趙自強(qiáng)，張二麗

（1.河南教育學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南鄭州 450046；2.鄭州財(cái)經(jīng)學(xué)院計(jì)算機(jī)系，河南鄭州 450000）

蜘蛛網(wǎng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型研究

趙自強(qiáng)1，張二麗2

（1.河南教育學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南鄭州 450046；2.鄭州財(cái)經(jīng)學(xué)院計(jì)算機(jī)系，河南鄭州 450000）

討論了什么結(jié)構(gòu)的網(wǎng)能夠使蜘蛛織網(wǎng)省力又有利于捕食.說明了蜘蛛網(wǎng)的傾角與被捕昆蟲的關(guān)系并給出了被捕昆蟲在不同傾角蜘蛛網(wǎng)上的受力的模型.最后假設(shè)蜘蛛準(zhǔn)備在一個(gè)凸多邊形的區(qū)域結(jié)一張網(wǎng)，針對(duì)蛛絲是否連接在支撐點(diǎn)，建立了兩種不同的數(shù)學(xué)模型，并且設(shè)計(jì)了優(yōu)化的蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu).

蜘蛛網(wǎng)；蜘蛛結(jié)構(gòu)；蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化；數(shù)學(xué)模型；建模

0 引言

蜘蛛結(jié)網(wǎng)是其天生的本領(lǐng).蜘蛛后端有6個(gè)吐絲器，吐絲器外部有1 000多個(gè)小孔，從每個(gè)小孔分泌出一滴黏液，黏液一遇到空氣就變成了硬絲.不同種類的蜘蛛所結(jié)網(wǎng)的大小、形狀以及網(wǎng)眼疏密等都不相同.在所有蜘蛛網(wǎng)中，都有一個(gè)中心點(diǎn)向外輻射蛛絲，其輻射線的數(shù)目不同，種類也不同，有21條、32條、42條等.每?jī)筛噜彴霃介g的夾角也是基本相等的，蜘蛛網(wǎng)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)等方面都有重要應(yīng)用，可謂昆蟲雖小學(xué)問卻大.

假設(shè)一只昆蟲的質(zhì)量為0.325 g，蜘蛛牽引絲的原始標(biāo)距長(zhǎng)度為l0，楊氏模量為E，昆蟲的橫截面積為A，重力加速度為10 g/m，昆蟲的質(zhì)量與最大力量的比值范圍為0＜k＜1，提出以下問題：

1）在理想條件下，蜘蛛可以分別織出方形蜘蛛網(wǎng)、同心圓蜘蛛網(wǎng)和螺旋蜘蛛網(wǎng).比較它們的面積大小，探討什么形狀的網(wǎng)更有利于蜘蛛捕食.

2）在自然條件下，蜘蛛網(wǎng)捕獲昆蟲受眾多因素的影響，建立昆蟲對(duì)蜘蛛網(wǎng)的作用模型.蜘蛛網(wǎng)與被捕昆蟲的最優(yōu)關(guān)系，通過受力分析，求出蜘蛛網(wǎng)傾角與被捕昆蟲在網(wǎng)上受力的最優(yōu)情況模型.

3）通過分析蜘蛛網(wǎng)的圈數(shù)和捕獲昆蟲的關(guān)系，說明什么樣的蜘蛛網(wǎng)間距最合適，并給出可行性分析.

4）假設(shè)有一個(gè)凸多邊形的區(qū)域，蜘蛛準(zhǔn)備在這個(gè)區(qū)域（或其一部分）上結(jié)一張網(wǎng).第一種情況，在區(qū)域的邊界上安置有若干支撐點(diǎn)，蛛絲可以連接在支撐點(diǎn)上，不能連接到區(qū)域邊界的其他點(diǎn)，建立合理的數(shù)學(xué)模型，對(duì)不同的情況都設(shè)計(jì)出合理的蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu).第二種情況，如果蛛絲可以連接在區(qū)域邊界的任何點(diǎn)上，建立合理的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)出合適的蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu).通過這兩種情況更加具體地了解蜘蛛結(jié)網(wǎng)的優(yōu)化模型.

1 模型假設(shè)

1.1 模型1的假設(shè)

1）蜘蛛可以分別織出方形蜘蛛網(wǎng)、同心圓蜘蛛網(wǎng)和螺旋蜘蛛網(wǎng)；

2）蛛網(wǎng)的最優(yōu)模型是螺旋線形.

