李小峰

1.積極心理學中對主觀幸福感的闡述

積極心理學是指利用心理學目前已比較完善和有效的實驗方法與測量手段，研究人類的力量和美德等積極方面的一個心理學思潮。積極心理學的研究對象是平均水平的普通人，它主張促進個人和社會的發(fā)展，是幫助人們走向幸福的一門科學.從個體自身的發(fā)展來看，積極心理學的價值意義體現(xiàn)在提升個體的主觀幸福感、使個體學會并保持樂觀及使個體形成積極人格.

主觀幸福感指的是個體主觀上對自己已有的生活狀態(tài)正是自己心目中理想生活狀態(tài)的一種肯定的態(tài)度和感受.美國心理學家狄納概括了主觀幸福感的三個特點：主觀幸福感依賴個體的親身體驗、主觀幸福感更強調(diào)個體生理上能體驗到的真實積極體驗、主觀幸福感是個體對自己生活總的體驗.研究結(jié)果顯示，個體只有不斷努力完成一些快樂的事情，才會獲得持久的幸福狀態(tài).

變式教學的本質(zhì)是：變是為了不變，也就是說，通過變式教學，讓學生理解數(shù)學問題的本質(zhì)，通過變式引導(dǎo)學生探求數(shù)學問題的本源，做到解一題，通一類.在數(shù)學試卷講評過程中，通過變式教學既可以幫助學生梳理試題的解題方法，更可以幫助學生理解掌握這一類題的解題方法，從而提高教學效率，也可以讓學生在對數(shù)學本源的探求過程中，持續(xù)體會成功的經(jīng)驗，進而獲得持久的幸福狀態(tài).下面是筆者在試卷講評時應(yīng)用變式探求題目本源，提升學生主觀幸福感的一次教學實踐.

2.教學片段欣賞

2.1原題

（2010，蘇州一模，14）如圖1正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點，設(shè)向量 =λ +μ ，則λ+μ的最小值為？搖？搖 ？搖？搖.

圖1

2.2解法探究

講評過程：筆者在講解這道題時，先請同學講解.

生1：如圖2建立直角坐標系A(chǔ)-xy，設(shè)AB=2，點P（x，y），則E（1，0），C（2，2），x +y =4，設(shè)x=2cosθ，y=2cosθ，0≤θ≤ ，則 =（2，2）， =（1，-2）， =（2cosθ，2sinθ），所以（2，2）=λ（1，-2）+μ（2cosθ，2sinθ），

圖2

解得λ=2- ，μ= ，

設(shè)f（θ）=λ+μ=2+ ，0≤θ≤ ，當0<θ< 時f′（θ）=（2+ ）′= = >0，所以f（θ）在（0， ）上單調(diào)遞增，

故當θ=0時，f（θ）=λ+μ取得最小值為 .

接著請第二位學生講.

學生2：老師，我是猜的，先建系，再把D點，AC與 的交點點，B點三個點代入計算后發(fā)現(xiàn)P從D點向B點運動時，λ+μ的值越來越小，所以我就斷定當P點在B點時，λ+μ的值最小為 ，只是我覺得幸福來得太突然，有些不太確定.經(jīng)過生1的講解，我為自己的猜想找著了證明方法.在生1的解題過程中的參數(shù)θ是 與x軸的夾角，f（θ）是單調(diào)增函數(shù)，而讓P從D點向B點運動時，隨著θ的減小，f（θ）也在減小，所以我的猜想是正確的.

這個學生說完后，立即有一名同學站起來提出了一個問題.

學生3：老師，向量中的問題一般都有幾何意義，那么這個題的幾何意義是什么呢？

頓時，學生被這個問題吸引住了，立即展開了熱烈的討論，經(jīng)過近5分鐘的激烈討論，終于有同學來講解討論結(jié)果.

2.3解法變式

學生4：如圖3將 移至 ，則，連接PF與AC交于G點，因為P、G、F三點共線，所以有 =x +y ，其中x+y=1（源自蘇教版必修4，P77第11題），又A、G、C三點共線，可以設(shè) =s ，

圖3

得到 =s（x+ +y ）=sx +sy ，因為 ， 不共線，對比 =λ +μ ， = ，所以有λ+μ=sx+sy=s，而根據(jù)圖形可知s>0，所以s= ，要求s的最小值，需要| |最大，如圖4在 上取三點P ，P ，P ，得到G ，G ，G ，發(fā)現(xiàn)讓P從D點向B點運動時，| |越來越大，所以在B點時| |最大，λ+μ取得最小值，再用坐標法算得λ+μ的最小值為 .

打鐵需趁熱，筆者立即給出如下變式.

圖4

2.4題目變式

變式1：（2009，安徽，理14）給定兩個長度為1的平面向量 和 ，它們的夾角為120°.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧 上變動.若 =x +y ，其中x，y∈R，則x+y的最大值是？搖？搖 ？搖？搖.

圖5

生5：如圖6，連接AB與OC交與點D，則 =λ +μ ，其中λ+μ=1，又 =s =s（λ +μ ）=λs +μs ，所以x+y=sλ+sμ=s= ，當OC⊥AB交AB于D時，| |取得最小值 ，所以s即x+y的最大值為2.

此處略去了其他解法.

圖6

2.5解題小結(jié)

生6：經(jīng)過上述兩題的探索，我發(fā)現(xiàn)“向量中 =x +y ，求x+y最值.”這類問題可以采用三點共線得到x+y的幾何意義：設(shè)CD與AB交于E點，則x+y=± 通過幾何意義找出| |的最值就可以算出x+y最值了.

生7：我認為在生7的基礎(chǔ)上還要補充兩點，其中| |的長度必須是定值，再次是求λx+μy的最值也可以，這樣我們可以根據(jù)這個幾何意義編寫題目.

2.6教學小結(jié)

原題中，生1的解法是絕大多數(shù)學生使用的方法，整個解題過程有3個解題難點“建系，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性”，成為一道難題.筆者通過研究得到λ+μ的幾何意義，然后在課堂上通過參與學生的討論引導(dǎo)學生得出結(jié)論.筆者在高三復(fù)習課中盡量將課堂讓給學生，將講臺讓給學生，將精彩讓給學生，這樣學生在數(shù)學課堂上不僅掌握了某一道題的解題方法，更通過合作、討論、變式探究出了數(shù)學題目的本質(zhì)，徹底掌握了一類題的解題方法，增強了學習數(shù)學的信心與興趣，主觀幸福感也隨之增強.