樓躍軍

近幾年，教師們越來越重視學(xué)生的錯(cuò)例，通過收集錯(cuò)題、成因分析及對策的探究，嘗試讀懂學(xué)生的錯(cuò)誤，分析這些錯(cuò)誤中的合理成分，認(rèn)識到錯(cuò)誤的價(jià)值。但錯(cuò)誤的價(jià)值已不在于錯(cuò)誤本身，而在于師生通過糾錯(cuò)所獲得的新啟迪。在學(xué)生學(xué)習(xí)新知前，教師是否能了解學(xué)生在課堂上可能會出現(xiàn)的錯(cuò)誤，做到心中有數(shù)，從而采取一些措施加以干預(yù)，降低錯(cuò)誤的發(fā)生率；或者教師是否能根據(jù)錯(cuò)誤適時(shí)地調(diào)整教學(xué)思路，在課堂上“暴露”學(xué)生的錯(cuò)誤，并讓學(xué)生經(jīng)歷犯錯(cuò)—剖析—反思的重要?dú)v程，這也是學(xué)生不可或缺的學(xué)習(xí)成長。

一、課前錯(cuò)例分析

在學(xué)校的數(shù)學(xué)教師研修活動中，筆者執(zhí)教人教版五年級上冊“組合圖形的面積”一課。上課之前，筆者一直在思考這節(jié)課教什么，組合圖形的面積安排在學(xué)生學(xué)習(xí)了基本圖形的面積之后，計(jì)算組合圖形的面積對學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)，而教材中只安排了一節(jié)新授課和一節(jié)練習(xí)課。按照教材提供的主題圖和例題，使學(xué)生在理解什么是組合圖形的基礎(chǔ)上，通過例4（墻面的面積）的教學(xué)，掌握如何將組合圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形進(jìn)行計(jì)算，展示了兩種計(jì)算方法，且都是分割法，而添補(bǔ)法則出現(xiàn)在練習(xí)鞏固中計(jì)算中隊(duì)旗的面積，來讓學(xué)生體會算法的多樣性與優(yōu)化。如果僅僅是定位于讓學(xué)生學(xué)會如何把一個(gè)組合圖形分解或添補(bǔ)成已學(xué)過的平面圖形并進(jìn)行計(jì)算，就顯得過于單薄了些，對此，筆者思考：求組合圖形的面積可以有多種途徑和方法，不要把學(xué)生的思維限制在一種固定的模式上，要為學(xué)生提供有意義的探索素材，展現(xiàn)多種分解的方法，展開有層次的思維訓(xùn)練，最大限度地激活每個(gè)學(xué)生尋求組合圖形面積計(jì)算方法的思維動力。在活動之中逐步使學(xué)生體會到并非任意分解都是可行的，要根據(jù)條件（要會尋求隱含的條件）進(jìn)行合理分解，而且要盡可能地選擇簡單的方法。

憑筆者對學(xué)生錯(cuò)誤情況的了解，學(xué)生在求組合圖形的面積時(shí)，對于像下面這道題，其常常會錯(cuò)解為（5+10）×（4.5+6）÷2 =78.75（cm2）的不在少數(shù) 。

【原因分析】學(xué)生把上下兩個(gè)梯形的面積“綜合”為一個(gè)梯形：變成上底為5，下底為10，4.5+6為梯形的高，且認(rèn)為數(shù)據(jù)7是多余的條件。從學(xué)生方面看，主要是由學(xué)生的錯(cuò)覺引起的。而在教師方面，由于平時(shí)特別關(guān)注梯形的上、下底和高，認(rèn)為這是梯形求面積的三要素，而梯形的斜邊（四邊形）特征卻被忽視。

另外，對于下面這道題，學(xué)生在初學(xué)時(shí)容易將它看成為一個(gè)梯形，從而列式為（2+5）×7÷2=24.5 （cm 2）的不只一個(gè)學(xué)生，也不只是一屆學(xué)生出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤，這就應(yīng)該引起教師的重視與思考。看來教師還應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生觀察組合圖形的能力，學(xué)會分析組合圖形是由一個(gè)圖形分割出來的，還是由幾個(gè)基本圖形組合而成的。

二、教學(xué)前測與預(yù)設(shè)

