趙苗嬋，歐陽(yáng)瑞

（周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南周口 466001）

積分在函數(shù)不等式證明中的應(yīng)用

趙苗嬋，歐陽(yáng)瑞

（周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南周口 466001）

函數(shù)不等式是微積分學(xué)中常見(jiàn)的一種不等式，在分析學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.列舉了不同類型的函數(shù)不等式的證明方法，探討用積分法證明函數(shù)不等式的思想和方法.

函數(shù)；不等式；積分

1 積分法證明函數(shù)不等式的基本方法

函數(shù)不等式的證明方法比較復(fù)雜，靈活多樣，技巧性也很強(qiáng).用積分法進(jìn)行函數(shù)不等式的證明，主要是通過(guò)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為積分不等式的形式，利用積分的性質(zhì)進(jìn)行證明或者利用定積分的定義將區(qū)間分割求極限進(jìn)行證明［1］.

2 函數(shù)不等式的積分證法舉例

2.1 三角函數(shù)不等式的積分證法

分析對(duì)于三角函數(shù)不等式的積分證法在于選取合適的三角函數(shù)不等式，然后通過(guò)積分轉(zhuǎn)化為需要證明的函數(shù)不等式.

2.2 反三角函數(shù)不等式的積分證法

分析對(duì)數(shù)函數(shù)不等式的形式多樣，技巧性強(qiáng).在把握對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)基礎(chǔ)上，要注意函數(shù)形式之間的轉(zhuǎn)換.

2.5 冪函數(shù)不等式的積分證法

對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)不等式與含有平方根的函數(shù)不等式的積分證法，其積分形式上都類似于冪函數(shù)不等式，因此下面用冪函數(shù)不等式的積分證法進(jìn)行介紹.

2.6 一般函數(shù)不等式的積分證法

3 函數(shù)不等式的積分定義證法

分析本例的分割求和證明思想，主要體現(xiàn)在分割區(qū)間的選取上，根據(jù)要證明的不等式的形式，進(jìn)行分割區(qū)間的劃分.

4 小結(jié)

不等式的積分證法多種多樣，并不拘泥于這幾種.但總的來(lái)看，在利用積分的手段進(jìn)行不等式證明的過(guò)程中主要應(yīng)用的是積分的性質(zhì)和定義.

［1］ 程海來(lái).函數(shù)不等式的積分證明［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22（4）：127-129.

［2］ 李治飛.積分不等式的證明［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，27（4）：13-14.

［3］ 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法［M］.北京：北京教育出版社，1993：258-261.

Application of Integral Proof on Function Inequality

ZHAO Miao-chan，OUYANG Rui

（School of Mathematics and Statistics，Zhoukou Normal University，Zhoukou 466001，China）

Function inequality，which iswidespread in calculus，has been widely used in the analysis.By showing the proofmethod of different types of function inequality，the idea and method of using integral method to prove function inequality are discussed.

function；inequality；integral proving

O13

A

1007-0834（2015）03-0015-03

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.03.004

2015-04-17

趙苗嬋（1979—），女，河南鄭州人，周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師.