孫惠惠

編者按

對(duì)學(xué)情的準(zhǔn)確把握和對(duì)教材編寫(xiě)意圖及所呈現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的科學(xué)理解始終是展開(kāi)有效教學(xué)的兩大關(guān)鍵抓手，但綜觀當(dāng)下課堂，不少教師在這方面的表現(xiàn)還是不盡如人意，無(wú)論是淡漠學(xué)情、誤讀學(xué)情的情況，還是對(duì)知識(shí)本身理解偏差或錯(cuò)誤的狀況都常有發(fā)生。近年來(lái)，朱樂(lè)平數(shù)學(xué)名師工作站以“一課研究”為抓手，對(duì)此進(jìn)行了持續(xù)深入的研討。本刊從本期開(kāi)始，特辟專(zhuān)欄，擇優(yōu)刊登該團(tuán)隊(duì)的部分研究成果，以饗讀者，也熱忱歡迎大家就文章本身或相關(guān)專(zhuān)題參與討論。

自新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施以來(lái)，原本自成體系的應(yīng)用問(wèn)題系列單元被取消，取而代之的是應(yīng)用問(wèn)題作為一種題型，散見(jiàn)于各個(gè)年級(jí)的每個(gè)領(lǐng)域，這種變化帶來(lái)了教學(xué)上的調(diào)整與教師的思考。由此，筆者在一、二年級(jí)中開(kāi)展了學(xué)生應(yīng)用問(wèn)題能力測(cè)試，發(fā)現(xiàn)了一些值得我們思考的問(wèn)題，付諸筆端，供教學(xué)同人共同探討。

一、兩次測(cè)試帶來(lái)的思考

筆者選擇了一組加減一步計(jì)算應(yīng)用問(wèn)題，在一、二年級(jí)測(cè)試，測(cè)試的時(shí)間節(jié)點(diǎn)分別是一年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)完10以?xún)?nèi)的數(shù)的認(rèn)識(shí)后，以及二年級(jí)開(kāi)學(xué)兩周以后。測(cè)試目的是觀察學(xué)生在經(jīng)歷一年級(jí)下冊(cè)一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)之后，應(yīng)用問(wèn)題解決的能力有怎樣的一種變化。

【測(cè)試問(wèn)題】電梯從1樓升到9樓共升高了幾層樓？

【數(shù)據(jù)解讀】

表1：一、二年級(jí)應(yīng)用問(wèn)題測(cè)試情況匯總表 完全

正確 答案正確

但不會(huì)用

算式表達(dá) 答案正確

但算式表

達(dá)錯(cuò)誤 典型

錯(cuò)誤 其他

錯(cuò)誤

答案

類(lèi)型 9-1=8 8 1+8=9 1+9=10

一年級(jí) 8% 10% 43% 23% 16%

二年級(jí) 70% 1% 2% 16% 12%

從表1的數(shù)據(jù)分析中可以看出，一年級(jí)學(xué)生對(duì)這類(lèi)帶有情境的應(yīng)用問(wèn)題有較好的理解能力，在未學(xué)習(xí)之前，已經(jīng)有61%的學(xué)生能準(zhǔn)確理解題意，但由于所學(xué)知識(shí)的限制，其中只有8%的學(xué)生能給出“9-1=8”這種正確的算式表示方法;10%的學(xué)生知道答案是8，但是不會(huì)用準(zhǔn)確的算式表達(dá);43%的學(xué)生知道答案是8，并且嘗試用他所理解的關(guān)系來(lái)表達(dá)算式，但表達(dá)存在錯(cuò)誤。

學(xué)生在經(jīng)歷了一年級(jí)下冊(cè)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)后，到了二年級(jí)階段用正確的算式表達(dá)想法的能力有明顯提升，從原先的8%提升到70%。但仍然有28%的學(xué)生在解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)有困難，其中典型錯(cuò)誤集中呈現(xiàn)在“1+9=10”的這種類(lèi)型上。

二、訪談及成因分析

在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中，有兩個(gè)數(shù)據(jù)引起了我們的重視，第一個(gè)是一年級(jí)采用“1+8=9”方式解答問(wèn)題的人數(shù)達(dá)到43%;第二個(gè)是到了二年級(jí)階段采用“1+9=10”方式解答問(wèn)題的人數(shù)從原先的23%下降到16%，僅下降了7個(gè)百分點(diǎn)。前者是學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，也是教學(xué)的重點(diǎn);后者是學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，也是教學(xué)的難點(diǎn)。據(jù)此，我們針對(duì)這兩類(lèi)學(xué)生，展開(kāi)了面對(duì)面的訪談。