在教學(xué)“組合圖形的面積”一課前，筆者本著回歸學(xué)生的想法，給全班43位學(xué)生做了前測，布置了如下預(yù)習(xí)提綱：

結(jié)果如下：對于“什么是組合圖形”這一問題，由于生活中物體的表面大多是以組合圖形的形式出現(xiàn)的，為學(xué)生理解這一概念提供了直觀形象，這一常識性的問題較簡單。通過對“你覺得計(jì)算組合圖形面積時(shí)要注意什么”和“對這一部分內(nèi)容大家遇到了什么問題”這兩個(gè)問題的回答，發(fā)現(xiàn)47.6%的學(xué)生（20位）停留在要注意“不要算錯(cuò)”“不要把數(shù)看錯(cuò)”“要注意數(shù)字，不然就下面都錯(cuò)了”這樣的認(rèn)識上，25.6%的學(xué)生（11位）認(rèn)為“要注意計(jì)算公式不要寫錯(cuò)”“不要忘記除以2”“看清楚單位”，關(guān)注的仍非本質(zhì)。16.6%（7位）的學(xué)生認(rèn)為“要注意的是加上還是減去”“看清楚是什么圖形”，只有兩位學(xué)生（約5%）寫了要注意“知道圖形的數(shù)據(jù)，把不知道的求出來”，一位學(xué)生（2.3%）認(rèn)為“要注意分成幾個(gè)基本圖形”。

經(jīng)過個(gè)別訪談，筆者發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生雖然會計(jì)算面積，但是其前提是對于已經(jīng)分解或添補(bǔ)好的圖形，或較簡單的組合圖形。一輪試教下來，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于同一圖形有不同的計(jì)算方法，如何分解比較簡單又可行，學(xué)生并沒有這樣的意識。

由于筆者原先并不重視這一個(gè)學(xué)生現(xiàn)狀，所以就從他們五花八門的分法中選擇出教學(xué)時(shí)所需要的分法展開教學(xué)，學(xué)生就按部就班地分“三步走”：先算什么，再算什么，最后相加（或減）。但課后細(xì)細(xì)揣摩這是筆者對教學(xué)對學(xué)生的認(rèn)識不夠，為什么會對這種學(xué)生普遍存在的錯(cuò)誤分法視而不見？為什么不將這些錯(cuò)誤的資源曬出來讓學(xué)生討論？為什么只習(xí)慣于將正確的答案亮出來，只習(xí)慣性地追求顯性的終極目標(biāo)——答案準(zhǔn)確？教師不能只認(rèn)為解決問題的價(jià)值是為了獲得具體問題的解，而應(yīng)更多地去關(guān)注學(xué)生在解決問題中獲得的發(fā)展。

【教學(xué)預(yù)設(shè)的調(diào)整】

基于以上的前測和試教分析，筆者給自己在課堂上的角色作了這樣的調(diào)整定位：利用錯(cuò)誤資源，深入分析理解，并把它們充分地展示給學(xué)生去討論，讓他們對“錯(cuò)誤”有深刻的認(rèn)識，變“錯(cuò)誤”為寶，深刻地體會認(rèn)識。因此，筆者課前做足了功課，將學(xué)生的各種錯(cuò)誤分解方法收集起來，逐一分析每一種分法中學(xué)生可能的想法，以及這種方法所占的比率，預(yù)設(shè)好這幾種錯(cuò)誤分法出現(xiàn)時(shí)教師應(yīng)采取的干預(yù)措施，做到心中有數(shù)，有的放矢。

三、教學(xué)實(shí)施及策略

（一）正視錯(cuò)誤，把“空白”留給學(xué)生

在創(chuàng)設(shè)情境、提出問題之后，學(xué)生嘗試進(jìn)行分解，在交流匯報(bào)階段——

師：誰愿意來指著圖說一下你們是怎么分的？分成了哪些基本圖形？（學(xué)生分別介紹了橫的分和豎的分兩種分法，和）接下來，學(xué)生又介紹了一種方法：“還可以這樣分，分成了三角形和梯形。盡管筆者做了充分的預(yù)設(shè)分析，但是對于這種錯(cuò)誤分法還是有些意外?！袄蠋煂⒛愕姆址ó嬒聛恚埓蠹矣懻撚懻??！闭n堂上一時(shí)間安靜了一會兒，筆者沒有發(fā)表意見。漸漸地，開始有小聲地說：“這個(gè)好像不是梯形。”“對，這不是梯形，”有學(xué)生附和說。筆者笑著問：“誰來發(fā)表你的意見？”生：“我認(rèn)為那個(gè)不是梯形?！薄澳阃鈫?？”筆者轉(zhuǎn)向出錯(cuò)的學(xué)生。他點(diǎn)點(diǎn)頭，弱弱地說：“同意?！惫P者轉(zhuǎn)問全體學(xué)生：“一開始，我們以為它是個(gè)梯形，確實(shí)很像，但仔細(xì)一觀察發(fā)現(xiàn)并非如此?！惫P者笑問這位學(xué)生：“聽了同學(xué)們的意見，你有什么想法？”“嗯，是我看錯(cuò)了?！薄翱磥磉@個(gè)圖形不是一個(gè)基本圖形，不能直接計(jì)算面積，所以這樣的分法不合適。但我們還是要把掌聲送給你，謝謝你?！?/p>