1.2 模型2的假設(shè)

1）假定在蜘蛛的正常捕食范圍內(nèi)，假設(shè)不存在除獵物外的生物或者其他因素造成網(wǎng)的震蕩或破壞.在實(shí)際問題中，蜘蛛網(wǎng)的牢固性受其他生物、風(fēng)向、氣候的變化，以及人為因素的各種影響，而忽略以上各種因素的影響，僅僅考慮昆蟲對(duì)蜘蛛網(wǎng)的作用.

2）忽略蜘蛛結(jié)網(wǎng)成絲的速度與方式和蜘蛛絲力學(xué)性能的關(guān)系［1］.

3）昆蟲質(zhì)量和它的最大力量成正比.

4）蜘蛛網(wǎng)與被捕昆蟲的最優(yōu)關(guān)系，受力分析，求出蜘蛛網(wǎng)傾角與被捕昆蟲在網(wǎng)上受力的最優(yōu)情況模型.

1.3 模型3的假設(shè)

1）在蜘蛛力所能及的范圍內(nèi)織一張網(wǎng).假定在蜘蛛的正常捕食過程中，不存在除獵物外的生物或者其他因素造成網(wǎng)的震蕩或破壞.在實(shí)際問題中，蜘蛛網(wǎng)的牢固性受其他生物、風(fēng)向、氣候的變化，以及人為因素的各種影響，而忽略以上各種因素的影響，僅僅考慮昆蟲對(duì)蜘蛛網(wǎng)的作用.

2）假設(shè)蜘蛛網(wǎng)的面積一定，判斷昆蟲是否會(huì)從間隙飛過，若能飛過則蜘蛛還需織網(wǎng)，若昆蟲飛不過，則不需要蜘蛛再織網(wǎng)，此時(shí)的間距即能滿足蜘蛛最大程度捕食到食物，又能滿足蜘蛛用絲最省.

3）假設(shè)昆蟲的最大截面為一圓形.

1.4 模型4的假設(shè)

1）假設(shè)有一個(gè)凸多邊形的區(qū)域，外界條件影響忽略；

2）假設(shè)蜘蛛網(wǎng)的緯線是由直線組成，且各條緯線滿足相互平行、等間距的條件；

3）認(rèn)為蜘蛛網(wǎng)的結(jié)構(gòu)形式是關(guān)于原點(diǎn)呈中心對(duì)稱的；

4）假設(shè)昆蟲撞擊到蜘蛛網(wǎng)的任何部位是一個(gè)隨機(jī)事件.

2 符號(hào)說明

L為周長(zhǎng)，S為面積，R0為圓的半徑，r0為螺旋線初始半徑，F(xiàn)0為昆蟲掙脫網(wǎng)的最大負(fù)荷，A為昆蟲橫截面積，m為昆蟲的質(zhì)量，T為昆蟲的最大力量，k為昆蟲的質(zhì)量與最大力量的比值，l0為蜘蛛牽引絲的原始標(biāo)距長(zhǎng)度，l為蛛絲變形后的長(zhǎng)度，σ為應(yīng)力，ε為應(yīng)變，g為重力加速度，θ為蛛網(wǎng)與水平線的夾角，r為昆蟲的橫截面半徑，R為蜘蛛網(wǎng)的外層半徑，F(xiàn)為昆蟲掙脫網(wǎng)的最大負(fù)荷，E為楊氏模量，為最內(nèi)層螺旋線的半徑，n為螺旋線的層數(shù)，Y為牽引線的條數(shù)，f為單根螺旋線的最大附著力，f0為單根牽引絲的最大承受力，h為緯線平行間距，N2為緯線根數(shù)，λ為能夠粘住半徑為r的昆蟲的螺旋絲的條數(shù)，η為能夠承受半徑為r的昆蟲撞擊的牽引絲的條數(shù)，N1為輻線根數(shù)（輻線：從中心向外發(fā)散的網(wǎng)線）.

3 模型的建立與求解

3.1 模型建立

3.1.1 模型1

周長(zhǎng)一定的平面封閉圖形以圓的面積最大.所以當(dāng)面積一定的網(wǎng)織成圓形時(shí)蜘蛛所吐的絲最少，織網(wǎng)最省力.但是蜘蛛不可能按照既定的圓來織網(wǎng)，而且自然界中蜘蛛織網(wǎng)通常是螺旋線狀.所以同心圓網(wǎng)最終改進(jìn)為螺旋線網(wǎng)，其最外層螺旋線趨于圓，既保證了最少蛛絲最大覆蓋面積，又保證了織網(wǎng)的流暢性和可操作性（表1）［2］.