（一）站在起點(diǎn)看發(fā)展，從順向思考到逆向思考要引起關(guān)注

直面學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，我們對(duì)“1+8=9”解題方式的學(xué)生群體進(jìn)行了訪談，當(dāng)問(wèn)及“你是怎樣想的？”時(shí)，學(xué)生的典型回答是：“從1樓到9樓，中間距離還有8樓，1和8才能組成9?！睆脑L談中我們可以發(fā)現(xiàn)，用這種方式解答的學(xué)生，能準(zhǔn)確地分析出“1樓+上升的8樓=9樓”這一數(shù)量關(guān)系，但由于沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)如何用正確的算式表示這一思考過(guò)程，因此表達(dá)上有一定的困難，他們習(xí)慣于按照正向的邏輯順序列出數(shù)學(xué)算式。而事實(shí)上，本題應(yīng)該以逆向的邏輯順序?qū)︻}目進(jìn)行表述，也就是采用“總數(shù)-部分?jǐn)?shù)=另一部分?jǐn)?shù)”進(jìn)行算式表述，但這種表述需要進(jìn)行語(yǔ)義和詞序上的轉(zhuǎn)換才可以順利地建立問(wèn)題的情境模型，因此對(duì)于未加練習(xí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，有一定難度。而這，也正是一年級(jí)下冊(cè)教學(xué)中教師要關(guān)注的教學(xué)要點(diǎn)。

（二）綜觀過(guò)程思緣由，關(guān)鍵詞策略是把雙刃劍

經(jīng)過(guò)一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)之后，采用“1+9=10”方式解答問(wèn)題的學(xué)生人數(shù)從原先的23%下降到16%，下降幅度較小，問(wèn)題出在哪里呢？

對(duì)使用1+9=10解決問(wèn)題的一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行訪談，當(dāng)問(wèn)及“你是怎樣想的？”時(shí)，學(xué)生們的典型回答有兩種，第一種關(guān)注一個(gè)“升”字，看到了“升高”就決定用加法。第二種關(guān)注一個(gè)“共”字，看到了一個(gè)“共”字，就決定把前面兩個(gè)加起來(lái)。對(duì)二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行訪談的結(jié)果也和一年級(jí)學(xué)生基本相同。采用這一問(wèn)題解決方式的學(xué)生在解題策略中都不約而同地錯(cuò)誤使用了關(guān)鍵詞策略，從而導(dǎo)致解題失敗。

研究中我們還發(fā)現(xiàn)，學(xué)生關(guān)鍵詞策略的形成與以往的成功解題經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，比如：一個(gè)學(xué)生在第一次遇到問(wèn)題“有15個(gè)氣球，賣(mài)了9個(gè)，還有幾個(gè)？”時(shí)，在“賣(mài)了9個(gè)”和“減去9”之間建立了聯(lián)系。之后學(xué)生繼續(xù)遇到問(wèn)題，又陸續(xù)在“分給你9個(gè)”“運(yùn)走了6根”和“減去9”“減去6”之間也建立了聯(lián)系。當(dāng)學(xué)生經(jīng)常用這樣的方式思考，并且用這樣的方法每次都能成功，那么在“賣(mài)了”“分給”“運(yùn)走”與“減法策略”之間的聯(lián)系就會(huì)反復(fù)被加強(qiáng)，形成策略定勢(shì)。

那么，是否教材中所有的習(xí)題的關(guān)鍵詞算法指向都和題目的運(yùn)算方式正好吻合呢？通過(guò)對(duì)一年級(jí)下冊(cè)教材的習(xí)題統(tǒng)計(jì)，我們發(fā)現(xiàn)，用減法解決問(wèn)題的習(xí)題共32道，其中每道題目中都含有“摘下、喝掉、賣(mài)出、打破、其中、…比…多…、 …比…少…”等明確指向減法策略的關(guān)鍵詞。用加法解決的應(yīng)用問(wèn)題5道，每道題目都含有“再加、共”等明確指向加法策略的關(guān)鍵詞;每道習(xí)題的算式解答方式都與關(guān)鍵詞的字面指向意思相同。這就使一些學(xué)生在不斷正向強(qiáng)化中，逐漸把關(guān)鍵詞策略?xún)?yōu)化為個(gè)體解決問(wèn)題的首選策略。

