林海燕

一、說題引入

加里寧說：數(shù)學(xué)是思維的體操.數(shù)學(xué)是一門換腦子的學(xué)科.它能鍛煉我們的思維，讓我們的思維更縝密，想事情的時(shí)候考慮得更全面.它能很好地提升我們的思維水平及思維品質(zhì).因此，從初一開始我們應(yīng)有意識地對學(xué)生進(jìn)行思維能力的訓(xùn)練.這里要說的是初一的一道有關(guān)絕對值問題的試卷改編題.

絕對值幾何的意義：在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)到原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對值.在數(shù)軸上，表示一個(gè)數(shù)a的點(diǎn)到數(shù)b的點(diǎn)之間的距離的值，叫做a-b的絕對值，記作|a-b|.對于絕對值問題，利用數(shù)形結(jié)合的方法，往往簡潔直觀，能收到事半功倍的效果.

二、原題再現(xiàn)

|a|=|a-0|表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離（這是絕對值的幾何意義）.進(jìn)一步的，數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)A，B分別用a，b表示，那么A，B兩點(diǎn)之間的距離為AB=|a-b|.利用此結(jié)論，結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

（1）數(shù)軸上表示-3和4的兩點(diǎn)之間的距離是 ；

（2）數(shù)軸上表示x和-3的兩點(diǎn)A.B之間的距離是 ；如果|AB|=2，那么x的值為 ；

（3）說出|x+3|+|x-4|表示的幾何意義 ；

（4）由以上探索猜想對于任何有理數(shù)x，|x+3|+|x-4|是否有最小值？如果有寫出最小值；如果沒有說明理由.

三、背景來源，命題立意

此題是平時(shí)試卷的改編題，它來源于華師大版七年級上冊數(shù)學(xué)書本38頁習(xí)題的第六題.

知識點(diǎn)涉及數(shù)軸、絕對值問題.此題考查了學(xué)生對絕對值幾何意義的真正理解與應(yīng)用.此題可考查學(xué)生的觀察與歸納、化歸與轉(zhuǎn)化等知識能力；可發(fā)展學(xué)生的符號感，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識.在分析中注意引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題.此題分為四個(gè)小題，由易到難，步步為營，環(huán)環(huán)緊扣，符合《新課標(biāo)》要求.

四、解題指導(dǎo)

1.數(shù)學(xué)思想：從特殊到一般、用字母表示數(shù)、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等.

2.數(shù)學(xué)方法：分類討論法、構(gòu)造圖形法等.

五、題目分析

解法：首先引導(dǎo)學(xué)生從條件入手，借助數(shù)軸，自主探究，完成問題（1）（2）的解答，然后在小組充分討論后，概括得出自己的答案.這樣使不同水平的學(xué)生都能得到發(fā)展.既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心.其中問題（2）的前一空格，對學(xué)生來說有一定難度，是解決后面問題的轉(zhuǎn)折點(diǎn).數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：通過教學(xué)活動，要使學(xué)生能用實(shí)例對一些數(shù)學(xué)猜想作出檢驗(yàn)，并能用文字、字母清楚地表達(dá)解決問題的過程，解釋結(jié)果的合理性.解析時(shí)教師在此處應(yīng)發(fā)掘“問題”間的關(guān)系，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”入手，因勢利導(dǎo)，利用題目所給的條件做引導(dǎo)，讓學(xué)生翻開書本P38頁習(xí)題第6題，然后多舉幾個(gè)例得出AB=|a-b|的結(jié)論，即數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式：在數(shù)軸上，表示一個(gè)數(shù)a的點(diǎn)到數(shù)b的點(diǎn)之間的距離的值，叫做a-b的絕對值，記作|a-b|.此公式來源于書本.但初一的學(xué)生的概括能力較差，對于用字母表示的公式不太會用，覺得很抽象.因此在此處宜慢不宜快，根據(jù)從特殊到一般的規(guī)律多舉實(shí)例加以驗(yàn)證以突破這個(gè)難點(diǎn).這個(gè)公式在直角坐標(biāo)系中有著很大的用處.另一法：轉(zhuǎn)化為方程：x+3=2或x+3=-2.問題（3）、（4）先讓學(xué)生思考5分鐘后師生共同解決，努力營造師生、生生互動的課堂氛圍，形成有效的學(xué)習(xí)活動.

