葛亞平

（南通理工學(xué)院基礎(chǔ)課教學(xué)部，江蘇南通 226002）

積分不等式證明的再認(rèn)識(shí)

葛亞平

（南通理工學(xué)院基礎(chǔ)課教學(xué)部，江蘇南通 226002）

根據(jù)積分不等式的特點(diǎn)，運(yùn)用微分學(xué)和積分學(xué)的理論知識(shí)對積分不等式的證明進(jìn)行了分析，簡化了積分不等式的證明過程.

微積分；積分不等式；不等式

積分不等式的證明是積分學(xué)部分的重要內(nèi)容之一，聯(lián)系兩個(gè)及以上的定積分不等式稱為積分不等式.關(guān)于積分不等式有不少著名的結(jié)果，如Cauchy不等式、Schwarz不等式等.積分不等式的證明方法靈活多變，沒有固定模式.

1 利用微分學(xué)的方法證明積分不等式

1.1 應(yīng)用微分中值定理證明積分不等式

拉格朗日中值定理在微分學(xué)中占有重要地位，因此被稱為微分中值定理.微分中值定理在積分理論中也有非常重要的作用.我們可以根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)合理應(yīng)用微分中值定理證明積分不等式.

1.2 應(yīng)用泰勒公式證明積分不等式

泰勒中值定理回答了如何用多項(xiàng)式pn（x）近似表達(dá)f（x），以及它們的誤差問題.若在泰勒公式中取x0= 0，就得到了一種較簡單的形式，稱為麥克勞林公式.在積分不等式的證明過程中合理應(yīng)用泰勒公式、麥克勞林公式，也可以簡化證明過程.

2 應(yīng)用積分學(xué)的方法證明積分不等式

2.3 應(yīng)用定積分的求解方法

定積分的求解方法只要有定積分的第一、二類換元積分法，分部積分法.在進(jìn)行積分不等式的證明時(shí)，可將定積分的求解方法和其他數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合以達(dá)到證明的目的.

2.4 利用已知的著名不等式證明積分不等式

關(guān)于積分不等式有不少著名的結(jié)果，如Cauchy不等式、Schwarz不等式等.在積分不等式的證明過程中可以根據(jù)積分函數(shù)的特點(diǎn)，適當(dāng)選用上述不等式，同樣能達(dá)到簡化證明的效果.

這里簡單介紹了證明積分不等式的一些思路和方法.當(dāng)然這些方法不是孤立的而是相互聯(lián)系的，只要能掌握其本質(zhì)，靈活應(yīng)用，筆者相信解決這類問題將不再是困難的事情.

［1］ 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.7版.北京：高等教育出版社，2013：106-107.

［2］ 李廣修.證明不等式的定積分放縮法［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2008，47（7）：50-51.

［3］ 劉學(xué)才.利用定積分的幾何意義證明不等式［J］.高師理科學(xué)刊，2013，33（1）：30-33.

［4］ 崔雅莉.定積分與不等式的證明［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，3（8）：170-171.

Re-understanding of Integral Inequality Proof

GE Ya-ping

（Department of Basics Course，Nantong Polytechnic College，Nantong 226002，China）

The proof process of theory of integral inequality is analyzed by differential and integral theories and know ledge according to the characters of integral inequality.The proof process of integral inequality is simplified.

calculus；integral inequality；inequality

O172.2

A

1007-0834（2015）03-0018-03

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.03.005

2015-03-08

南通理工學(xué)院教研課題“高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的研究與實(shí)踐”（教研201403）

葛亞平（1981—），女，江蘇南通人，南通理工學(xué)院基礎(chǔ)課教學(xué)部講師.