表1 周長(zhǎng)一定的方形網(wǎng)與圓形網(wǎng)面積比較Tab.1 The area com parison of square and circu lar w ith fixed perim eter

3.1.2 模型2

由于蜘蛛網(wǎng)受到昆蟲的撞擊，使得蛛網(wǎng)受到一定的作用力，當(dāng)昆蟲掙脫網(wǎng)的負(fù)荷達(dá)足夠大時(shí)，網(wǎng)的最大負(fù)荷也足夠大，則蜘蛛絲的變形長(zhǎng)度很大，直到一個(gè)極限值，蜘蛛絲斷裂.根據(jù)三角關(guān)系知，角度也將達(dá)到一個(gè)不穩(wěn)定狀態(tài)，即蜘蛛網(wǎng)就會(huì)破損.由此建立模型，利用數(shù)學(xué)關(guān)系、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、三角形知識(shí)綜合檢驗(yàn)昆蟲對(duì)蜘蛛網(wǎng)的影響作用［3］.

3.1.3 模型3

由于蜘蛛織網(wǎng)的稠密度不同，因而建立一張“內(nèi)松外緊”式螺旋線網(wǎng).假定蜘蛛分泌絲的速度一定，討論在網(wǎng)的半徑和被捕昆蟲大小一定的情況下，螺旋線的最少圈數(shù)和牽引絲的最少條數(shù).

3.1.4 模型4

根據(jù)兩點(diǎn)可以確定一條直線，在一個(gè)給定的多邊形區(qū)域建立3種不同的蜘蛛網(wǎng)模型.假設(shè)蛛絲可以連接在區(qū)域邊界的任何點(diǎn)上，通過連接凸多邊形的支撐點(diǎn)和區(qū)域邊界的任何點(diǎn)，建立模型并通過數(shù)學(xué)方法計(jì)算得出可接受的最不利捕食路徑長(zhǎng)度.

3.2 模型求解

3.2.1 什么形狀的網(wǎng)更有利于蜘蛛捕食

圖1 方形網(wǎng)Fig.1 Square web

圖2 同心圓網(wǎng)Fig.2 Circular web

再比較圖3和圖4，根據(jù)蜘蛛織網(wǎng)的規(guī)律性和可行性可知，圖4為最優(yōu)模型，也是本文的核心模型.由以上分析可知，螺旋蜘蛛網(wǎng)具有可操作性、織網(wǎng)流暢性.

圖3 螺旋網(wǎng)Fig.3 Sp iral w eb

圖4 多邊形螺旋網(wǎng)Fig.4 Polygon spiral web

3.2.2 求出蜘蛛網(wǎng)傾角與被捕昆蟲在網(wǎng)上的受力模型

由昆蟲的最大力量與它的質(zhì)量成正比可知T=kmg.一般蛛絲的伸長(zhǎng)率為0.01～0.03，這里為了更能說明問題，取最大伸長(zhǎng)率0.03，昆蟲掙脫網(wǎng)的最大負(fù)荷

當(dāng)昆蟲撞擊蜘蛛網(wǎng)時(shí)，會(huì)在絲拉索上形成直角沖擊負(fù)荷，由于拖絲和鞭毛絲均具有高韌度，兩者的平衡阻滯約為65%.即昆蟲飛行時(shí)所具有的動(dòng)能約有65%被吸收轉(zhuǎn)化為熱量，因而不致于使昆蟲通過反彈作用被彈出蜘蛛網(wǎng)［4］.對(duì)網(wǎng)的切平面受力分析（圖5）可得

即可知角度與昆蟲在傾斜網(wǎng)面上的關(guān)系，亦可知結(jié)網(wǎng)的最佳角度.

圖5 昆蟲網(wǎng)上受力分析圖Fig.5 Analysis of force app liedto insects arrested

圖6 “內(nèi)松外緊”式螺旋線網(wǎng)Fig.6 Spiral w eb w ith tight inside and loose outside

3.2.3 分析蜘蛛網(wǎng)的圈數(shù)和捕獲昆蟲的關(guān)系

當(dāng)蜘蛛網(wǎng)的外層半徑為R時(shí) 3.2.4 只連接支撐點(diǎn)的蛛網(wǎng)模型

在區(qū)域的邊界上安置有若干支撐點(diǎn)，蛛絲可以連接在支撐點(diǎn)上，不能連接到區(qū)域邊界的其他點(diǎn).第一種方法利用邊界法，找到中心依次連接中心和各支撐點(diǎn)，順時(shí)針依次連接各支撐點(diǎn)，以這些支撐線段作等分點(diǎn)建立模型（圖7）.第二種方法找到中心依次連接中心和各支撐點(diǎn)，通過連接各支撐點(diǎn)相鄰或相間的各支撐點(diǎn)建立模型（圖8）.