（3）的解決緊扣（2）的問題，使用轉(zhuǎn)化思想，把|x+3|化為|x-（-3）|，意義為在數(shù)軸上表示x和-3兩點(diǎn)之間的距離，并在此處概括為│x-a│在數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與表示數(shù)a的點(diǎn)兩點(diǎn)之間的距離，此問的設(shè)計(jì)為下一題的思路引導(dǎo)做好鋪墊，是下一問知識的“生長點(diǎn)”.

（4）的解法有兩種：

法一為零點(diǎn)區(qū)間分類討論法，即按x的取值范圍分區(qū)間討論，易知該題原式有兩個(gè)零點(diǎn)x=-3、x=4【分三種情況】：

①當(dāng)x≤-3時(shí)，|x+3|+|x-4|=-x-3-x+4=-2x+1>6+1=7

②當(dāng)-3csrOPyr59dqDy7RYWaZOwpSCWFoJHeb84oSoMsIx92M=

③當(dāng)x>4時(shí)，|x+3|+|x-4|=x+3+x-4=2x-1>8-1=7

綜上所述，|x+3|+|x-4|可取最小值是：7.

此處老師向?qū)W生介紹如何求零點(diǎn)，即令x+3=0和x-4=0得x=-3和x=4.在這一活動中，讓學(xué)生感悟分類討論的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).

法二為數(shù)形結(jié)合法，即借助數(shù)軸上點(diǎn)P到點(diǎn)M和N的距離之和為│x-m│+│x-n│.啟發(fā)學(xué)生思考如何把|x+3|+|x-4|轉(zhuǎn)化為類似問題（3）的方法解決.即把|x+3|+|x-4|轉(zhuǎn)化|x-（-3）|+|x-4|，去求在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示-3和4的點(diǎn)距離之和的最值問題.老師黑板示范，根據(jù)三種區(qū)間畫出三個(gè)數(shù)軸的草圖.此種方法學(xué)生易于接受.最后概括為：|x+3|+|x-4|≥7.

兩種解法的比較，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合法的妙用——形象直觀，既快又準(zhǔn).

法三為特殊值法，學(xué)生中有不少人用此法，但取的值不全，不易找到極值.

六、變式與拓展

1.變式：（條件變式）

（1）把原題中的第4改為若點(diǎn)P表示的數(shù)為x，當(dāng)點(diǎn)P在數(shù)軸上什么位置時(shí)，|x+3|+|x-4|的值最小？

（2）把原題中的第4改為若點(diǎn)P表示的數(shù)為x，當(dāng)點(diǎn)P在數(shù)軸上什么位置時(shí)，|x+3|-|x-4|的值最大？

（3）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x+3|+|x-4|=7這樣的整數(shù)是 .

（4）解方程：|x+3|+|x-4|=9.

2.|a-2014|+|a-2015|的最小值是 .

3.拓展：當(dāng)a取何值時(shí)，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是多少？請說明理由.（結(jié)構(gòu)變式）

4.拓展：如圖，已知數(shù)軸上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，它們表示的數(shù)分別是-24，-10，10.

（1）填空：AB= ，BC= ；

（2）若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒3個(gè)單位長度和7個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動.試探索：BC-AB的值是否隨著時(shí)間t的變化而改變？請說明理由.

（概括：數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離=大的數(shù)-小的數(shù)）

提示：（1）14，20；（2）經(jīng)過t秒后，A、B、C三點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)分別是-24-t，-10+3t，10+7t則BC=（10+7t）-（-10+3t）=4t+20，AB=（-10+3t）-（-24-t）=4t+14，BC-AB=（4t+20）-（4t+14）=6.∴BC-AB的值不會隨著時(shí)間t的變化而改變.