確實(shí)，對于這種分法筆者有些意外，但是當(dāng)時(shí)分析了一下這個(gè)錯(cuò)誤的合理成分，以及這位同學(xué)出錯(cuò)的可能原因，將右邊部分看成梯形的常見性錯(cuò)誤，覺得不應(yīng)忽視，有必要“暴露”一下學(xué)生的思維。按以往的做法，筆者會馬上追問：“看仔細(xì)，這是個(gè)梯形嗎？”但是這次我選擇了等待，給學(xué)生適當(dāng)留些“空白”——思維的空間和平臺，讓學(xué)生主動地去思考和發(fā)現(xiàn)。在出現(xiàn)錯(cuò)誤之后留“空白”，有了空白，就有了多種填充的可能，讓學(xué)生靜靜想一想，以便他們對錯(cuò)誤進(jìn)行再次解讀，這對于學(xué)生內(nèi)化能力起著至關(guān)重要的作用。

（二）悅納錯(cuò)誤，讓學(xué)生有機(jī)會看到不同的觀點(diǎn)和方法

師：“還有不一樣的分法嗎？”一位學(xué)生說：“還可以這樣分?！庇谑浅霈F(xiàn)了筆者預(yù)設(shè)中的錯(cuò)誤。

“老師也將它畫出來，同學(xué)們，有和他分法一樣的請舉手?！本尤挥惺畞韨€(gè)，看來兩個(gè)班級的學(xué)生情況差不多?！澳銈儗@種分法有什么想法嗎？”試圖將問題拋給學(xué)生，果然，很快就有學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題所在：“下面的圖形面積不能算出來?！笔芩膯l(fā)，不少學(xué)生紛紛表示認(rèn)同，“看來，這個(gè)圖形也不是我們學(xué)過的基本圖形，它的面積不能直接計(jì)算，這樣的分法也不可取。這位同學(xué)你同意嗎？”他思考了片刻說：“那我這里再加一條就好了呀?！薄芭叮€想再堅(jiān)持自己的想法，并作了改進(jìn)?！惫P者趕緊將他的意思呈現(xiàn)在黑板上：“大家看，這樣分可以了嗎？”“這樣算是可以算的……”筆者趕緊追問：“這樣分成了三個(gè)三角形，你們認(rèn)為有沒有不太妥當(dāng)?shù)牡胤?？”“就是有點(diǎn)兒麻煩?！庇袑W(xué)生小聲嘀咕道。頓時(shí)，有學(xué)生頻頻點(diǎn)頭，這位學(xué)生皺起了眉頭?！叭绻殖蓛蓚€(gè)基本圖形就可以計(jì)算出面積，你還愿意分成三個(gè)基本圖形來算嗎？”我試圖讓他反思自己的策略。“那么大家覺得在分解的時(shí)候要注意什么問題？”適時(shí)地拋出了一個(gè)問題，不一會兒就有人說：“要能算出來的。”“不能分得太多，不然算起來麻煩?！薄巴瑢W(xué)們說得很好，老師把它概括為要分得簡單?！保ò鍟?/p>

學(xué)習(xí)中的困難和錯(cuò)誤，能給學(xué)生帶來有益的啟示，對錯(cuò)誤的分析使學(xué)生的認(rèn)識更加深刻，教師既要嘗試去悅納學(xué)生的錯(cuò)誤，又要引導(dǎo)學(xué)生去挖掘分析，在層層推進(jìn)錯(cuò)誤分析的過程中，讓學(xué)生自己體會“要根據(jù)條件盡量選擇簡單的方法”的解題策略，這樣，教師給予學(xué)生的不僅是數(shù)學(xué)事實(shí)，還有一種思維方式。同時(shí)，在相互討論的過程中，學(xué)生將有機(jī)會看到不同的觀點(diǎn)和方法，這實(shí)際上也是對自己解決問題方法的深入理解的過程，同他人的討論使自己的策略和思想得到詳細(xì)的檢查和完善，也可以從其他同學(xué)的想法中學(xué)到東西。通過仔細(xì)地聽取和思考他人的觀點(diǎn)，學(xué)生成了有著批判眼光的思考者。

（三）剖析錯(cuò)誤，發(fā)揮錯(cuò)誤帶來的積極效應(yīng)

師：“還有別的分法嗎？”