圖8 互連支撐點(diǎn)與中心點(diǎn)模型Fig.8 Interconnection m odel for supporting and center poin ts

3.2.5 連接區(qū)域邊界任何點(diǎn)的蛛網(wǎng)模型

圖7 邊界法模型

Fig.7 Boundary m ethod m odel，平均最不利路徑長(zhǎng)度

圖9 蛛網(wǎng)模型圖Fig.9 Spider web m odel

圖10 剖面圖Fig.10 Profile im age

通過帶入數(shù)值計(jì)算得出蜘蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)輻線N1數(shù)目的最優(yōu)值范圍在20至30，緯線N2數(shù)目的最優(yōu)范圍數(shù)在15至25.根據(jù)控制變量法，當(dāng)輻線數(shù)為27時(shí)，緯線數(shù)為16，此時(shí)得出可接受的最不利長(zhǎng)度是89.45 cm.

4 模型的優(yōu)缺點(diǎn)與推廣

4.1 優(yōu)點(diǎn)

利用簡(jiǎn)單的蜘蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)模型分析復(fù)雜的蜘蛛網(wǎng)問題，采用多種方法進(jìn)行，使之越來越完善，具有一定的普遍性.對(duì)模型作進(jìn)一步討論便可得到一系列可靠的實(shí)用信息，所得結(jié)論與客觀事實(shí)吻合，從而說明了模型的合理性.模型具有普遍性和可推廣性，只要給出的數(shù)據(jù)充足、精確，模型得出的最優(yōu)解將具有很強(qiáng)的實(shí)際意義.

4.2 缺點(diǎn)

由于受到環(huán)境條件（風(fēng)向、溫度、濕度、昆蟲的大小、地理位置）等影響，蜘蛛網(wǎng)的易破損程度不同，對(duì)于已知條件中的信息分析力度還不夠，有些信息沒有考慮，再加上數(shù)據(jù)本身的誤差使得結(jié)果的精度有待提高，小數(shù)點(diǎn)后的省略也使得實(shí)際情況不容易達(dá)到.網(wǎng)的傾斜使得水平覆蓋面積減小，進(jìn)而影響蛛網(wǎng)的捕食量，還有待改進(jìn).

4.3 模型的推廣

此模型具有普遍性和可推廣性，只要給出的數(shù)據(jù)充足、精確，模型得出的最優(yōu)解將具有很強(qiáng)的實(shí)際意義.模型可用于捕魚，建立最有利的捕魚網(wǎng)，在一定程度上促進(jìn)了捕魚業(yè)的發(fā)展.

［1］ 劉敏，潘志娟，李春萍.成絲的速度與方式和蜘蛛絲力學(xué)性能的關(guān)系［J］.東華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，31（5）：11-15.

［2］ 潘志娟，盛家鏞，戴宏欽.蜘蛛絲的結(jié)構(gòu)與力學(xué)性能［J］.南通工學(xué)院學(xué)報(bào)，1999，15（2）：6-8.

［3］ 吳建國.數(shù)學(xué)建模案例精編［M］.北京：中國水利水電出版社，2005：310-381.

［4］ 劉慶生，段亞峰.蜘蛛絲的結(jié)構(gòu)性能與研究現(xiàn)狀［J］.四川絲綢，2005（2）：16-18.

Research on Structure Optim ization M odel of Spider W eb

ZHAO Zi-qiang1，ZHANG Er-li2

（1.School of Mathematics and Statistics，Henan Institute of Education，Zhengzhou 450046，China；2.Department of Computer，Zhengzhou Institute of Finance and Economics，Zhengzhou 450000，China）

What kind of web structures can make spider weave web and prey easily is discussed.The relationship between the inclination of cobwebs and arrested insects is illustrated，and the force of the spider web model for insects arrested in different angle is presented.Finally，supposing the spider in a convex polygon region to weave a net，two different mathematical models and optimization structure of spider web are given under the conditions whether spider silk is connected at anchor or not.

spider web；structure of spider web；structure optimization of spider web；mathematicalmodel；modeling

O141.4

A

1007-0834（2015）03-0001-06

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.03.001

2015-05-09

河南省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃項(xiàng)目（2014BJY026）；河南省高等教育改革研究項(xiàng)目“數(shù)學(xué)教育專業(yè)課程體系與教學(xué)內(nèi)容整體化研究與實(shí)踐”（2014SJGLX499）；河南教育學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)重點(diǎn)學(xué)科資助項(xiàng)目

趙自強(qiáng)（1981—），男，河南沈丘人，河南教育學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師.