在訪談中我們還發(fā)現(xiàn)，同一個(gè)學(xué)生，采用關(guān)鍵詞策略，這個(gè)關(guān)鍵詞出現(xiàn)的位置不同，對(duì)于學(xué)生選擇解題方式的影響也是很大的。一、二年級(jí)的學(xué)生在關(guān)鍵詞的優(yōu)先序上關(guān)注點(diǎn)也有所不同，一年級(jí)最關(guān)注、最先看到的關(guān)鍵詞，更傾向于選擇信息中的表示加減含義的關(guān)鍵詞，如“升到9樓”，再把數(shù)字連起來(lái)進(jìn)行列式。二年級(jí)的學(xué)生相對(duì)而言，有更好的整體情境理解的意識(shí)，更關(guān)注問(wèn)題中的關(guān)鍵詞，來(lái)選擇問(wèn)題解決策略，如“共升高幾層”。

三、教學(xué)啟示與思考

通過(guò)測(cè)試、訪談和分析，我們逐漸能夠把握學(xué)生在一年級(jí)下冊(cè)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)、學(xué)習(xí)過(guò)程以及在這一過(guò)程中會(huì)遇到的學(xué)習(xí)障礙。在了解學(xué)生以及教材情況的基礎(chǔ)上，如何實(shí)施有效的教學(xué)策略來(lái)改善這一狀況，我們作出了以下幾點(diǎn)思考。

（一）回歸知識(shí)原點(diǎn)，聚焦量與量之間的關(guān)系

關(guān)鍵詞策略的隨意使用，確實(shí)會(huì)為解決問(wèn)題帶來(lái)麻煩。但從一年級(jí)學(xué)生問(wèn)題解決學(xué)習(xí)的心理過(guò)程來(lái)看，在問(wèn)題解決初期，適當(dāng)使用關(guān)鍵詞策略仍然有助于學(xué)生掌握問(wèn)題的基本類(lèi)型和基本解題策略。那么，怎樣做才能既揭示出應(yīng)用問(wèn)題自身的規(guī)律，又不至于使它成為思維定勢(shì)？那就要回歸到計(jì)算教學(xué)的原點(diǎn)，從兩數(shù)關(guān)系結(jié)構(gòu)的表征著手開(kāi)展訓(xùn)練。

新課程標(biāo)準(zhǔn)中，應(yīng)用問(wèn)題的解決是分散在計(jì)算教學(xué)中同步進(jìn)行的，計(jì)算教學(xué)則是以數(shù)的分解、組成為教學(xué)基礎(chǔ)。那么對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題結(jié)構(gòu)的理解，教師可以算用結(jié)合，回歸到數(shù)的組成與分解中，去尋找問(wèn)題解決的方法。

如“杯架上有13個(gè)杯子，取下6個(gè)杯子，還剩幾個(gè)？”在這道題的分析階段，教師只要讓學(xué)生邊讀題，邊試著用數(shù)的組成的方式畫(huà)一畫(huà)這道題的關(guān)系圖（見(jiàn)圖1）。學(xué)生原有的數(shù)的分解的經(jīng)驗(yàn)就能自動(dòng)遷移過(guò)來(lái)，使其清楚地感知到，求“還剩幾個(gè)”，就是求總數(shù)13中的一部分，求一部分，用減法算。

如此，同樣是對(duì)解決問(wèn)題的特點(diǎn)進(jìn)行提煉概括，但學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)不再鎖定于表示加減暗示的關(guān)鍵字，而是回到數(shù)量之間的關(guān)系分析與思考，更多地關(guān)注量與量之間最簡(jiǎn)單的總數(shù)與部分的關(guān)系上來(lái)，從而避免以后因關(guān)鍵詞策略誤用而帶來(lái)的解題煩惱。

（二）加強(qiáng)基本題的溝通，關(guān)注思路與算法的匹配

一步加減應(yīng)用問(wèn)題主要解決的是對(duì)基本數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)，如何選擇運(yùn)算方法是研究基本應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)的核心問(wèn)題。一年級(jí)下冊(cè)，學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)是已經(jīng)具有一定的問(wèn)題分析能力，能從不同角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析和解讀，這種分析和解讀的差異，帶來(lái)了實(shí)際問(wèn)題解決的不同結(jié)果。如圖2這道題，學(xué)生通常會(huì)從兩種不同的角度來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題。一種是“一個(gè)箱子里有4瓶飲料，再裝幾瓶后能裝滿(mǎn)12瓶？”另一種是一個(gè)箱子里能裝12瓶飲料，已經(jīng)裝了4瓶，還能裝幾瓶？”一種是正向思考方向，4+□=12（瓶）;另一種是逆向思考方向，12-4=□（瓶）。對(duì)于學(xué)生而言，兩者的問(wèn)題解決思路不同，就會(huì)導(dǎo)致問(wèn)題解決算式上的差異。