生：“或許這樣也可以。”其實(shí)在巡視當(dāng)中，筆者發(fā)現(xiàn)這種分法的有8個(gè)學(xué)生，也帶有普遍性。“這樣分，簡單?！边@是學(xué)生的第一直覺，“同學(xué)們，你們同意嗎？”有一些學(xué)生不假思索地回答“同意”。因?yàn)檫@個(gè)錯(cuò)誤有思辨的價(jià)值，所以筆者決定等待學(xué)生自己去反思?！袄蠋熛氲鹊瓤矗瑫粫胁煌穆曇舫霈F(xiàn)。”果然一只小手舉起來了：“這樣不能算的?！薄盀槭裁?？”“這樣斜上去，三角形的底我們就不知道了?！薄澳侨切蔚拿娣e能計(jì)算嗎？”“不能?！惫P者緊接著問：“梯形的面積能算嗎？”“也不能，因?yàn)樯系滓膊恢??！边@時(shí)，其他學(xué)生紛紛表示贊同?！笆堑?，憑我們的能力，還無法知道，所以這種分法雖然簡單但不合適?？墒俏覀冞€是要謝謝這位同學(xué)，給我們提供了一個(gè)討論的話題?！惫P者適時(shí)再拋出一個(gè)問題：“那么，在分解時(shí)還要注意什么問題？”學(xué)生有的說：“是要我們能算出來的?！薄皥D形的底、高要知道。”……“大家說得很好，看來僅僅分得簡單還不夠，還要能算出來，老師把它概括為要可行?！?/p>

對于這個(gè)預(yù)料之中的錯(cuò)誤，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，效果會優(yōu)于教師去修正。對于這種錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，是促成學(xué)生思維深入的一個(gè)很好的機(jī)會，所以教師不應(yīng)置之不理，也不要輕描淡寫，而是要最大限度地發(fā)揮錯(cuò)誤帶來的積極效應(yīng)。1.糾正錯(cuò)誤——學(xué)生認(rèn)為這種分法簡單但是根據(jù)已有條件并不可行，這一點(diǎn)通過辨析得以澄清。2.學(xué)法指導(dǎo)——在分析錯(cuò)誤的過程中，教師利用學(xué)生的點(diǎn)評使學(xué)生認(rèn)識到不僅要發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，還要知道錯(cuò)誤的原因所在，要有理有據(jù)，考慮問題要完整。3.培養(yǎng)學(xué)習(xí)習(xí)慣——在辨析的過程中，同伴相互學(xué)習(xí)，相互質(zhì)疑。糾正了原有的錯(cuò)誤，豐富了自己的學(xué)習(xí)體會，思維也漸漸接近數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

（四）澄清錯(cuò)誤，讓出錯(cuò)的學(xué)生體面地坐下

在計(jì)算組合圖形的面積時(shí)，筆者原本打算選取兩種典型算法板演在黑板上，在巡視中發(fā)現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤：10-4=6m，S=4×8=32（m2），S=（8+12）×10÷2=100（m2），32+100=132（m2）。因?yàn)檫@節(jié)課時(shí)間有些緊張，如果將這個(gè)錯(cuò)誤板演呈現(xiàn)在學(xué)生面前，勢必造成時(shí)間不夠。是按原計(jì)劃呈現(xiàn)正確答案順利講評，還是呈現(xiàn)錯(cuò)誤共同糾正，筆者內(nèi)心很糾結(jié)，但最終選擇讓錯(cuò)誤的學(xué)生去板演。師：我們先請這位同學(xué)介紹一下她的算法，大家仔細(xì)聽，可以補(bǔ)充或提問。生：10-4=6（m）求的是梯形的高，4×8=32（m2）先求出上面的長方形的面積，（8+12）×10÷2……此處，她停頓了一會兒，小聲嘀咕了幾遍“×10”，“噢，我寫錯(cuò)了！”馬上將10改為6。雖然是一個(gè)小細(xì)節(jié)，但是筆者相信她這個(gè)動作使全班學(xué)生都心領(lǐng)神會了，筆者也會心一笑：“同學(xué)們，雖然她一開始不小心寫錯(cuò)了，但是我相信大家以后就不會犯這樣的錯(cuò)誤了，是嗎？讓我們把掌聲送給她?！?筆者很慶幸自己沒有漠視學(xué)生的錯(cuò)誤，這一分鐘絲毫不浪費(fèi)，這位學(xué)生糾正了自己的錯(cuò)誤，其他同伴也因此而受到啟迪。

總之，錯(cuò)誤是伴隨著學(xué)生的成長出現(xiàn)的，面對學(xué)生的錯(cuò)誤，教師要有寬容和智慧，努力讓學(xué)生的問題、困惑不成為教學(xué)活動的“絆腳石”，而是探究活動的“生長點(diǎn)”，這些“生長點(diǎn)”足以讓學(xué)生投入到新的探究活動中。因此，作為教師，面對學(xué)生的錯(cuò)誤，要有一顆敬畏之心，敬它給我們帶來豐富的教育資源和契機(jī)，畏它對學(xué)生的情感、態(tài)度、價(jià)值觀潛在的影響。當(dāng)我們努力去讀懂錯(cuò)誤，把錯(cuò)誤視為一種課堂資源時(shí)，那我們對師生共同成長會有更深刻的體驗(yàn)與更生動的解讀。

（浙江省諸暨市江東小學(xué) 311800）