。例如沒有交代頂點處接頭的特性。三角形的穩(wěn)定性，是指在三個頂點處只是鉸接情形下，也是穩(wěn)定不動的。而說四邊形是不穩(wěn)定的，那是指四個接頭都是可以活動的鉸接（如活動門）。如果四個接頭都是焊接或螺釘固接，它還能活動嗎？因此，教材上必須畫出這種鉸接的方式。課堂上演示，則可以將兩根木棒在頂點處鉆小孔用鐵絲穿過，作為轉(zhuǎn)軸進行鉸接。這種細節(jié)處理，不可省略。

更值得商榷的是，教材里以“加固搖晃的舊椅子”作為三角形穩(wěn)定性原理的應用（見圖3）。然而，這種“斜”釘木條的做法，會比“橫”釘木條加固更加有效嗎？恐怕未必。因為，這里的接頭都不是鉸接，而是固定的連接。椅子是立體框架結(jié)構，不是平面結(jié)構。人坐椅子時各個部分的受力情況，與框架的一部分是三角形還是矩形，沒有直接的因果關系。再說，加固也要考慮美觀。這類“斜”釘椅子的情景，還是去掉為好。

三、 關于驗證與證明

人教社版四下68頁（見圖4），在探究四邊形的內(nèi)角和時，用了兩種方法。一是將四邊形的四個頂角剪下來拼成一個周角；二是把四邊形分成兩個三角形，用三角形內(nèi)角和定理進行推理計算。接著，在“回顧與反思”欄目里寫著“我們大家共同證明了所有四邊形的內(nèi)角和都是360°”。對于這樣的回顧，我們可否做得更加細致、準確一些呢？剪拼的方法，是一種用數(shù)據(jù)證實我們猜想物理實驗的方法。證實的過程要用到測量的數(shù)據(jù)，而測量數(shù)據(jù)是有誤差的。我們利用數(shù)據(jù)穩(wěn)定地發(fā)生在某數(shù)值附近的現(xiàn)象，作出證實某規(guī)律的結(jié)論。然而，分成兩個三角形進行計算推理得出結(jié)論，則是一種嚴謹?shù)倪壿嬜C明。因此，我們在用詞上要對“物理證實”和“數(shù)學證明”加以某種區(qū)別，而不要一鍋煮，說成“共同證明”。當然，對于小學生而言，不必在理論上正面論述，只要適當?shù)攸c一下就可以了。例如，不妨將前面引用的那段“回顧與反思”，改寫為“我們用了‘測量證實’ 和‘數(shù)學證明’兩種方法，都得到了四邊形的內(nèi)角和為360° 的結(jié)論”。

同樣地，在計算不規(guī)則物體體積時，使用“排水法”進行測量，也是一種物理方法，和用數(shù)學方法給出規(guī)則物體的計算公式是不同的。事實上，只有小學數(shù)學里涉及測量。這種度量物體體積的物理方法，在中學的數(shù)學課本里，就不再使用了。

四、關于“是一倍”和“加一倍”

在“倍的認識”單元里，要談的是一個細節(jié)問題：“一倍”的理解。翻閱人教社版三上數(shù)學教材，沒有討論這一問題。從數(shù)學上看，數(shù)A是數(shù)B的一倍，意味著A=B。然而，在日常生活中，“倍”的用法，含有增加到原數(shù)2倍的意思。如“產(chǎn)量增倍”“事倍功半”、農(nóng)家“五月人倍忙”等說法，雖然只有一個“倍”字，卻明顯地并非“是一倍”的意思，而是“加一倍”的意思。這就是說，“是一倍”和“加一倍”之間有重要的區(qū)別。這雖事關語文表達，但為了避免誤用，在數(shù)學教材里正面進行闡述，仍有必要。例如，不妨加上兩句話：“如果A是B的一倍，那么A=B。如果A是在B的基礎上加一倍，那么A =B+B=2B。”

這樣的提醒，可以幫助學生在實際使用中避免錯誤。

總之， 教材要把每一個細節(jié)做到精心處理。這將體現(xiàn)作者對編寫工作的責任心，也將反映作者為讀者服務的誠心。