像這樣的應(yīng)用問(wèn)題的基本類(lèi)型，如果教師在審題階段就有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出關(guān)系圖（見(jiàn)圖3），那么這種情況就可以被避免。借助數(shù)的組成的關(guān)系圖，學(xué)生會(huì)審慎地對(duì)題目中所涉及的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行整理和思考，從而清楚地看出，無(wú)論是那種思考方法，要求的都是總量12中的一部分，求一部分是多少，用減法計(jì)算。

通過(guò)這樣一加、一減思路的對(duì)比分析及部總關(guān)系圖式的輔助引導(dǎo)，有利于學(xué)生認(rèn)清應(yīng)用問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，熟悉題目中出現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系以及條件與問(wèn)題之間的因果關(guān)系，這樣，不同情境、結(jié)構(gòu)的基本題型的反復(fù)強(qiáng)化，在學(xué)生頭腦中建構(gòu)起來(lái)的是應(yīng)用問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)，而不是只言片語(yǔ)關(guān)鍵詞的策略誤用。

（三）關(guān)注問(wèn)題建構(gòu)，重視問(wèn)題與條件的互逆

在一年級(jí)下冊(cè)眾多的應(yīng)用問(wèn)題中，有一類(lèi)“圖書(shū)館有一批書(shū)，又新買(mǎi)了36冊(cè)，現(xiàn)有78冊(cè)，圖書(shū)館原來(lái)有多少書(shū)？”這樣的題目。從解題思路分析，圖書(shū)館原有的書(shū)+新買(mǎi)的36本=現(xiàn)有的78本，但實(shí)際運(yùn)算并不是加法，而是減法78-36=42（本）。這類(lèi)題目是學(xué)生學(xué)習(xí)中難度比較高的題目，但是在教材中，僅僅只出現(xiàn)了3次。因此，在這幾個(gè)習(xí)題的教學(xué)時(shí)，教師需要特別重視，通過(guò)適當(dāng)?shù)念}組訓(xùn)練，提高學(xué)生根據(jù)問(wèn)題結(jié)構(gòu)來(lái)選擇算法的能力。在本題的教學(xué)中，可以設(shè)計(jì)如下的題組：

①圖書(shū)館有一批書(shū)，又新買(mǎi)了36冊(cè)，現(xiàn)有78冊(cè)，圖書(shū)館原來(lái)有多少書(shū)？

②圖書(shū)館有42冊(cè)圖書(shū)，又新買(mǎi)了一批后，現(xiàn)有78冊(cè)，新買(mǎi)的圖書(shū)有多少冊(cè)？

③圖書(shū)館原來(lái)有42冊(cè)圖書(shū)，又新買(mǎi)了36冊(cè)，現(xiàn)在圖書(shū)館有多少冊(cè)圖書(shū)？

通過(guò)可逆性的變化，把應(yīng)用問(wèn)題中的問(wèn)題作為條件，把其中的一個(gè)條件轉(zhuǎn)為問(wèn)題，這樣可以得到一組習(xí)題。在題組的解答過(guò)程中，教師依然可以使用關(guān)系圖作為對(duì)比和溝通的素材（見(jiàn)圖4）。這樣，當(dāng)我們把情境和結(jié)構(gòu)相關(guān)的一組習(xí)題放入一個(gè)系統(tǒng)中，通過(guò)對(duì)這組習(xí)題的比較，學(xué)生就可以從不同的角度，理解部分與整體的關(guān)系，形成理性的、系統(tǒng)的概括認(rèn)識(shí)。

新版教材編寫(xiě)時(shí)，應(yīng)用問(wèn)題雖然已經(jīng)不再自成體系，而是散見(jiàn)于各個(gè)年級(jí)的各個(gè)板塊中，并且隸屬于問(wèn)題解決領(lǐng)域，舊貌換新顏。但是大量的研究表明，具有真實(shí)而豐富背景的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的基本技能和解決問(wèn)題的能力，還可以改變他們對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度?；趯W(xué)生學(xué)情分析背景下的教學(xué)策略研討，正是我們向著這個(gè)方向行走的關(guān)鍵一步。

參考文獻(xiàn)：

[1]張?zhí)煨?新思維數(shù)學(xué)教學(xué)研究[M].浙江：浙江教育出版社，2008.

[2]鮑建生.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[3]邱學(xué)華.兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的奧秘[M].福建：福建教育出版社，2013 .

（浙江省寧波藝術(shù)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 ? 315000）